分数ぶんすう式しき・複素数ふくそすう・方程式ほうていしきの解かい

この章しょうで学まなぶこと

数かずを $\sqrt{-1}=i$ までひろげた複素数ふくそすうと、 分数ぶんすうの形かたちをした式しきの計算けいさんを学まなびます。 これにより二に次じ方程式ほうていしきが つねに解かいをもつ ことが分わかります。

• 分数式ぶんすうしきの約分やくぶん・通分つうぶん・四則しそく
• 虚数単位きょすうたんい $i$ と複素数ふくそすうの四則しそく・共役きょうやく
• 二に次じ方程式ほうていしきの判別式はんべつしきと解かいの種類しゅるい
• 解と係数の関係かいとけいすうのかんけい

ポイント: $i^2=-1$ がすべての基本きほんです。 二に次じ方程式ほうていしきは判別式はんべつしき $D=b^2-4ac$ の符号ふごうで、 実数じっすう解かい2つ($D>0$)・重じゅう解かい($D=0$)・虚数きょすう解かい2つ()に分わかれます。

1. 分数ぶんすう式しきの計算けいさん

分子ぶんし・分母ぶんぼが整式せいしきの分数ぶんすうを分数式ぶんすうしきといいます。 約分やくぶん・通分つうぶんのしかたは数かずの分数ぶんすうと同おなじです。

例題れいだい1: 次つぎを計算けいさんせよ。 $\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x-1}$

解答かいとう: 通分つうぶんして $\frac{x(x-1)+(x+1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{x^2-x+x+1}{x^2-1}=\frac{x^2+1}{x^2-1}.$

2. 複素数ふくそすう

$i^2=-1$ となる数$i$ を虚数単位きょすうたんいといい、 $a+bi$($a,b$ は実数じっすう)の形かたちを複素数ふくそすうといいます。 $a-bi$ を $a+bi$ の共役複素数きょうやくふくそすうといいます。

例題れいだい2: $(2+3i)(1-2i)$ を計算けいさんせよ。

解答かいとう: $(2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i^2=2-i-6(-1)=2-i+6=8-i$。

(検算けんざん) 実部じつぶ$2-6i^2=2+6=8$、 虚部きょぶ$-4i+3i=-i$。 よって $8-i$。 ✓

3. 判別はんべつ式しきと解かいの種類しゅるい

二に次じ方程式ほうていしき$a{x}^2+bx+c=0$ の判別式はんべつしきは $D=b^2-4ac$。

$D$ の符号ふごう	解かいの種類しゅるい
$D>0$	異ことなる2つの実数じっすう解かい
$D=0$	重解じゅうかい(実数じっすう解かい1つ)
	異ことなる2つの虚数きょすう解かい

例題れいだい3: $x^2-2x+5=0$ を解とけ。

解答かいとう: なので虚数きょすう解かい。 解かいの公式こうしきより $x=\frac{2\pm \sqrt{-16}}{2}=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$。

(検算けんざん) $x=1+2i$: $(1+2i{)}^2-2(1+2i)+5=(1+4i-4)-2-4i+5=(-3+4i)-4i+3=0$。 ✓

4. 解かいと係数けいすうの関係かんけい

$a{x}^2+bx+c=0$ の2解かいを $\alpha , \beta$ とすると $\alpha +\beta =-\frac{b}{a},\alpha \beta =\frac{c}{a}.$

例題れいだい4: $x^2-5x+2=0$ の2解$\alpha ,\beta$ について ${\alpha }^2+{\beta }^2$ を求もとめよ。

解答かいとう: $\alpha +\beta =5, \alpha \beta =2$。 ${\alpha }^2+{\beta }^2=(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta =25-4=21$。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは複素数ふくそすうの四則しそくや分数式ぶんすうしきの計算けいさん、 判別式はんべつしきの符号ふごう判定はんていが定番ていばんです。
• 二に次じでは解と係数の関係かいとけいすうのかんけいを使つかった対称たいしょう式しきの値あたいや、 解かいの条件じょうけんから係数けいすうを求もとめる問題もんだいが出でます。
• ${\alpha }^2+{\beta }^2$ や $\frac{1}{\alpha }+\frac{1}{\beta }$ は和わと積せきで表あらわすのが鉄則てっそくです。

