積分せきぶん(不定ふてい積分せきぶん・定てい積分せきぶん・面積めんせき)

この章しょうで学まなぶこと

微分びぶんのぎゃくの計算けいさんが積分せきぶんです。 定積分ていせきぶんを使つかうと、 曲線きょくせんで囲かこまれた面積めんせきを求もとめられます。

• 不定積分ふていせきぶんの計算けいさん(積分せきぶん定数ていすう$C$)
• 定積分ていせきぶんの計算けいさん
• 曲線きょくせんと $x$軸で囲かこまれた面積めんせき

ポイント: $\int x^n\hspace{0.17em}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$。 微分びぶんすると指数しすうが下さがるので、 積分せきぶんでは 指数しすうを1つ上あげて、 その数かずで割われる と覚おぼえます。 微分びぶんしてもとに戻もどるか確たしかめれば検算けんざんできます。

1. 不定ふてい積分せきぶん

$\int x^n\hspace{0.17em}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\ne -1).$ $C$ は積分定数せきぶんていすうです。

例題れいだい1: $\int (3x^2-4x+1)\hspace{0.17em}dx$ を求もとめよ。

解答かいとう: 各項かくこうを積分せきぶんして $x^3-2x^2+x+C$。

(検算けんざん) $(x^3-2x^2+x+C{)}^{\prime }=3x^2-4x+1$。 ✓

2. 定てい積分せきぶん

$\int abf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx=\left[F\right(x\left)\right]ab=F\left(b\right)-F\left(a\right),F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right).$

例題れいだい2: $\int 02x^2\hspace{0.17em}dx$ を求もとめよ。

解答かいとう: $\int 02x^2\hspace{0.17em}dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]02=\frac{8}{3}-0=\frac{8}{3}$。

例題れいだい3: $\int 13(2x-1)\hspace{0.17em}dx$ を求もとめよ。

解答かいとう: $[x^2-x]13=(9-3)-(1-1)=6-0=6$。

(検算けんざん) 被ひ積分せきぶん関数かんすう$2x-1$ は1次じ関数かんすう。 $x=1$ で $1$、 $x=3$ で $5$、 台形だいけいの面積めんせき$\frac{(1+5)}{2}\times 2=6$。 ✓

3. 面積めんせき

区間くかん$[a,b]$ で $f\left(x\right)\ge 0$ のとき、 曲線きょくせん$y=f\left(x\right)$ と $x$軸、 直線ちょくせん$x=a, x=b$ で囲かこまれた面積めんせきは $S=\int abf\left(x\right)\hspace{0.17em}dx.$

例題れいだい4: 放物線ほうぶつせん$y=x^2$ と $x$軸、 直線ちょくせん$x=1$ で囲かこまれた部分ぶぶん($0\le x\le 1$)の面積めんせきを求もとめよ。

解答かいとう: $S=\int 01x^2\hspace{0.17em}dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]01=\frac{1}{3}$。

例題れいだい5: 放物線ほうぶつせん$y=-x^2+4$ と $x$軸で囲かこまれた部分ぶぶんの面積めんせきを求もとめよ。

解答かいとう: $-x^2+4=0$ より $x=\pm 2$。 区間くかん$[-2,2]$ で $y\ge 0$。 $S=\int -22(-x^2+4)\hspace{0.17em}dx=[-\frac{x^3}{3}+4x]-22.$ $x=2$: $-\frac{8}{3}+8=\frac{16}{3}$。 $x=-2$: $\frac{8}{3}-8=-\frac{16}{3}$。 差さは $\frac{16}{3}-(-\frac{16}{3})=\frac{32}{3}$。

(検算けんざん) 偶関数かんすうなので $S=2\int 02(-x^2+4)dx=2[-\frac{8}{3}+8]=2\cdot \frac{16}{3}=\frac{32}{3}$。 ✓

どう問とわれるか

• 一いち次じでは不定積分ふていせきぶん・定積分ていせきぶんの計算けいさんが定番ていばんです。
• 二に次じでは曲線きょくせんと $x$軸、 あるいは2曲きょく線せんで囲かこまれた面積めんせきを求もとめる問題もんだいが出でます。
• 2曲きょく線せんで囲かこまれた面積めんせきは $\int ab\left\{\right(上の式)-(下の式\left)\right\}\hspace{0.17em}dx$ で計算けいさんします。

