二に次じ(数理すうり技能ぎのう)対策たいさく・総合そうごう

この章しょうで学まなぶこと

仕上しあげの章しょうです。 二に次じ(数理すうり技能ぎのう)では、 答えこたえだけでなく 考かんがえ方かたや計算けいさんの過程かてい を記述きじゅつします。 これまでの分野ぶんやを組み合わせくみあわせて使つかう力ちからを確たしかめましょう。

• 二に次じ(数理すうり技能ぎのう)の答案とうあんの書かき方かた
• 分野ぶんやを横断おうだんする総合そうごう問題もんだいの進すすめ方かた
• これまでの章しょうの総そう復習ふくしゅう

ポイント: 二に次じでは「何なにをどうおいたか」「どの公式こうしきを使つかったか」を式しきとことばで示しめします。 とちゅうの式しきがていねいだと、 最終さいしゅう的てきな答えこたえがちがっても 部分ぶぶん点てん が得えられます。

1. 二に次じ(数理すうり技能ぎのう)の進すすめ方かた

1. 問題もんだいを読よみ、 求もとめるものと条件じょうけんを整理せいりする
2. 文字もじでおく(「$x$ とおく」「2解かいを $\alpha ,\beta$ とする」など)
3. 条件じょうけんを式しきにする(立りつ式しき)
4. 計算けいさんして解とく
5. 検算けんざん し、 条件じょうけんに合あうか(範囲はんい・正負せいふなど)を確認かくにんする

大事だいじ: 数かず検けん2級きゅうの二に次じには選択せんたく問題もんだいがあります。 得意とくいな分野ぶんやを選えらび、 確実かくじつにとれる問題もんだいから手てをつけましょう。

2. 総合そうごう例題れいだい(微分びぶんの応用おうよう)

例題れいだい1: $f\left(x\right)=x^3-3x^2-9x+5$ の極大きょくだい値ちと極小きょくしょう値ちを求もとめよ。

解答かいとう: $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)$。 $f^{\prime }\left(x\right)=0$ より $x=3, -1$。

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$3$	$\cdots$
$f^{\prime }\left(x\right)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$	増まし	極大きょくだい	減げん	極小きょくしょう	増まし

極大きょくだい値ち$f(-1)=(-1)-3-(-9)+5=-1-3+9+5=10$。 極小きょくしょう値ち$f\left(3\right)=27-27-27+5=-22$。

(検算けんざん) $f(-1)=-1-3+9+5=10$ ✓、 $f\left(3\right)=27-27-27+5=-22$ ✓。 増減ぞうげん表ひょうより極大きょくだいが先せん(=値ちが大おおきい)で整合せいごう。 ✓

3. 総合そうごう例題れいだい(対数たいすうと方程式ほうていしき)

例題れいだい2: ${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3$ を解とけ。

解答かいとう: 真ま数すう条件じょうけんは $x>0$ かつ $x-2>0$、 すなわち $x>2$。 左辺さへんをまとめると ${\log }_2\left\{x\right(x-2\left)\right\}=3$ より $x(x-2)=2^3=8$。 $x^2-2x-8=0$、 $(x-4)(x+2)=0$、 $x=4, -2$。 真ま数すう条件じょうけん$x>2$ より $x=4$。

(検算けんざん) $x=4$: ${\log }_{2}4+{\log }_{2}2=2+1=3$。 ✓ $x=-2$ は真ま数すう条件じょうけんを満みたさず不ふ適てき。

4. 総合そうごう例題れいだい(図形ずけいと方程式ほうていしき・面積めんせき)

例題れいだい3: 放物線ほうぶつせん$y=x^2$ と直線ちょくせん$y=x+2$ で囲かこまれた部分ぶぶんの面積めんせきを求もとめよ。

解答かいとう: 交点こうてんは $x^2=x+2$、 $x^2-x-2=0$、 $(x-2)(x+1)=0$ より $x=-1, 2$。 区間くかん$[-1,2]$ で直線ちょくせんが上うえ。 $S=\int -12\left\{\right(x+2)-x^2\}\hspace{0.17em}dx=[\frac{x^2}{2}+2x-\frac{x^3}{3}]-12.$ $x=2$: $2+4-\frac{8}{3}=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$。 $x=-1$: $\frac{1}{2}-2+\frac{1}{3}=-\frac{7}{6}$。 差さは $\frac{10}{3}-(-\frac{7}{6})=\frac{20}{6}+\frac{7}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$。

(検算けんざん) $\frac{1}{6}$公式こうしき$\frac{1}{6}\mid a\mid (\beta -\alpha {)}^3$ で、 $a=1, \beta -\alpha =2-(-1)=3$、 $\frac{1}{6}\cdot 1\cdot 3^3=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$。 ✓

