確率かくりつ分布ぶんぷと統計とうけい的てきな推測すいそく(数すうB)

この章しょうで学まなぶこと

数かずBの統計とうけいの単元たんげんです。 偶然ぐうぜんに左右さゆうされる量りょうを確率変数かくりつへんすうとしてとらえ、 その平均へいきん的てきなふるまいや、 標本ひょうほんから全体ぜんたいを推測すいそくする方法ほうほうを学まなびます。

• 確率変数かくりつへんすうと確率分布かくりつぶんぷ
• 期待値きたいち(平均へいきん) $E\left(X\right)$ と分散ぶんさん $V\left(X\right)$
• 二項分布にこうぶんぷと正規分布せいきぶんぷ
• 母はは平均へいきんの区間推定くかんすいてい

ポイント: 期待値きたいちは「値あたい$\times$確率かくりつ」の総和そうわです。 二項分布にこうぶんぷ $B(n,p)$ では $E\left(X\right)=np$、 $V\left(X\right)=np(1-p)$ という公式こうしきが使つかえます。 大おおきな $n$ では正規分布せいきぶんぷで近似きんじできます。

1. 確率かくりつ変数へんすうと確率かくりつ分布ぶんぷ

試行しこうの結果けっかによって値あたいが決きまる変数へんすうを確率変数かくりつへんすうといい、 各かく値あたいとその確率かくりつの対応たいおうを確率分布かくりつぶんぷといいます。

2. 期待きたい値ちと分散ぶんさん

$X$ のとりうる値あたいが $x_1,\dots ,x_n$、 その確率かくりつが $p_1,\dots ,p_n$ のとき $E\left(X\right)={\sum }_k{x}_k{p}_k,V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-\left\{E\right(X){\}}^2.$

例題れいだい1: 1個このさいころを1回かい投なげ、 出でた目めを $X$ とする。 $E\left(X\right)$ を求もとめよ。

解答かいとう: $E\left(X\right)=\frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}$。

3. 二に項こう分布ぶんぷ

確率かくりつ$p$ で起おこることがらを $n$回くりかえすとき、 起おこる回数かいすう$X$ は二項分布にこうぶんぷ $B(n,p)$ にしたがい $P(X=k)={}_n{C}_k\hspace{0.17em}{p}^k(1-p{)}^{n-k},E(X)=np,V(X)=np(1-p).$

例題れいだい2: $1$枚の硬貨こうかを $100$回投なげるとき、 表ひょうが出でる回数かいすう$X$ の期待値きたいちと分散ぶんさんを求もとめよ。

解答かいとう: $X\sim B(100, \frac{1}{2})$。 $E\left(X\right)=100\cdot \frac{1}{2}=50$、 $V\left(X\right)=100\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=25$。

(検算けんざん) 標準ひょうじゅん偏差へんい$\sqrt{V\left(X\right)}=\sqrt{25}=5$。 ✓

4. 正規せいき分布ぶんぷ

連続れんぞく的てきな量りょうの分布ぶんぷで代表だいひょう的てきなのが正規分布せいきぶんぷです。 平均へいきん$m$、 標準ひょうじゅん偏差へんい$\sigma$ の正規せいき分布ぶんぷ$N(m,{\sigma }^2)$ にしたがう $X$ は、 $Z=\frac{X-m}{\sigma }$ とおくと標準ひょうじゅん正規せいき分布ぶんぷ$N(0,1)$ になります(標準ひょうじゅん化か)。 $n$ が大おおきいとき、 二項分布にこうぶんぷは正規せいき分布ぶんぷで近似きんじできます。

5. 母はは平均へいきんの区間くかん推定すいてい

標本ひょうほん平均へいきん$Xˉ$ をもとに、 母はは平均へいきん$m$ がふくまれる範囲はんいを確率かくりつつきで示しめすのが区間推定くかんすいていです。 母はは標準ひょうじゅん偏差へんい$\sigma$、 標本ひょうほんの大おおきさ $n$ のとき、 信頼しんらい度ど$95\%$ の信頼しんらい区間くかんは $Xˉ-1.96\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}} \le m \le Xˉ+1.96\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}.$

例題れいだい3: 母はは標準ひょうじゅん偏差へんい$\sigma =10$ の母集団ぼしゅうだんから大おおきさ $100$ の標本ひょうほんをとったところ、 標本ひょうほん平均へいきんが $Xˉ=50$ であった。 母はは平均へいきん$m$ の信頼しんらい度ど$95\%$ の信頼しんらい区間くかんを求もとめよ。