よくまちがえるところ

積分せきぶんの失点しってんは 積分せきぶん定数ていすう と 面積めんせきと定てい積分せきぶんの取とりちがえ の2つに集あつまります。

まちがい	例れい	直なおし方かた
積分定数せきぶんていすうを書かき忘わすれる	3x²-4x+1 の不定ふてい積分せきぶんを x³-2x²+x とする	+C をつける
定てい積分せきぶんにも C をつける	上端じょうたんと下端かたんのある積分せきぶんに +C を書かく	定てい積分せきぶんに C はつかない
上端じょうたんと下端かたんを逆ぎゃくにする	値あたいを F(a)-F(b) とする	F(b)-F(a)
定てい積分せきぶんの値あたいをそのまま面積めんせきとする	x 軸じくより下したの部分ぶぶんで -4/3 を面積めんせきとする	面積めんせきは 4/3

いちばん多おおいのは 面積めんせきと定てい積分せきぶんの取とりちがえ です。 定てい積分せきぶんは x 軸じくより下したの部分ぶぶんでは負ふの値あたいになります。 たとえば y=x²-1 を -1 から 1 まで積分せきぶんすると -4/3 ですが、 この区間くかんの面積めんせきは 4/3 です。 面積めんせきを求もとめるときは、 まず上うえにある式しきから下したにある式しきを引ひいてから積分せきぶんする、 という手順てじゅんに固定こていしておくと符号ふごうで迷まよいません。

面積めんせきを求もとめる手順てじゅん

順番じゅんばん	やること	例れい(y=x² と y=x+2)
1	交点こうてんを求もとめる	x²=x+2 より x=-1、 2
2	どちらが上うえかを1点てんで確たしかめる	x=0 で直線ちょくせんは 2、 放物線ほうぶつせんは 0 なので直線ちょくせんが上うえ
3	(上じょうの式しき)-(下かの式しき) を積分せきぶんする	(x+2)-x² を -1 から 2 まで
4	計算けいさんする	9/2
5	値あたいが正せいかを確たしかめる	正せいなので符号ふごうは正ただしい

放物線ほうぶつせんと直線ちょくせんで囲かこまれた部分ぶぶんの面積めんせきは、 交点こうてんの x 座標ざひょうを α、 β、 x² の係数けいすうを a とすると、 (1/6) × (a の絶対ぜったい値ち) × (β-α)³ でも求もとめられます。 この例れいでは (1/6)×1×3³=27/6=9/2 となり一致いっちします。 計算けいさんが合あっているかをすばやく確たしかめる道具どうぐとして便利べんりです。

大事だいじ: 不定ふてい積分せきぶんは微分びぶんすればもとの式しきに戻もどります。 x³-2x²+x+C を微分びぶんすると 3x²-4x+1 になるので、 これだけで検算けんざんが終おわります。

自分じぶんでチェック

• 不定ふてい積分せきぶんに積分せきぶん定数ていすう C をつけられる
• 定てい積分せきぶんが F(b)-F(a) だと書かける
• x 軸じくより下したでは定てい積分せきぶんが負ふになると言いえる
• 面積めんせきは (上じょうの式しき)-(下かの式しき) を積分せきぶんすると言いえる
• 積分せきぶんの答えこたえを微分びぶんして検算けんざんできる

まとめ

• 不定積分ふていせきぶん: $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
• 定積分ていせきぶん: $F\left(b\right)-F\left(a\right)$
• 面積めんせき: $f\left(x\right)\ge 0$ なら $\int abf\left(x\right)dx$
• 微分びぶんしてもとに戻もどるかで検算けんざんできる

次じ章しょうでは、 数かずBの確率分布かくりつぶんぷと統計とうけい的てきな推測すいそくを学まなびます。

※「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にほん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。 この教材きょうざいは非公式ひこうしきの学習がくしゅう教材きょうざいです。