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重解じゅうかい

二に次じ方程式ほうていしきの解かいが 2 つ重かさなって同おなじ値ね 1 つになること。

重じゅう解かいとは、二次方程式にじほうていしきの 2 つの解かいが重かさなって同おなじ値ねになることです。判別式はんべつしき $D = 0$ のときに起おこります。

方程式ほうていしき	因数いんすう分解ぶんかい	重じゅう解かい
$x^{2} - 6 x + 9 = 0$	$(x - 3)^{2} = 0$	$x = 3$
$x^{2} + 4 x + 4 = 0$	$(x + 2)^{2} = 0$	$x = - 2$

$x^{2} - 6 x + 9 = 0$ は $(x - 3)^{2} = 0$ となり、解かいは $x = 3$ の 1 つだけです。左辺さへんが完全平方式かんぜんへいほうしきになっているのが重じゅう解かいの特徴とくちょうです。

試験しけんでは 「解かいがただ 1 つ」「2 つの解かいが等ひとしい」という条件じょうけんは重じゅう解かい＝ $D = 0$ のサイン。判別式はんべつしきを使つかって未知数みちすうを求もとめる典型てんけい問題もんだいが頻出ひんしゅつ。

重じゅう解かいとは、方程式ほうていしき $P (x) = 0$ で同おなじ値あたいが 2 回かい以上いじょう重かさなっている解かいです。重かさなる回数かいすうを重複じゅうふく度どと呼よびます。

因数いんすう	解 $α$	重複じゅうふく度ど
$(x - α)^{2} = 0$	$α$	2 重じゅう解かい
$(x - α)^{3} = 0$	$α$	3 重じゅう解かい

2 次じ方程式ほうていしきが重じゅう解かいを持もつ条件じょうけんは判別式はんべつしき $D = 0$ です。たとえば $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2} = 0$ は $x = 2$ が 2 重じゅう解かいです。

ポイント 解かいの個数こすうを数かぞえるときは重複じゅうふく度どを込こめて数かぞえるのが約束やくそく（代数だいすう学がくの基本きほん定理ていり: $n$ 次じ方程式ほうていしきは複素数ふくそすうの範囲はんいで重複じゅうふく度ど込こみでちょうど $n$ 個の解かいを持もつ）。グラフでは重じゅう解かいはちょうど $x$ 軸に接せっする点てんに対応たいおうする。

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方程式ほうていしき	因数いんすう分解ぶんかい	重じゅう解かい
$x^{2} - 6 x + 9 = 0$	$(x - 3)^{2} = 0$	$x = 3$
$x^{2} + 4 x + 4 = 0$	$(x + 2)^{2} = 0$	$x = - 2$

試験しけんでは 「解かいがただ 1 つ」「2 つの解かいが等ひとしい」という条件じょうけんは重じゅう解かい＝ $D = 0$ のサイン。判別式はんべつしきを使つかって未知数みちすうを求もとめる典型てんけい問題もんだいが頻出ひんしゅつ。

因数いんすう	解 $α$	重複じゅうふく度ど
$(x - α)^{2} = 0$	$α$	2 重じゅう解かい
$(x - α)^{3} = 0$	$α$	3 重じゅう解かい

ポイント 解かいの個数こすうを数かぞえるときは重複じゅうふく度どを込こめて数かぞえるのが約束やくそく（代数だいすう学がくの基本きほん定理ていり: $n$ 次じ方程式ほうていしきは複素数ふくそすうの範囲はんいで重複じゅうふく度ど込こみでちょうど $n$ 個の解かいを持もつ）。グラフでは重じゅう解かいはちょうど $x$ 軸に接せっする点てんに対応たいおうする。