微分びぶん(微分びぶん係数けいすうと導しるべ関数かんすう・接線せっせん・増減ぞうげん)

この章しょうで学まなぶこと

関数かんすうの変化へんかのようすを「ある点てんでの傾きかたむき」でとらえるのが微分びぶんです。 グラフの増減ぞうげんや極値きょくちを調しらべられるようになります。

• 微分係数びぶんけいすうと導関数どうかんすうの意味いみ
• $x^n$ の微分びぶん公式こうしき
• 接線せっせんの方程式ほうていしき
• 関数かんすうの増減ぞうげん・極値きょくちとグラフ

ポイント: 導関数どうかんすう $f^{\prime }\left(x\right)$ は「各かく点てんでの接線せっせんの傾きかたむき」を表あらわす関数かんすうです。 $f^{\prime }\left(x\right)>0$ なら増加ぞうか、 なら減少げんしょう。 増減ぞうげんの境目さかいめ($f^{\prime }\left(x\right)=0$ で符号ふごうが変かわる点てん)が極値きょくちになります。

1. 微分びぶん係数けいすうと導しるべ関数かんすう

関数かんすう$f\left(x\right)$ の $x=a$ における微分係数びぶんけいすう $f^{\prime }\left(a\right)$ は、 グラフ上じょうの点$(a,f(a\left)\right)$ における接線せっせんの傾きかたむきです。 各$x$ に $f^{\prime }\left(x\right)$ を対応たいおうさせた関数かんすうを導関数どうかんすうといいます。

$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1},(定数{)}^{\prime }=0.$

例題れいだい1: $f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$ を微分びぶんせよ。

解答かいとう: $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x$。

2. 微分びぶん係数けいすうの計算けいさん

例題れいだい2: $f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$ の $x=1$ における微分びぶん係数けいすうを求もとめよ。

解答かいとう: $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x$ より $f^{\prime }\left(1\right)=3\cdot 1-6\cdot 1=3-6=-3$。

3. 接線せっせんの方程式ほうていしき

曲線きょくせん$y=f\left(x\right)$上の点$(a,f(a\left)\right)$ における接線せっせんは $y-f\left(a\right)=f^{\prime }\left(a\right)(x-a).$

例題れいだい3: $y=x^2$上の点$(2,4)$ における接線せっせんの方程式ほうていしきを求もとめよ。

解答かいとう: $y^{\prime }=2x$ より傾きかたむきは $f^{\prime }\left(2\right)=4$。 $y-4=4(x-2)$、 すなわち $y=4x-4$。

(検算けんざん) $x=2$ のとき $y=4\cdot 2-4=4$ で接点せってんを通とおる。 ✓

4. 増減ぞうげんと極きょく値

$f^{\prime }\left(x\right)$ の符号ふごうを調しらべて増減ぞうげん表ひょうをつくります。 $f^{\prime }\left(x\right)=0$ となる $x$ の前後ぜんごで $f^{\prime }\left(x\right)$ の符号ふごうが 正ただし→負ふ なら極大きょくだい、 負まけ→正せい なら極小きょくしょうです。

例題れいだい4: $f\left(x\right)=x^3-3x$ の極値きょくちを求もとめよ。

解答かいとう: $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$。 $f^{\prime }\left(x\right)=0$ より $x=\pm 1$。

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$	増まし	極大きょくだい	減げん	極小きょくしょう	増まし

$x=-1$ で極大きょくだい値ち$f(-1)=(-1{)}^3-3(-1)=-1+3=2$、 $x=1$ で極小きょくしょう値ち$f\left(1\right)=1-3=-2$。

(検算けんざん) $f(-1)=-1+3=2$ ✓、 $f\left(1\right)=1-3=-2$ ✓。 で先さきに極大きょくだい→極小きょくしょう、 増減ぞうげん表ひょうと整合せいごう。 ✓

どう問とわれるか

• 一いち次じでは導関数どうかんすうの計算けいさんや特定とくていの点てんの微分係数びぶんけいすう・接線せっせんの傾きかたむきが定番ていばんです。
• 二に次じでは極値きょくちを求もとめたり、 増減ぞうげん表ひょうをかいてグラフの概形がいけいや最大さいだい・最小さいしょうを求もとめる問題もんだいが出でます。
• 「区間くかんにおける最大さいだい・最小さいしょう」は極値きょくちと 区間くかんの端はじの値あたい を比くらべて決きめます。

まとめ

• 導関数どうかんすう: $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$、 定数ていすうの微分びぶんは $0$
• 微分係数びぶんけいすう $f^{\prime }\left(a\right)$ = 点$(a,f(a\left)\right)$ の接線せっせんの傾きかたむき
• 接線せっせん: $y-f\left(a\right)=f^{\prime }\left(a\right)(x-a)$
• $f^{\prime }\left(x\right)$ の符号ふごう変化へんかで極大きょくだい・極小きょくしょうを判定はんてい

次じ章しょうでは、 微分びぶんのぎゃくの計算けいさんである積分せきぶんと面積めんせきを学まなびます。

※「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にっぽん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。 この教材きょうざいは非公式ひこうしきの学習がくしゅう教材きょうざいです。