図形ずけいと方程式ほうていしき(点てんと直線ちょくせん・円えん・軌跡きせきと領域りょういき)

この章しょうで学まなぶこと

座標ざひょう平面へいめんを使つかうと、 図形ずけいの性質せいしつを式しきの計算けいさんで調しらべられます。 計算けいさんで図形ずけいをあつかう感覚かんかくを身みにつけましょう。

• 2点てん間かんの距離きょり・内分点ないぶんてんの座標ざひょう
• 直線ちょくせんの方程式ほうていしき・平行へいこうと垂直すいちょくの条件じょうけん
• 円の方程式えんのほうていしき
• 点と直線の距離てんとちょくせんのきょり、 軌跡きせきと領域りょういき

ポイント: 直線ちょくせんの 平行へいこうは傾きかたむきが等ひとしい、 垂直すいちょくは傾きかたむきの積せきが $-1$。 円えんは中心ちゅうしんと半径はんけいで決きまり、 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ が基本形きほんけいです。

1. 2点てん間かんの距離きょり・内分ないぶん点てん

2点$A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$ について $AB=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}.$ 線分せんぶん$AB$ を $m:n$ に内分ないぶんする点てんは $(\frac{n{x}_1+m{x}_2}{m+n}, \frac{n{y}_1+m{y}_2}{m+n})$。

例題れいだい1: $A(1,2), B(4,6)$ の距離きょりを求もとめよ。

解答かいとう: $AB=\sqrt{(4-1{)}^2+(6-2{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。

2. 直線ちょくせんの方程式ほうていしき

点$(x_1,y_1)$ を通とおり傾きかたむき $m$ の直線ちょくせんは $y-y_1=m(x-x_1)$。

• 平行へいこう: 傾きかたむきが等ひとしい
• 垂直すいちょく: 傾きかたむきの積せきが $-1$

例題れいだい2: 点$(2,3)$ を通とおり、 直線ちょくせん$y=2x+1$ に垂直すいちょくな直線ちょくせんを求もとめよ。

解答かいとう: 垂直すいちょくな直線ちょくせんの傾きかたむきは $-\frac{1}{2}$。 $y-3=-\frac{1}{2}(x-2)$ より $y=-\frac{1}{2}x+4$。

3. 円えんの方程式ほうていしき

中心ちゅうしん$(a,b)$、 半径はんけい$r$ の円の方程式えんのほうていしきは $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2.$

例題れいだい3: 中心ちゅうしん$(1,-2)$、 半径はんけい$3$ の円えんの方程式ほうていしきを求もとめよ。

解答かいとう: $(x-1{)}^2+(y+2{)}^2=9$。

4. 点てんと直線ちょくせんの距離きょり

点$(x_0,y_0)$ と直線ちょくせん$ax+by+c=0$ の距離きょりは $d=\frac{\mid a{x}_0+b{y}_0+c\mid }{\sqrt{a^2+b^2}}.$

例題れいだい4: 点$(2,1)$ と直線ちょくせん$3x-4y+1=0$ の距離きょりを求もとめよ。

解答かいとう: $d=\frac{\mid 3\cdot 2-4\cdot 1+1\mid }{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{\mid 6-4+1\mid }{\sqrt{25}}=\frac{3}{5}$。

5. 軌跡きせきと領域りょういき

ある条件じょうけんを満みたす点てんの集あつまりが軌跡きせきです。 点てんを $(x,y)$ とおき、 条件じょうけんを式しきにして整理せいりします。 不等式ふとうしき$y>x+1$ などは、 境界きょうかいの直線ちょくせんで分わけられた 領域りょういき を表あらわします。

例題れいだい5: 2点$A(0,0), B(4,0)$ から等ひとしい距離きょりにある点てんの軌跡きせきを求もとめよ。

解答かいとう: $(x,y)$ とおくと $A{P}^2=B{P}^2$ より $x^2+y^2=(x-4{)}^2+y^2$。 整理せいりすると $0=-8x+16$、 $x=2$。 軌跡きせきは直線ちょくせん$x=2$(線分せんぶん$AB$ の垂直すいちょく二に等分とうぶん線せん)。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは距離きょり・内分点ないぶんてん・円の方程式えんのほうていしき・点と直線の距離てんとちょくせんのきょりが定番ていばんです。
• 二に次じでは軌跡きせきを求もとめる問題もんだいや、 連立れんりつ不等式ふとうしきの表あらわす領域りょういきの図示ずし・最大さいだい最小さいしょうが問とわれます。
• 円えんと直線ちょくせんの位置いち関係かんけいは「中心ちゅうしんと直線ちょくせんの距離きょり$d$ と半径はんけい$r$ の大小だいしょう」で判定はんていします( なら2点てんで交まじわる)。

