指数しすう関数かんすうと対数たいすう関数かんすう

この章しょうで学まなぶこと

指数しすうを整数せいすうから実数じっすうまで拡張かくちょうし、 そのぎゃくの計算けいさんである対数たいすうを学まなびます。 大おおきな数かずや小ちいさな数かずを「けた」でとらえる強力きょうりょくな道具どうぐです。

• 指数しすうの拡張かくちょう($0$乗・負ふの指数しすう・有理数ゆうりすうの指数しすう)と指数法則しすうほうそく
• 対数たいすうの定義ていぎ${\log }_{a}M=p\hspace{0.25em} ⟺\hspace{0.25em} a^p=M$
• 対数たいすうの性質せいしつと底の変換公式ていのへんかんこうしき
• 指数関数しすうかんすう・対数関数たいすうかんすうの方程式ほうていしき

ポイント: 「対数たいすうは指数しすうを取とり出だす計算けいさん」です。 ${\log }_{2}8$ は「$2$ を何なん乗じょうすると $8$ か」を表あらわし、 答えこたえは $3$ です。 真しん数すうは正せい($M>0$)、 底そこは $1$ でない正せいの数かずという条件じょうけんをいつも意識いしきします。

1. 指数しすう法則ほうそく

$a>0, b>0$ で、 すべての実数じっすう$p,q$ について次つぎが成なり立たちます。 $a^p{a}^q=a^{p+q},(a^p{)}^q=a^{pq},a^{-p}=\frac{1}{a^p},a^0=1,a^{\frac{1}{n}}=an.$

例題れいだい1: $83\times 4^{\frac{1}{2}}$ を求もとめよ。

解答かいとう: $83=8^{1/3}=(2^3{)}^{1/3}=2$、 $4^{1/2}=2$。 積せきは $2\times 2=4$。

2. 対数たいすうの定義ていぎと性質せいしつ

$a>0, a\ne 1, M>0, N>0$ のとき ${\log }_a\left(MN\right)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N,{\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N,{\log }_a{M}^k=k{\log }_{a}M.$

例題れいだい2: ${\log }_{2}8$ を求もとめよ。

解答かいとう: $8=2^3$ より ${\log }_{2}8=3$。

例題れいだい3: ${\log }_{10}2+{\log }_{10}5$ を求もとめよ。

解答かいとう: ${\log }_{10}(2\times 5)={\log }_{10}10=1$。

3. 底そこの変換へんかん公式こうしき

${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}(c>0, c\ne 1).$

例題れいだい4: ${\log }_{4}8$ を求もとめよ。

解答かいとう: 底そこを $2$ にそろえると ${\log }_{4}8=\frac{{\log }_{2}8}{{\log }_{2}4}=\frac{3}{2}$。

(検算けんざん) $4^{3/2}=(2^2{)}^{3/2}=2^3=8$。 ✓

4. 指数しすう・対数たいすうの方程式ほうていしき

例題れいだい5: $2^x=32$ を解とけ。

解答かいとう: $32=2^5$ より $x=5$。

例題れいだい6: ${\log }_3(x-1)=2$ を解とけ。

解答かいとう: 定義ていぎより $x-1=3^2=9$、 $x=10$。 真ま数すう条件じょうけん$x-1>0$ を満みたす($x=10$ は適てきする)。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは ${\log }_{a}M$ の値あたいや指数法則しすうほうそくの計算けいさん、 底の変換ていのへんかんが定番ていばんです。
• 二に次じでは指数しすう・対数たいすうの方程式ほうていしきや不等式ふとうしき、 「$2^{60}$ は何なんけたか」のような常用対数じょうようたいすうの応用おうようが出でます。
• 対数たいすうの方程式ほうていしきでは 真しん数すう条件じょうけん(真しん数すうが正せい)の確認かくにんを忘わすれないようにします。

