三角さんかく関数かんすう(加法かほう定理ていり・合成ごうせい)

この章しょうで学まなぶこと

直角ちょっかく三角形さんかくけいの比ひから始はじまった三角さんかく比ひを、 角かくを自由じゆうにとれる三角関数さんかくかんすうへ拡張かくちょうします。 波なみの表現ひょうげんや図形ずけいの応用おうように欠かかせません。

• 弧度法こどほう(ラジアン)による角かくの表あらわし方かた
• 三角関数の相互関係さんかくかんすうのそうごかんけい ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$
• 加法定理かほうていりと2倍角ばいかくの公式こうしき
• 三角関数の合成さんかくかんすうのごうせい

ポイント: 加法定理かほうていりはすべての公式こうしきの出発しゅっぱつ点てんです。 「サインはサイコス・コサイ、 コサインはコスコス・サイサイ(符号ふごうは逆ぎゃく)」のように覚おぼえると、 2倍角ばいかくも合成ごうせいもここから導みちびけます。

1. 弧こ度ど法ほう

半径はんけいと同おなじ長ながさの弧こに対たいする中心ちゅうしん角かくを $1$ラジアンらじあんとします。 $180°=\pi$ ラジアンです。

度数どすう法ほう	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$180°$
弧こ度ど法ほう	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$

2. 相互そうご関係かんけい

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1,\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }.$

例題れいだい1: $\theta$ が鋭角えいかくで $\sin \theta =\frac{3}{5}$ のとき、 $\cos \theta$ を求もとめよ。

解答かいとう: ${\cos }^2\theta =1-{\sin }^2\theta =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$。 鋭角えいかくなので $\cos \theta >0$、 $\cos \theta =\frac{4}{5}$。

3. 加法かほう定理ていり

$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta ,$ $\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta .$

例題れいだい2: $\sin 75°$ を求もとめよ。

解答かいとう: $75°=45°+30°$ として $\sin 75°=\sin 45°\cos 30°+\cos 45°\sin 30°=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.$

2倍角ばいかくの公式こうしきは加法かほう定理ていりで $\beta =\alpha$ とすると得えられます。 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta ,\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta =1-2{\sin }^2\theta .$

例題れいだい3: $\sin \theta =\frac{3}{5}, \cos \theta =\frac{4}{5}$ のとき $\sin 2\theta$ を求もとめよ。

解答かいとう: $\sin 2\theta =2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{24}{25}$。

4. 三角さんかく関数かんすうの合成ごうせい

$a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\hspace{0.17em}\sin (\theta +\alpha ).$

例題れいだい4: $\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta$ を $r\sin (\theta +\alpha )$ の形かたちにせよ。

解答かいとう: $r=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4}=2$。 $\cos \alpha =\frac{1}{2}, \sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ より $\alpha =\frac{\pi }{3}$。 よって $2\sin \hspace{0.17em}(\theta +\frac{\pi }{3})$。

(検算けんざん) $2\sin \hspace{0.17em}(\theta +\frac{\pi }{3})=2(\sin \theta \cdot \frac{1}{2}+\cos \theta \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})=\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta$。 ✓

どう問とわれるか

• 一いち次じでは $\sin 75°$ などの値あたいや2倍角ばいかくの計算けいさん、 合成ごうせいが定番ていばんです。
• 二に次じでは三角さんかく関数かんすうを含ふくむ方程式ほうていしき・不等式ふとうしきや、 合成ごうせいを使つかった最大さいだい・最小さいしょうが問とわれます。
• 合成ごうせいは「最大さいだい・最小さいしょう」を求もとめる問題もんだいで威力いりょくを発揮はっきします($\sin$ の最大さいだいは $1$ なので最大値さいだいちは $\sqrt{a^2+b^2}$)。

よくまちがえるところ

三角関数さんかくかんすうは公式こうしきが多おおい分野ぶんやですが、 失点しってんは 符号ふごう と 角かくの単位たんい にかたよります。

まちがい	例れい	直なおし方かた
cos の加法定理かほうていりの符号ふごうを逆ぎゃくにする	cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ とする	引ひく。 cosαcosβ-sinαsinβ
度どとラジアンを混まぜる	π/6 を 3.14÷6 度どとして計算けいさんする	π/6 は 30°
合成ごうせいの r をたし算さんで出だす	sinθ+√3 cosθ で r=1+√3 とする	r=√(1²+(√3)²)=2
2倍ばい角かくで cos を落おとす	sinθ=3/5 のとき sin2θ=6/5 とする	2sinθcosθ=2×(3/5)×(4/5)=24/25

いちばん多おおいのは cos の加法かほう定理ていりの符号ふごう です。 sin は 「サイン・コサイン」 を足たす形かたち、 cos は 「コサイン・コサイン」 から 「サイン・サイン」 を引ひく形かたちで、 符号ふごうが逆ぎゃくになります。 覚おぼえているか不安ふあんなときは、 α=β=60° を入いれて確たしかめられます。 cos120° は -1/2 で、 (1/2)×(1/2)-(√3/2)×(√3/2)=1/4-3/4=-1/2 と一致いっちします。 引ひく形かたちが正ただしいと5秒びょうで確認かくにんできます。

加法かほう定理ていりから公式こうしきを導みちびく

覚おぼえる式しきを減へらすには、 加法かほう定理ていりだけを覚おぼえて残のこりを導みちびきます。

順番じゅんばん	導みちびくもの	式しき
1	出発しゅっぱつ点てん(sin)	sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
2	出発しゅっぱつ点てん(cos)	cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
3	1 で β=α とする	sin2α=2sinαcosα
4	2 で β=α とする	cos2α=cos²α-sin²α
5	4 に sin²α+cos²α=1 を使つかう	cos2α=1-2sin²α=2cos²α-1

三角関数の合成さんかくかんすうのごうせいも、 加法かほう定理ていりを逆ぎゃく向むきに読よんだものです。

決きめるもの	式しき	例れい(sinθ+√3 cosθ)
r	√(a²+b²)	√4=2
cosα	a/r	1/2
sinα	b/r	√3/2
α	上うえの2つを同時どうじに満みたす角かく	π/3

自分じぶんでチェック

• 180°=π ラジアンで度どと弧こ度どを変換へんかんできる
• cos の加法かほう定理ていりが引ひく形かたちだと言いえる
• 2倍角ばいかくの公式こうしきを加法かほう定理ていりから導みちびける
• 合成ごうせいの r が √(a²+b²) だと言いえる
• 合成ごうせいした式しきを加法かほう定理ていりで展開てんかいして検算けんざんできる

まとめ

• 弧度法こどほう: $180°=\pi$ ラジアン
• 相互そうご関係かんけい: ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$
• 加法定理かほうていりからすべての公式こうしき(2倍ばい角かくなど)が導みちびける
• 三角関数の合成さんかくかんすうのごうせい: $a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\alpha )$

次章しょうでは、 座標ざひょうを使つかって図形ずけいをあつかう図形と方程式ずけいとほうていしきを学まなびます。

※「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にほん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。 この教材きょうざいは非公式ひこうしきの学習がくしゅう教材きょうざいです。