よくまちがえるところ

図形ずけいと方程式ほうていしきは公式こうしきそのものは短みじかいのに、 符号ふごうと係数けいすうの位置いち でまちがえます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
内分点ないぶんてんの公式こうしきで m と n を入いれかえる	A(1,2)、 B(4,6) を 1:2 に内分ないぶんする点てんの x 座標ざひょうを (1×1+2×4)/3=3 とする	(2×1+1×4)/3=2
円えんの方程式ほうていしきで中心ちゅうしんの符号ふごうを逆ぎゃくにする	中心ちゅうしん(1,-2)、 半径はんけい3 の円えんを (x+1)²+(y-2)²=9 とする	(x-1)²+(y+2)²=9
垂直すいちょく条件じょうけんで傾きかたむきの積せきを 1 とする	y=2x+1 に垂直すいちょくな直線ちょくせんの傾きかたむきを 1/2 とする	積せきが -1 なので -1/2
点と直線の距離てんとちょくせんのきょりで絶対ぜったい値ちを忘わすれる	分子ぶんしを符号ふごうつきのまま答えこたえにする	分子ぶんしは絶対ぜったい値ちをとるので必かならず 0 以上いじょう

いちばん多おおいのは 内分ないぶん点てんの係数けいすうの位置いち です。 m:n に内分ないぶんする点てんでは、 x1 につく係数けいすうが n、 x2 につく係数けいすうが m と、 たすきちがいになります。 1:2 なら A に近ちかい点てんになるはずなので、 A(1,2) と B(4,6) の間まで x=2 が正ただしく、 x=3 は B に寄よりすぎです。 公式こうしきを思おもい出だせないときは、 出だした点てんが近ちかいほうに寄よっているかを見みて確たしかめましょう。 m=n のときに中点ちゅうてんの公式こうしきと一致いっちするかも、 よい検算けんざんになります。

円えんと直線ちょくせんの位置いち関係かんけいを判定はんていする

順番じゅんばん	やること	例れい(円えん x²+y²=4 と直線ちょくせん x+y-2=0)
1	円えんの中心ちゅうしんと半径はんけいを読よむ	中心ちゅうしん(0,0)、 半径はんけい r=2
2	中心ちゅうしんと直線ちょくせんの距離きょり d を求もとめる	d=2/√2=√2
3	d と r を比くらべる	√2 は約やく1.41 で 2 より小ちいさい
4	結論けつろんを書かく	異ことなる2点てんで交まじわる

d と r の関係かんけい	位置いち関係かんけい	共有きょうゆう点てんの数かず
d < r	異ことなる2点てんで交まじわる	2個こ
d = r	接せっする	1個こ
d > r	共有きょうゆう点てんをもたない	0個こ

大事だいじ: 円えんと直線ちょくせんを連立れんりつして2次じ方程式ほうていしきにし、 判別はんべつ式しき D の符号ふごうで判定はんていすることもできます。 D>0 が2点てん、 D=0 が接せっする、 D<0 が共有きょうゆう点てんなしで、 距離きょりを使つかった判定はんていと結論けつろんは同おなじになります。

自分じぶんでチェック

• 2点てん間かんの距離きょりの公式こうしきを書かける
• m:n の内分ないぶん点てんで係数けいすうがたすきちがいになると言いえる
• 中心ちゅうしん(a,b)の円えんが (x-a)²+(y-b)²=r² だと書かける
• 垂直すいちょくな2直線ちょくせんの傾きかたむきの積せきが -1 だと言いえる
• 中心ちゅうしんと直線ちょくせんの距離きょり d と半径はんけい r を比くらべて位置いち関係かんけいを判定はんていできる

まとめ

• 2点てん間かんの距離きょり$\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$、 内分ないぶん点てんの公式こうしき
• 直線ちょくせん: 平行へいこうは傾きかたむき一致いっち、 垂直すいちょくは傾きかたむきの積$-1$
• 円の方程式えんのほうていしき $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$
• 点と直線の距離てんとちょくせんのきょり $\frac{\mid a{x}_0+b{y}_0+c\mid }{\sqrt{a^2+b^2}}$

次章しょうでは、 関数かんすうの変化へんかのようすを調しらべる微分びぶんを学まなびます。

※「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にほん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。 この教材きょうざいは非公式ひこうしきの学習がくしゅう教材きょうざいです。