微分びぶん(微分びぶん係数けいすうと導どう関数かんすう・接線せっせん・増減ぞうげん)

この章しょうで学まなぶこと

関数かんすうの変化へんかのようすを「ある点てんでの傾きかたむき」でとらえるのが微分びぶんです。 グラフの増減ぞうげんや極値きょくちを調しらべられるようになります。

• 微分係数びぶんけいすうと導関数どうかんすうの意味いみ
• $x^n$ の微分びぶん公式こうしき
• 接線せっせんの方程式ほうていしき
• 関数かんすうの増減ぞうげん・極値きょくちとグラフ

ポイント: 導関数どうかんすう $f^{\prime }\left(x\right)$ は「各かく点てんでの接線せっせんの傾きかたむき」を表あらわす関数かんすうです。 $f^{\prime }\left(x\right)>0$ なら増加ぞうか、 なら減少げんしょう。 増減ぞうげんの境目さかいめ($f^{\prime }\left(x\right)=0$ で符号ふごうが変かわる点てん)が極値きょくちになります。

1. 微分びぶん係数けいすうと導どう関数かんすう

関数かんすう$f\left(x\right)$ の $x=a$ における微分係数びぶんけいすう $f^{\prime }\left(a\right)$ は、 グラフ上じょうの点$(a,f(a\left)\right)$ における接線せっせんの傾きかたむきです。 各$x$ に $f^{\prime }\left(x\right)$ を対応たいおうさせた関数かんすうを導関数どうかんすうといいます。

$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1},(定数{)}^{\prime }=0.$

例題れいだい1: $f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$ を微分びぶんせよ。

解答かいとう: $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x$。

2. 微分びぶん係数けいすうの計算けいさん

例題れいだい2: $f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$ の $x=1$ における微分びぶん係数けいすうを求もとめよ。

解答かいとう: $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x$ より $f^{\prime }\left(1\right)=3\cdot 1-6\cdot 1=3-6=-3$。

3. 接線せっせんの方程式ほうていしき

曲線きょくせん$y=f\left(x\right)$上の点$(a,f(a\left)\right)$ における接線せっせんは $y-f\left(a\right)=f^{\prime }\left(a\right)(x-a).$

例題れいだい3: $y=x^2$上の点$(2,4)$ における接線せっせんの方程式ほうていしきを求もとめよ。

解答かいとう: $y^{\prime }=2x$ より傾きかたむきは $f^{\prime }\left(2\right)=4$。 $y-4=4(x-2)$、 すなわち $y=4x-4$。

(検算けんざん) $x=2$ のとき $y=4\cdot 2-4=4$ で接点せってんを通とおる。 ✓

4. 増減ぞうげんと極きょく値

$f^{\prime }\left(x\right)$ の符号ふごうを調しらべて増減ぞうげん表ひょうをつくります。 $f^{\prime }\left(x\right)=0$ となる $x$ の前後ぜんごで $f^{\prime }\left(x\right)$ の符号ふごうが 正せい→負ふ なら極大きょくだい、 負ふ→正せい なら極小きょくしょうです。

例題れいだい4: $f\left(x\right)=x^3-3x$ の極値きょくちを求もとめよ。

解答かいとう: $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$。 $f^{\prime }\left(x\right)=0$ より $x=\pm 1$。

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$	増まし	極大きょくだい	減げん	極小きょくしょう	増まし

$x=-1$ で極大きょくだい値ち$f(-1)=(-1{)}^3-3(-1)=-1+3=2$、 $x=1$ で極小きょくしょう値ち$f\left(1\right)=1-3=-2$。

(検算けんざん) $f(-1)=-1+3=2$ ✓、 $f\left(1\right)=1-3=-2$ ✓。 で先さきに極大きょくだい→極小きょくしょう、 増減ぞうげん表ひょうと整合せいごう。 ✓

どう問とわれるか

• 一いち次じでは導関数どうかんすうの計算けいさんや特定とくていの点てんの微分係数びぶんけいすう・接線せっせんの傾きかたむきが定番ていばんです。
• 二に次じでは極値きょくちを求もとめたり、 増減ぞうげん表ひょうをかいてグラフの概形がいけいや最大さいだい・最小さいしょうを求もとめる問題もんだいが出でます。
• 「区間くかんにおける最大さいだい・最小さいしょう」は極値きょくちと 区間くかんの端はじの値あたい を比くらべて決きめます。

