積分せきぶん(不定ふてい積分せきぶん・定てい積分せきぶん・面積めんせき)

この章しょうで学まなぶこと

微分びぶんのぎゃくの計算けいさんが積分せきぶんです。 定積分ていせきぶんを使つかうと、 曲線きょくせんで囲かこまれた面積めんせきを求もとめられます。

• 不定積分ふていせきぶんの計算けいさん(積分せきぶん定数ていすう$C$)
• 定積分ていせきぶんの計算けいさん
• 曲線きょくせんと $x$軸で囲かこまれた面積めんせき

ポイント: $\int x^n\hspace{0.17em}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$。 微分びぶんすると指数しすうが下さがるので、 積分せきぶんでは 指数しすうを1つ上あげて、 その数かずで割われる と覚おぼえます。 微分びぶんしてもとに戻もどるか確たしかめれば検算けんざんできます。

1. 不定ふてい積分せきぶん

$\int x^n\hspace{0.17em}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\ne -1).$ $C$ は積分定数せきぶんていすうです。

例題れいだい1: $\int (3x^2-4x+1)\hspace{0.17em}dx$ を求もとめよ。

解答かいとう: 各項かくこうを積分せきぶんして $x^3-2x^2+x+C$。

(検算けんざん) $(x^3-2x^2+x+C{)}^{\prime }=3x^2-4x+1$。 ✓

2. 定てい積分せきぶん

$\int abf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=\left[F\right(x\left)\right]ab=F\left(b\right)-F\left(a\right),F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right).$

例題れいだい2: $\int 02x^2\hspace{0.17em}dx$ を求もとめよ。

解答かいとう: $\int 02x^2\hspace{0.17em}dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]02=\frac{8}{3}-0=\frac{8}{3}$。

例題れいだい3: $\int 13(2x-1)\hspace{0.17em}dx$ を求もとめよ。

解答かいとう: $[x^2-x]13=(9-3)-(1-1)=6-0=6$。

(検算けんざん) 被ひ積分せきぶん関数かんすう$2x-1$ は1次じ関数かんすう。 $x=1$ で $1$、 $x=3$ で $5$、 台形だいけいの面積めんせき$\frac{(1+5)}{2}\times 2=6$。 ✓

3. 面積めんせき

区間くかん$[a,b]$ で $f\left(x\right)\ge 0$ のとき、 曲線きょくせん$y=f\left(x\right)$ と $x$軸、 直線ちょくせん$x=a, x=b$ で囲かこまれた面積めんせきは $S=\int abf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx.$

例題れいだい4: 放物線ほうぶつせん$y=x^2$ と $x$軸、 直線ちょくせん$x=1$ で囲かこまれた部分ぶぶん($0\le x\le 1$)の面積めんせきを求もとめよ。

解答かいとう: $S=\int 01x^2\hspace{0.17em}dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]01=\frac{1}{3}$。

例題れいだい5: 放物線ほうぶつせん$y=-x^2+4$ と $x$軸で囲かこまれた部分ぶぶんの面積めんせきを求もとめよ。

解答かいとう: $-x^2+4=0$ より $x=\pm 2$。 区間くかん$[-2,2]$ で $y\ge 0$。 $S=\int -22(-x^2+4)\hspace{0.17em}dx=[-\frac{x^3}{3}+4x]-22.$ $x=2$: $-\frac{8}{3}+8=\frac{16}{3}$。 $x=-2$: $\frac{8}{3}-8=-\frac{16}{3}$。 差さは $\frac{16}{3}-(-\frac{16}{3})=\frac{32}{3}$。

(検算けんざん) 偶関数かんすうなので $S=2\int 02(-x^2+4)dx=2[-\frac{8}{3}+8]=2\cdot \frac{16}{3}=\frac{32}{3}$。 ✓

どう問とわれるか

• 一いち次じでは不定積分ふていせきぶん・定積分ていせきぶんの計算けいさんが定番ていばんです。
• 二に次じでは曲線きょくせんと $x$軸、 あるいは2曲きょく線せんで囲かこまれた面積めんせきを求もとめる問題もんだいが出でます。
• 2曲きょく線せんで囲かこまれた面積めんせきは $\int ab\left\{\right(上の式)-(下の式\left)\right\}\hspace{0.17em}dx$ で計算けいさんします。

まとめ

• 不定積分ふていせきぶん: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
• 定積分ていせきぶん: $F\left(b\right)-F\left(a\right)$
• 面積めんせき: $f\left(x\right)\ge 0$ なら $\int abf\left(x\right)dx$
• 微分びぶんしてもとに戻もどるかで検算けんざんできる

次じ章しょうでは、 数かずBの確率分布かくりつぶんぷと統計とうけい的てきな推測すいそくを学まなびます。

※「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にっぽん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。 この教材きょうざいは非公式ひこうしきの学習がくしゅう教材きょうざいです。