二に次じ関数かんすう — グラフ・平方へいほう完成かんせい・最大さいだい最小さいしょう

この章しょうで学まなぶこと

数かずIの中心ちゅうしん単元たんげんです。 二に次じ関数かんすうのグラフをかけることが、 二に次じ方程式ほうていしき・二に次じ不等式ふとうしきの土台どだいになります。

• $y=a{x}^2+bx+c$ の平方完成へいほうかんせいと頂点ちょうてん
• グラフの形かたち (上じょうに凸とつ・下したに凸とつ)・軸じく
• グラフの平行へいこう移動いどう
• 区間くかんにおける最大値さいだいち・最小値さいしょうち

ポイント: $y=a{x}^2+bx+c$ は平方完成へいほうかんせいして $y=a(x-p{)}^2+q$ の形かたちにすると、 頂点ちょうてんが $(p,q)$、 軸じくが $x=p$ と一目いちもくでわかります。

1. 平方へいほう完成かんせい

$y=a{x}^2+bx+c=a{(x+\frac{b}{2a})}^2-\frac{b^2-4ac}{4a}$

公式こうしきを覚おぼえるより、 計算けいさん手順てじゅんを身みにつけましょう。

例題れいだい1: $y=x^2-6x+5$ を平方へいほう完成かんせいし、 頂点ちょうてんを求もとめなさい。

解答かいとう: $y=(x^2-6x)+5=(x-3{)}^2-9+5=(x-3{)}^2-4$。 よって頂点ちょうてんは $(3,-4)$、 軸じくは $x=3$。 検算けんざん: $x=3$ のとき $y=9-18+5=-4$。 頂点ちょうてんの $y$座標ざひょうと一致いっち。

2. グラフの平行へいこう移動いどう

$y=f\left(x\right)$ のグラフを $x$軸じく方向ほうこうに $p$、 $y$軸じく方向ほうこうに $q$ だけ平行へいこう移動いどうすると、

$y-q=f(x-p),すなわちy=f(x-p)+q$

例題れいだい2: $y=2x^2$ のグラフを $x$軸じく方向ほうこうに $1$、 $y$軸じく方向ほうこうに $-3$平行へいこう移動いどうした放物線ほうぶつせんの式しきを求もとめなさい。

解答かいとう: $y=2(x-1{)}^2-3$。 展開てんかいすると $y=2x^2-4x+2-3=2x^2-4x-1$。

3. 最大値さいだいち・最小値さいしょうち

下したに凸とつ ($a>0$) の放物線ほうぶつせんは頂点ちょうてんで 最小さいしょう、 上うえに凸とつ () は頂点ちょうてんで 最大さいだい になります。 区間くかんが指定していされたときは、 頂点ちょうてんが区間くかんに入はいるかどうかで場合ばあい分わけします。

例題れいだい3: $y=x^2-4x+1$ の $0\leqq x\leqq 3$ における最大値さいだいちと最小値さいしょうちを求もとめなさい。

解答かいとう: 平方へいほう完成かんせいすると $y=(x-2{)}^2-3$。 頂点ちょうてんは $(2,-3)$ で $2$ は区間くかん内ない。 下したに凸とつなので $x=2$ で 最小値さいしょうち$-3$。 区間くかんの端はじを比くらべると $x=0$ のとき $y=1$、 $x=3$ のとき $y=9-12+1=-2$。 大おおきいのは $x=0$ の $1$。 よって 最大値さいだいち$1$ ($x=0$)。 検算けんざん: $x=2$ で $4-8+1=-3$、 $x=0$ で $1$、 $x=3$ で $-2$。 最小さいしょう$-3$・最大さいだい$1$ で正ただしい。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 平方へいほう完成かんせいして頂点ちょうてんを求もとめる、 グラフの平行へいこう移動いどうの式しきを答こたえる問題もんだいが出でます。
• 二に次じでは 区間くかんにおける最大さいだい最小さいしょう が頻出ひんしゅつ。 頂点ちょうてんが区間くかん内ないか外そとかの場合ばあい分わけがカギです。
• 軸じくの位置いちが文字もじ (パラメータ) で動うごく問題もんだいは、 軸じくと区間くかんの位置いち関係かんけいで場合ばあい分わけします。

まとめ

• 平方へいほう完成かんせいで $y=a(x-p{)}^2+q$、 頂点ちょうてん$(p,q)$・軸$x=p$
• 平行へいこう移動いどう: $x$方向ほうこう$p$・$y$方向ほうこう$q$ なら $y=f(x-p)+q$
• $a>0$ は頂点ちょうてんで最小さいしょう、 は頂点ちょうてんで最大さいだい
• 区間くかんつき最大さいだい最小さいしょうは頂点ちょうてんが区間くかん内ないか外そとかで場合ばあい分わけ

次じ章しょうでは、 二に次じ関数かんすうを使つかって 二に次じ方程式ほうていしきの判別はんべつ式しき・二に次じ不等式ふとうしき を学まなびます。