解答かいとう: $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{100}}=\frac{10}{10}=1$。 $1.96\times 1=1.96$。 信頼しんらい区間くかんは $50-1.96\le m\le 50+1.96$、 すなわち $48.04\le m\le 51.96$。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは期待値きたいち・分散ぶんさんの計算けいさんや、 二項分布にこうぶんぷの $E\left(X\right)=np, V\left(X\right)=np(1-p)$ の適用てきようが定番ていばんです。
• 二に次じでは正規せいき分布ぶんぷ表ひょうを使つかった確率かくりつの計算けいさんや、 母はは平均へいきんの区間推定くかんすいていが問とわれます。
• 標準ひょうじゅん化か$Z=\frac{X-m}{\sigma }$ で正規せいき分布ぶんぷ表ひょうが引ひける形かたちにするのがコツです。

よくまちがえるところ

統計とうけいは公式こうしきの形かたちが似にているため、 どの量りょうを答えこたえているか を見失みうしないやすい分野ぶんやです。

まちがい	例れい	直なおし方かた
分散ぶんさんの式しきで引ひく順じゅんを逆ぎゃくにする	V(X) を {E(X)}²-E(X²) とする	E(X²)-{E(X)}²
二項分布にこうぶんぷの分散ぶんさんを np とする	B(100, 1/2) で V(X)=50 とする	np(1-p)=100×(1/2)×(1/2)=25
分散ぶんさんと標準ひょうじゅん偏差へんいを取とりちがえる	V(X)=25 を標準ひょうじゅん偏差へんい 25 とする	標準ひょうじゅん偏差へんいは √25=5
区間推定くかんすいていで √n で割わり忘わすれる	σ=10、 n=100 で 1.96×10=19.6 とする	σ/√n=1 なので 1.96

いちばん多おおいのは 標本ひょうほんの大おおきさ n で割われる部分ぶぶんの落おとし です。 区間くかん推定すいていで使つかうのは母はは標準ひょうじゅん偏差へんい σ そのものではなく、 標本ひょうほん平均へいきんのばらつきを表あらわす σ/√n です。 標本ひょうほんを多おおく集あつめるほど平均へいきんは安定あんていするので、 n が大おおきいほどこの値あたいは小ちいさくなり、 信頼しんらい区間くかんの幅はばもせまくなります。 n を4倍ばいすると幅はばは半分はんぶんになる、 という関係かんけいを覚おぼえておくと計算けいさん後ごの見当けんとうづけに使つかえます。

信頼しんらい区間くかんを求もとめる手順てじゅん

順番じゅんばん	やること	例れい(σ=10、 n=100、 標本ひょうほん平均へいきん 50)
1	母はは標準ひょうじゅん偏差へんい σ と標本ひょうほんの大おおきさ n を確認かくにんする	σ=10、 n=100
2	σ/√n を計算けいさんする	10/10=1
3	信頼しんらい度ど95%なら 1.96 をかける	1.96×1=1.96
4	標本ひょうほん平均へいきんにたし引ひきする	50-1.96 と 50+1.96
5	区間くかんの形かたちで書かく	48.04≦m≦51.96

n を変かえたときの幅はばは次つぎのようになります。 計算けいさん後ごの確たしかめに使つかえます。

標本ひょうほんの大おおきさ n	σ/√n	信頼しんらい区間くかんの幅はば
100	1	3.92
400	0.5	1.96
900	1/3	約やく1.31

大事だいじ: 正規分布せいきぶんぷの問題もんだいでは、 まず Z=(X-m)/σ で標準ひょうじゅん化かしてから正規せいき分布ぶんぷ表ひょうを引ひきます。 標準ひょうじゅん化かを飛とばして表ひょうを引ひくと、 まったくちがう確率かくりつを読よんでしまいます。

自分じぶんでチェック

• V(X)=E(X²)-{E(X)}² の順じゅんに書かける
• 二に項こう分布ぶんぷで E(X)=np、 V(X)=np(1-p) と言いえる
• 標準ひょうじゅん偏差へんいが分散ぶんさんの正せいの平方根へいほうこんだと言いえる
• 区間くかん推定すいていで σ/√n を使つかうと言いえる
• 標準ひょうじゅん化か Z=(X-m)/σ の式しきを書かける

まとめ

• 期待値きたいち $E\left(X\right)=\sum x_k{p}_k$、 分散ぶんさん $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-\left\{E\right(X){\}}^2$
• 二項分布にこうぶんぷ $B(n,p)$: $E\left(X\right)=np, V\left(X\right)=np(1-p)$
• 正規分布せいきぶんぷ: 標準ひょうじゅん化か$Z=\frac{X-m}{\sigma }$ で $N(0,1)$ に
• 母はは平均へいきんの $95\%$信頼しんらい区間くかん: $Xˉ\pm 1.96\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$

次章しょうでは、 これまでの内容ないようを二に次じ(数理すうり技能ぎのう)対策たいさくとして総合そうごう的てきに確認かくにんします。

※「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にほん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。 この教材きょうざいは非公式ひこうしきの学習がくしゅう教材きょうざいです。