図形ずけいと方程式ほうていしき(点てんと直線ちょくせん・円えん・軌跡きせきと領域りょういき)

この章しょうで学まなぶこと

座標ざひょう平面へいめんを使つかうと、 図形ずけいの性質せいしつを式しきの計算けいさんで調しらべられます。 計算けいさんで図形ずけいをあつかう感覚かんかくを身みにつけましょう。

• 2点てん間かんの距離きょり・内分点ないぶんてんの座標ざひょう
• 直線ちょくせんの方程式ほうていしき・平行へいこうと垂直すいちょくの条件じょうけん
• 円の方程式えんのほうていしき
• 点と直線の距離てんとちょくせんのきょり、 軌跡きせきと領域りょういき

ポイント: 直線ちょくせんの 平行へいこうは傾きかたむきが等ひとしい、 垂直すいちょくは傾きかたむきの積せきが $-1$。 円えんは中心ちゅうしんと半径はんけいで決きまり、 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ が基本形きほんけいです。

1. 2点てん間かんの距離きょり・内分ないぶん点てん

2点$A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$ について $AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}.$ 線分せんぶん$AB$ を $m:n$ に内分ないぶんする点てんは $(\frac{n{x}_1+m{x}_2}{m+n}, \frac{n{y}_1+m{y}_2}{m+n})$。

例題れいだい1: $A(1,2), B(4,6)$ の距離きょりを求もとめよ。

解答かいとう: $AB=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。

2. 直線ちょくせんの方程式ほうていしき

点$(x_1,y_1)$ を通とおり傾きかたむき $m$ の直線ちょくせんは $y-y_1=m(x-x_1)$。

• 平行へいこう: 傾きかたむきが等ひとしい
• 垂直すいちょく: 傾きかたむきの積せきが $-1$

例題れいだい2: 点$(2,3)$ を通とおり、 直線ちょくせん$y=2x+1$ に垂直すいちょくな直線ちょくせんを求もとめよ。

解答かいとう: 垂直すいちょくな直線ちょくせんの傾きかたむきは $-\frac{1}{2}$。 $y-3=-\frac{1}{2}(x-2)$ より $y=-\frac{1}{2}x+4$。

3. 円えんの方程式ほうていしき

中心ちゅうしん$(a,b)$、 半径はんけい$r$ の円の方程式えんのほうていしきは $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2.$

例題れいだい3: 中心ちゅうしん$(1,-2)$、 半径はんけい$3$ の円えんの方程式ほうていしきを求もとめよ。

解答かいとう: $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9$。

4. 点てんと直線ちょくせんの距離きょり

点$(x_0,y_0)$ と直線ちょくせん$ax+by+c=0$ の距離きょりは $d=\frac{\mid a{x}_0+b{y}_0+c\mid }{\sqrt{a^2+b^2}}.$

例題れいだい4: 点$(2,1)$ と直線ちょくせん$3x-4y+1=0$ の距離きょりを求もとめよ。

解答かいとう: $d=\frac{\mid 3\cdot 2-4\cdot 1+1\mid }{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{\mid 6-4+1\mid }{\sqrt{25}}=\frac{3}{5}$。

5. 軌跡きせきと領域りょういき

ある条件じょうけんを満みたす点てんの集あつまりが軌跡きせきです。 点てんを $(x,y)$ とおき、 条件じょうけんを式しきにして整理せいりします。 不等式ふとうしき$y>x+1$ などは、 境界きょうかいの直線ちょくせんで分わけられた 領域りょういき を表あらわします。

例題れいだい5: 2点$A(0,0), B(4,0)$ から等ひとしい距離きょりにある点てんの軌跡きせきを求もとめよ。

解答かいとう: $(x,y)$ とおくと $A{P}^2=B{P}^2$ より $x^2+y^2=(x-4{)}^2+y^2$。 整理せいりすると $0=-8x+16$、 $x=2$。 軌跡きせきは直線ちょくせん$x=2$(線分せんぶん$AB$ の垂直すいちょく二に等分とうぶん線せん)。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは距離きょり・内分点ないぶんてん・円の方程式えんのほうていしき・点と直線の距離てんとちょくせんのきょりが定番ていばんです。
• 二に次じでは軌跡きせきを求もとめる問題もんだいや、 連立れんりつ不等式ふとうしきの表あらわす領域りょういきの図示ずし・最大さいだい最小さいしょうが問とわれます。
• 円えんと直線ちょくせんの位置いち関係かんけいは「中心ちゅうしんと直線ちょくせんの距離きょり$d$ と半径はんけい$r$ の大小だいしょう」で判定はんていします( なら2点てんで交まじわる)。

まとめ

• 2点てん間かんの距離きょり$\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$、 内分ないぶん点てんの公式こうしき
• 直線ちょくせん: 平行へいこうは傾きかたむき一致いっち、 垂直すいちょくは傾きかたむきの積$-1$
• 円の方程式えんのほうていしき $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$
• 点と直線の距離てんとちょくせんのきょり $\frac{\mid a{x}_0+b{y}_0+c\mid }{\sqrt{a^2+b^2}}$

次章しょうでは、 関数かんすうの変化へんかのようすを調しらべる微分びぶんを学まなびます。

※「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にっぽん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。 この教材きょうざいは非公式ひこうしきの学習がくしゅう教材きょうざいです。