二に次じ関数かんすう — グラフ・平方へいほう完成かんせい・最大さいだい最小さいしょう

この章しょうで学まなぶこと

数かずIの中心ちゅうしん単元たんげんです。 二に次じ関数かんすうのグラフをかけることが、 二に次じ方程式ほうていしき・二に次じ不等式ふとうしきの土台どだいになります。

• $y=a{x}^2+bx+c$ の平方完成へいほうかんせいと頂点ちょうてん
• グラフの形かたち (上じょうに凸とつ・下したに凸とつ)・軸じく
• グラフの平行へいこう移動いどう
• 区間くかんにおける最大値さいだいち・最小値さいしょうち

ポイント: $y=a{x}^2+bx+c$ は平方完成へいほうかんせいして $y=a(x-p{)}^2+q$ の形かたちにすると、 頂点ちょうてんが $(p,q)$、 軸じくが $x=p$ と一目いちもくでわかります。

1. 平方へいほう完成かんせい

$y=a{x}^2+bx+c=a{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$

公式こうしきを覚おぼえるより、 計算けいさん手順てじゅんを身みにつけましょう。

例題れいだい1: $y=x^2-6x+5$ を平方へいほう完成かんせいし、 頂点ちょうてんを求もとめなさい。

解答かいとう: $y=(x^2-6x)+5=(x-3{)}^2-9+5=(x-3{)}^2-4$。 よって頂点ちょうてんは $(3,-4)$、 軸じくは $x=3$。 検算けんざん: $x=3$ のとき $y=9-18+5=-4$。 頂点ちょうてんの $y$座標ざひょうと一致いっち。

2. グラフの平行へいこう移動いどう

$y=f\left(x\right)$ のグラフを $x$軸じく方向ほうこうに $p$、 $y$軸じく方向ほうこうに $q$ だけ平行へいこう移動いどうすると、

$y-q=f(x-p),すなわちy=f(x-p)+q$

例題れいだい2: $y=2x^2$ のグラフを $x$軸じく方向ほうこうに $1$、 $y$軸じく方向ほうこうに $-3$平行へいこう移動いどうした放物線ほうぶつせんの式しきを求もとめなさい。

解答かいとう: $y=2(x-1{)}^2-3$。 展開てんかいすると $y=2x^2-4x+2-3=2x^2-4x-1$。

3. 最大値さいだいち・最小値さいしょうち

下したに凸とつ ($a>0$) の放物線ほうぶつせんは頂点ちょうてんで 最小さいしょう、 上うえに凸とつ () は頂点ちょうてんで 最大さいだい になります。 区間くかんが指定していされたときは、 頂点ちょうてんが区間くかんに入はいるかどうかで場合ばあい分わけします。

例題れいだい3: $y=x^2-4x+1$ の $0\leqq x\leqq 3$ における最大値さいだいちと最小値さいしょうちを求もとめなさい。

解答かいとう: 平方へいほう完成かんせいすると $y=(x-2{)}^2-3$。 頂点ちょうてんは $(2,-3)$ で $2$ は区間くかん内ない。 下したに凸とつなので $x=2$ で 最小値さいしょうち$-3$。 区間くかんの端はじを比くらべると $x=0$ のとき $y=1$、 $x=3$ のとき $y=9-12+1=-2$。 大おおきいのは $x=0$ の $1$。 よって 最大値さいだいち$1$ ($x=0$)。 検算けんざん: $x=2$ で $4-8+1=-3$、 $x=0$ で $1$、 $x=3$ で $-2$。 最小さいしょう$-3$・最大さいだい$1$ で正ただしい。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 平方へいほう完成かんせいして頂点ちょうてんを求もとめる、 グラフの平行へいこう移動いどうの式しきを答こたえる問題もんだいが出でます。
• 二に次じでは 区間くかんにおける最大さいだい最小さいしょう が頻出ひんしゅつ。 頂点ちょうてんが区間くかん内ないか外そとかの場合ばあい分わけがカギです。
• 軸じくの位置いちが文字もじ (パラメータ) で動うごく問題もんだいは、 軸じくと区間くかんの位置いち関係かんけいで場合ばあい分わけします。