よくまちがえるところ

複素数ふくそすうは i の扱あつかいを1か所しょまちがえると、 答えこたえの符号ふごうがまるごと変かわります。

まちがい	例れい	直なおし方かた
i² を 1 として計算けいさんする	(2+3i)(1-2i) の -6i² を -6 とする	i²=-1 なので -6i²=+6
分数ぶんすう式しきの通分つうぶんで分子ぶんしにかけ忘わすれる	x/(x+1)+1/(x-1) の分子ぶんしを x+1 とする	分子ぶんしは x(x-1)+(x+1)
D<0 を「解かいなし」と答こたえる	x²-2x+5=0 を解かいなしとする	数かずIIでは虚数きょすう解かい 1±2i がある
負ふの数かずの平方根へいほうこんを実数じっすうとして扱あつかう	-16 の平方根へいほうこんを -4 とする	√(-16)=4i

いちばん多おおいのは D<0 のときの答えこたえ方かた です。 数かずIでは実数じっすうの範囲はんいで考かんがえるので 「実数じっすう解かいなし」 でしたが、 数かずIIでは複素数ふくそすうまで数かずを広ひろげているので 「異ことなる2つの虚数きょすう解かいをもつ」 が正解せいかいになります。 問題もんだい文ぶんが 「実数じっすう解かい」 と限定げんていしているのか、 ただ 「解かい」 と書かいているのかを読よみ分わけてください。 この読よみ分わけを外はずすと、 計算けいさんがすべて正ただしくても答えこたえが不ふ正解せいかいになります。

対称たいしょう式しきを和わと積せきで表あらわす

2解かい α、 β について、 対称たいしょう式しき(α と β を入いれかえても同おなじ式しき)は和わと積せきだけで表あらわせます。

求もとめるもの	和わと積せきでの表あらわし方かた	x²-5x+2=0 の場合ばあい
α+β	-b/a	5
αβ	c/a	2
α²+β²	(α+β)²-2αβ	25-4=21
1/α+1/β	(α+β)/(αβ)	5/2
(α-β)²	(α+β)²-4αβ	25-8=17
α³+β³	(α+β)³-3αβ(α+β)	125-30=95

大事だいじ: 1/α+1/β を使つかえるのは αβ が 0 でないときだけです。 定数ていすう項こうが 0 の方程式ほうていしきでは、 解かいの一方いっぽうが 0 になるので確認かくにんしてから使つかいます。

自分じぶんでチェック

• i²=-1 を使つかって複素数ふくそすうの積せきを計算けいさんできる
• 共役きょうやく複素数ふくそすうが a-bi だと言いえる
• D<0 のとき数すうIIでは虚数きょすう解かいが2つあると言いえる
• 解かいと係数けいすうの関係かんけいから α+β と αβ を書かける
• α²+β² を (α+β)²-2αβ に直なおせる

まとめ

• 分数式ぶんすうしき: 数かずの分数ぶんすうと同おなじく約分やくぶん・通分つうぶんで計算けいさん
• 複素数ふくそすう: $i^2=-1$、 $a+bi$ の四則しそく、 共役きょうやくは $a-bi$
• 判別式はんべつしき $D=b^2-4ac$ の符号ふごうで解かいの種類しゅるいが決きまる
• 解と係数の関係かいとけいすうのかんけい: $\alpha +\beta =-b/a, \alpha \beta =c/a$

次章しょうでは、 指数関数しすうかんすうと対数関数たいすうかんすうを学まなびます。

※「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にほん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。 この教材きょうざいは非公式ひこうしきの学習がくしゅう教材きょうざいです。