よくまちがえるところ

指数しすう・対数たいすうは 条件じょうけんの確認かくにんもれ と 公式こうしきの形かたちの取とりちがえ が失点しってんの中心ちゅうしんです。

まちがい	例れい	直なおし方かた
真ま数すう条件じょうけんを確たしかめない	log_2 x + log_2(x-2)=3 の答えこたえを x=4、 -2 とする	真ま数すう条件じょうけん x>2 より x=4 だけ
和わの対数たいすうと対数たいすうの和わを混同こんどうする	log_10(2+5) を log_10 2 + log_10 5 とする	和わになるのは積せきのとき。 log_10(2×5)=1
底そこの変換へんかんで分子ぶんしと分母ぶんぼを逆ぎゃくにする	log_4 8 を (log_2 4)/(log_2 8)=2/3 とする	(log_2 8)/(log_2 4)=3/2
負ふの指数しすうを負ふの数かずと考かんがえる	2 の -3 乗じょうを -8 とする	1/2³=1/8

いちばん多おおいのは 真しん数すう条件じょうけんの確認かくにんもれ です。 log_a M が意味いみをもつのは a>0、 a は 1 でない、 M>0 のときだけです。 対数たいすう方程式ほうていしきは 2次じ方程式ほうていしきに直なおる形かたちが多おおく、 出でてきた2つの解かいのうち片方かたほうが真ま数すう条件じょうけんを満みたさないように作つくられています。 解といたあとに必かならずもとの式しきに戻もどし、 かっこの中なかが正ただになっているかを確たしかめてください。

指数しすうと対数たいすうを行いき来きする

対数たいすうは 「指数しすうを取とり出だす計算けいさん」 です。 迷まよったら指数しすうの形かたちに書かき直なおします。

指数しすうの形かたち	対数たいすうの形かたち
2³=8	log_2 8=3
10⁰=1	log_10 1=0
2 の 1/2 乗じょうは √2	log_2 √2 = 1/2
3 の -2 乗じょうは 1/9	log_3 (1/9) = -2

対数たいすう方程式ほうていしきは次つぎの順じゅんで解ときます。

順番じゅんばん	やること	例れい(log_2 x + log_2(x-2)=3)
1	先さきに真ま数すう条件じょうけんを書かく	x>0 かつ x-2>0 なので x>2
2	底そこをそろえる	どちらも底そこは 2
3	1つの対数たいすうにまとめる	log_2 の中身なかみは x(x-2)
4	定義ていぎ a の p 乗じょう = M で外はずす	x(x-2)=2³=8
5	解といて真ま数すう条件じょうけんでしぼる	x=4、 -2 のうち x=4

自分じぶんでチェック

• log_a M で a>0、 a は 1 でない、 M>0 という条件じょうけんを言いえる
• 積せきの対数たいすうが対数たいすうの和わになると言いえる
• 底の変換公式ていのへんかんこうしきの分子ぶんしと分母ぶんぼを正ただしく書かける
• 負ふの指数しすうが逆数ぎゃくすうを表あらわすと言いえる
• 対数たいすう方程式ほうていしきで先さきに真ま数すう条件じょうけんを書かいてから解とける

まとめ

• 指数法則しすうほうそく: $a^p{a}^q=a^{p+q}$、 $a^{1/n}=an$、 $a^0=1$
• 対数たいすう: ${\log }_{a}M=p\hspace{0.25em} ⟺\hspace{0.25em} a^p=M$、 積せき→和わ・商しょう→差さ・累乗るいじょう→係数けいすう
• 底の変換ていのへんかん: ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$
• 対数たいすうの方程式ほうていしきは真ま数すう条件じょうけんを確認かくにんする

次じ章しょうでは、 三角関数さんかくかんすうの性質せいしつ・加法かほう定理ていり・合成ごうせいを学まなびます。

※「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にほん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。 この教材きょうざいは非公式ひこうしきの学習がくしゅう教材きょうざいです。