よくまちがえるところ

二に次じ関数かんすうは 平方完成へいほうかんせいの符号ふごう と 定義ていぎ域いきの見落みおとし の2つに失点しってんが集あつまります。

まちがい	例れい	直なおし方かた
平方へいほう完成かんせいでたす数かずと引ひく数かずを逆ぎゃくにする	y = x² - 6x + 5 を (x-3)² + 5 + 9 とする	(x-3)² は 9 を余分よぶんに含ふくむので引ひいて (x-3)² - 4
頂点ちょうてんの x 座標ざひょうの符号ふごうを読よみちがえる	y = (x-3)² - 4 の頂点ちょうてんを (-3, -4) とする	頂点ちょうてんは (3, -4)
平行へいこう移動いどうの符号ふごうを逆ぎゃくにする	x 軸じく方向ほうこうに 1 動うごかして y = 2(x+1)² とする	y = 2(x-1)²
頂点ちょうてんが定義ていぎ域いきの外そとにあるのに頂点ちょうてんの値あたいを使つかう	y = (x-2)² - 3 の 3 ≦ x ≦ 5 で最小値さいしょうちを -3 とする	頂点ちょうてん x = 2 は範囲はんい外がい。 x = 3 で最小値さいしょうち -2

いちばん多おおいのは 定義ていぎ域いきつきの最大さいだい最小さいしょうで頂点ちょうてんが範囲はんいの外そとにある場合ばあいの見落みおとし です。 「下したに凸とつだから頂点ちょうてんで最小さいしょう」 は、 頂点ちょうてんが定義ていぎ域いきに入はいっているときだけ成なり立たちます。 範囲はんいの外そとにあるときは、 その区間くかんでは関数かんすうが一方向いちほうこうにしか動うごかないので、 最大さいだいも最小さいしょうも端はじの値あたいになります。 グラフをかいて、 定義ていぎ域いきの部分ぶぶんだけを濃こくなぞってから答えこたえを決きめましょう。

平方へいほう完成かんせいの手順てじゅん

順番じゅんばん	やること	例れい (y = 2x² + 8x + 5)
1	x² の係数けいすうでくくる (定数ていすう項こうはそのまま)	2(x² + 4x) + 5
2	かっこの中なかの x の係数けいすうの半分はんぶんを求もとめる	4 の半分はんぶんは 2
3	(x + 2)² をつくり、 2² = 4 を引ひく	2 × {(x+2)² - 4} + 5
4	かっこの外そとに出だして整理せいりする	2(x+2)² - 8 + 5 = 2(x+2)² - 3
5	頂点ちょうてんと軸じくを読よむ	頂点ちょうてん (-2, -3)、 軸じく x = -2
6	頂点ちょうてんの x を代入だいにゅうして検算けんざんする	2 × 4 - 16 + 5 = -3 で一致いっち

定義ていぎ域いきがついたときは、 頂点ちょうてんが範囲はんいに入はいるかどうかで見方みかたを変かえます。

頂点ちょうてんの位置いち	下したに凸とつ (a > 0) のとき
定義ていぎ域いきの中なかにある	最小さいしょうは頂点ちょうてん、 最大さいだいは頂点ちょうてんから遠とおいほうの端はじ
定義ていぎ域いきの外そとにある	最小さいしょうも最大さいだいも端はじの値あたい。 頂点ちょうてんに近ちかい端はじが最小さいしょう

自分じぶんでチェック

• 平方へいほう完成かんせいで余分よぶんに足たした分ぶんを引ひくと説明せつめいできる
• y = a(x-p)² + q の頂点ちょうてんが (p, q) だと言いえる
• x 軸じく方向ほうこうに p 動うごかすと x が x - p になると言いえる
• 定義ていぎ域いきつきの最大さいだい最小さいしょうで頂点ちょうてんが範囲はんい内ないか外そとかを場合ばあい分わけできる
• 頂点ちょうてんの x を代入だいにゅうして平方へいほう完成かんせいを検算けんざんできる

まとめ

• 平方へいほう完成かんせいで $y=a(x-p{)}^2+q$、 頂点ちょうてん$(p,q)$・軸$x=p$
• 平行へいこう移動いどう: $x$方向ほうこう$p$・$y$方向ほうこう$q$ なら $y=f(x-p)+q$
• $a>0$ は頂点ちょうてんで最小さいしょう、 は頂点ちょうてんで最大さいだい
• 区間くかんつき最大さいだい最小さいしょうは頂点ちょうてんが区間くかん内ないか外そとかで場合ばあい分わけ

次じ章しょうでは、 二に次じ関数かんすうを使つかって 二に次じ方程式ほうていしきの判別はんべつ式しき・二に次じ不等式ふとうしき を学まなびます。