よくまちがえるところ

微分びぶんは計算けいさんが単純たんじゅんな分ぶん、 求もとめるものの取とりちがえ が失点しってんになります。

まちがい	例れい	直なおし方かた
接線せっせんと法線ほうせんを混同こんどうする	傾きかたむきが 4 の接点せってんで法線ほうせんを y-4=4(x-2) とする	法線ほうせんの傾きかたむきは -1/4
定数ていすう項こうまで微分びぶんし残のこす	f(x)=x³-3x²+2 の f'(x) を 3x²-6x+2 とする	定数ていすうの微分びぶんは 0 なので 3x²-6x
極値きょくちと最大さいだい最小さいしょうを同おなじものとする	-2≦x≦3 で f(x)=x³-3x の最大値さいだいちを極大きょくだい値ち 2 とする	端はじの f(3)=18 が最大さいだい
f'(x)=0 を必かならず極きょく値ちとする	f(x)=x³ で x=0 を極ごく値あたいとする	前後ぜんごで符号ふごうが変かわらないので極ごく値あたいではない

いちばん多おおいのは 接線せっせんと法線ほうせんの混同こんどう です。 法線ほうせんは接点せってんを通とおり、 接線せっせんに垂直すいちょくな直線ちょくせんです。 垂直すいちょくな2直線ちょくせんは傾きかたむきの積せきが -1 なので、 法線ほうせんの傾きかたむきは接線せっせんの傾きかたむきの逆数ぎゃくすうに符号ふごうを変かえたもの、 つまり -1/f'(a) になります。 問題もんだい文ぶんの 「接線せっせん」 「法線ほうせん」 を丸まるで囲かこんでから解とき始はじめるだけで、 このミスはほぼなくなります。

接線せっせんを求もとめる手順てじゅん

順番じゅんばん	やること	例れい(y=x² 上うえの点てん(2,4))
1	接点せってんの x 座標ざひょうを確認かくにんする	a=2
2	導関数どうかんすうを求もとめる	y'=2x
3	接点せってんでの傾きかたむきを求もとめる	f'(2)=4
4	y-f(a)=f'(a)(x-a) に入いれる	y-4=4(x-2)
5	整理せいりする	y=4x-4
6	接点せってんを代入だいにゅうして検算けんざんする	x=2 のとき y=4 で接点せってんを通とおる

法線ほうせんは 4 の式しきの傾きかたむきを -1/f'(a) にかえるだけです。 この例れいでは y-4=(-1/4)(x-2)、 整理せいりして y=(-1/4)x+9/2 となり、 x=2 を入いれると y=4 で接点せってんを通とおることが確たしかめられます。

大事だいじ: 区間くかんつきの最大さいだい・最小さいしょうは、 極きょく値ちだけでなく 区間くかんの端はじの値あたい も必かならず比くらべます。 増減ぞうげん表ひょうに端はじの x と y を書かきこんでおくと、 比くらべ忘わすれを防ふせげます。

自分じぶんでチェック

• 定数ていすうを微分びぶんすると 0 になると言いえる
• 微分係数びぶんけいすう f'(a) が接線せっせんの傾きかたむきだと言いえる
• 接線せっせんと法線ほうせんの傾きかたむきの関係かんけい(積せきが -1)を書かける
• f'(x) の符号ふごうが正せいから負ふに変かわる点てんが極大きょくだいだと言いえる
• 区間くかんつきの最大さいだい最小さいしょうで端はじの値あたいも比くらべられる

まとめ

• 導関数どうかんすう: $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$、 定数ていすうの微分びぶんは $0$
• 微分係数びぶんけいすう $f^{\prime }\left(a\right)$ = 点$(a,f(a\left)\right)$ の接線せっせんの傾きかたむき
• 接線せっせん: $y-f\left(a\right)=f^{\prime }\left(a\right)(x-a)$
• $f^{\prime }\left(x\right)$ の符号ふごう変化へんかで極大きょくだい・極小きょくしょうを判定はんてい

次じ章しょうでは、 微分びぶんのぎゃくの計算けいさんである積分せきぶんと面積めんせきを学まなびます。

※「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にほん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。 この教材きょうざいは非公式ひこうしきの学習がくしゅう教材きょうざいです。