どう問とわれるか

• 二に次じは複数ふくすうの分野ぶんやを組み合わせくみあわせた問題もんだいが多おおく、 微分びぶんの極きょく値ち・対数たいすう方程式ほうていしき・面積めんせきはとくに頻出ひんしゅつです。
• 「条件じょうけんを満みたす範囲はんい」を求もとめる問題もんだいでは、 最後さいごに条件じょうけんチェック(真しん数すう条件じょうけん・判別はんべつ式しき・定義ていぎ域いき)を必かならず行おこないます。
• 記述きじゅつでは結論けつろんを明確めいかくに書かき、 単位たんいや「∴(よって)」で答えこたえをはっきり示しめします。

よくまちがえるところ

総合そうごう問題もんだいでは、 計算けいさんそのものより 最後さいごのしめくくり で点てんを落おとします。

まちがい	例れい	直なおし方かた
条件じょうけんの確認かくにんを省はぶく	対数たいすう方程式ほうていしきの解かい x=-2 を答えこたえに残のこす	真ま数すう条件じょうけん x>2 で除のぞく
途中とちゅう式しきを書かかず答えこたえだけ書かく	面積めんせきを「9/2」とだけ書かく	交点こうてん・どちらが上うえか・積分せきぶんの式しきを書かく
上うえと下したを逆ぎゃくにして面積めんせきが負ふになる	x²-(x+2) を積分せきぶんして -9/2 とする	上うえは直線ちょくせんなので (x+2)-x²
増減ぞうげん表ひょうなしで最大さいだい最小さいしょうを決きめる	極大きょくだい値ちをそのまま最大値さいだいちとする	区間くかんの端はじの値あたいも比くらべる

いちばん多おおいのは 条件じょうけんの確認かくにんもれ です。 2級きゅうの二に次じで出でる問題もんだいは、 解かいを2つ出ださせておいて片方かたほうが条件じょうけんに合あわない形かたちが定番ていばんです。 対数たいすうなら真しん数すう条件じょうけん、 分数ぶんすう式しきなら分母ぶんぼが 0 でないこと、 文章ぶんしょう題だいなら長ながさや個数こすうが正せいであること。 「解といたら終おわり」 ではなく 「解といたら条件じょうけんに戻もどる」 を最後さいごの1手てとして固定こていしてください。

記述きじゅつ答案とうあんの書かき方かた

順番じゅんばん	書かくこと	例れい(縦たてが横よこより3cm長ながい長方形ちょうほうけい、 面積めんせき40cm²)
1	何なにを文字もじでおいたか	横よこを x cm とおく
2	条件じょうけんを式しきにする	縦たては x+3 なので x(x+3)=40
3	式しきを整理せいりして解とく	x²+3x-40=0、 (x+8)(x-5)=0
4	条件じょうけんでしぼる	長ながさは正せいなので x=5
5	結論けつろんを単位たんいつきで書かく	よって横よこは 5 cm
6	検算けんざんする	5×8=40 で一致いっち

分野ぶんやごとに、 最後さいごに確たしかめる条件じょうけんは決きまっています。

分野ぶんや	最後さいごに確たしかめる条件じょうけん
対数たいすう	真しん数すうが正せい、 底そこは 1 でない正せいの数かず
分数ぶんすう式しき	分母ぶんぼが 0 にならない
二に次じ方程式ほうていしきの解かいの条件じょうけん	判別はんべつ式しきの符号ふごう
図形ずけい・文章ぶんしょう題だい	長ながさや個数こすうが正せいか、 整数せいすうか
積分せきぶんによる面積めんせき	求もとめた値あたいが正せいか

自分じぶんでチェック

• 何なにを文字もじでおいたかを答案とうあんの最初さいしょに書かける
• 使つかった定理ていりや公式こうしきの名前なまえを書かきそえられる
• 解といたあとに条件じょうけんへ戻もどって答えこたえをしぼれる
• 面積めんせきで (上じょうの式しき)-(下かの式しき) の順じゅんを守まもれる
• 結論けつろんを単位たんいつきではっきり書かける

まとめ

• 二に次じは「整理せいり→文字もじでおく→立たつ式しき→計算けいさん→検算けんざん」をていねいに記述きじゅつする
• とちゅうの式しきで部分ぶぶん点てんが得えられる
• 微分びぶんの極きょく値ち・対数たいすう方程式ほうていしき・面積めんせきは総合そうごう問題もんだいの定番ていばん
• 最後さいごに必かならず条件じょうけん(範囲はんい・真しん数すう・判別はんべつ式しき)を確認かくにんする

これで数すう検けん2級きゅうの教材きょうざいはひと通とおり終おわりです。 各かく章しょうの例題れいだいをくりかえし解とき、 一いち問もん一いち答とうや問題もんだい集しゅうで力ちからを確たしかめましょう。

※「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にほん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。 この教材きょうざいは非公式ひこうしきの学習がくしゅう教材きょうざいであり、 合格ごうかくを保証ほしょうするものではありません。