積分せきぶんの応用おうよう

この章しょうで学まなぶこと

最さい終章しゅうしょうでは、 第だい 9 章しょうの積分せきぶんを 応用おうよう します。 二に次じ ・ 三さん次じ関数かんすうで囲かこまれた様々さまざまな図形ずけいの面積めんせき、 物理ぶつりでの 速度そくどと位置いちの関係かんけい、 そして数学すうがく II 全体ぜんたいの復習ふくしゅうを行おこないます。

• 1/6公式1/6こうしき で二に次じ関数かんすうと直線ちょくせんで囲かこまれた面積めんせきを一気いっきに求もとめる
• 三さん次じ関数かんすうと接線せっせんで囲かこまれた面積めんせきを求もとめる
• 速度そくど関数かんすうを積分せきぶんして 位置いち ・ 距離きょり を求もとめる
• 数学すうがく II 全体ぜんたいのつながりを整理せいりする
• 数学すうがく III への接続せつぞくを知しる

1. 二に次じ関数かんすうと直線ちょくせんで囲かこまれた面積めんせき

1/6 公式こうしき

二に次じ関数かんすう$y=a(x-\alpha )(x-\beta )$ () と $x$軸で囲かこまれた部分ぶぶんの面積めんせきは、

$S=\frac{\mid a\mid }{6}(\beta -\alpha {)}^3$

これを 1/6公式1/6こうしき といいます。 二に次じ関数かんすう$y=a{x}^2+bx+c$ と 直線ちょくせん $y=mx+n$ で囲かこまれた場合ばあいも、 差$y_1-y_2=a{x}^2+(b-m)x+(c-n)$ が二に次じ式しき (直線ちょくせん側がわに二に次項じこうが無ないので 二に次じの係数けいすうは $a$ のまま) なので、 $\alpha ,\beta$ を交点こうてんの $x$座標ざひょうとして同おなじ公式こうしき$S=\frac{\mid a\mid }{6}(\beta -\alpha {)}^3$ が適用てきようできます。

例題れいだい

$y=x^2$ と $y=x+2$ で囲かこまれた部分ぶぶんの面積めんせき。

交点こうてん: $x^2=x+2$ ⇒ $x^2-x-2=0$ ⇒ $(x-2)(x+1)=0$ ⇒ $x=-1,2$。 $-1\le x\le 2$ で直線ちょくせんが上うえ、 二に次じが下した。

差さの関数かんすうは $-(x^2-x-2)=-(x-2)(x+1)$、 二に次じの係数けいすう$-1$。 1/6 公式こうしきで、

$S=\frac{1}{6}(2-(-1){)}^3=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$

やってみよう: $y=-x^2+4$ と $x$軸で囲かこまれた面積めんせきを 1/6 公式こうしきで求もとめよ ($\alpha =-2,\beta =2$、 $a=-1$)。 (答えこたえ: $\frac{1}{6}\cdot 4^3=\frac{32}{3}$)

2. 三さん次じ関数かんすうと接線せっせんで囲かこまれた面積めんせき

1/12 公式こうしき (発展はってん)

三さん次じ関数かんすう$y=f\left(x\right)=a(x-\alpha {)}^2(x-\beta )$ の形かたちで、 $x=\alpha$ で 接せっする 接線せっせんと三さん次じ関数かんすうで囲かこまれた部分ぶぶんの面積めんせきは、

$S=\frac{\mid a\mid }{12}(\beta -\alpha {)}^4$

例題れいだい

$y=x^3-3x^2+2$ の $x=0$ での接線せっせんを引ひいたとき、 接線せっせんと曲線きょくせんで囲かこまれた部分ぶぶんの面積めんせき。

$f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$、 $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x$、 $f^{\prime }\left(0\right)=0$、 $f\left(0\right)=2$ ⇒ 接線せっせんは $y=2$。

差さ: $g\left(x\right)=(x^3-3x^2+2)-2=x^3-3x^2=x^2(x-3)$。 $g\left(x\right)=0$ ⇒ $x=0$ (重解じゅうかい)、 $x=3$。

1/12 公式こうしきで、 $a=1$、 $\alpha =0$、 $\beta =3$、

$S=\frac{1}{12}\cdot 3^4=\frac{81}{12}=\frac{27}{4}$

3. 物理ぶつりへの応用おうよう (速度そくどと位置いち)

速度そくどを積分せきぶんすると位置いち

時刻じこく$t$ での速度そくどを $v\left(t\right)$、 位置いちを $x\left(t\right)$ とすると、 $\frac{dx}{dt}=v\left(t\right)$ なので、

$x\left(t\right)=\int v\left(t\right)\hspace{0.17em}dt+C,x\left(b\right)-x\left(a\right)=\int abv\left(t\right)\hspace{0.17em}dt$

つまり 速度そくどを区間くかん$[a,b]$ で定積分ていせきぶん するとその間かんの 変位へんい ($x$ の変化へんか) が出でます。 速度そくどが負ふになる区間くかんがあるとき、 道のりみちのり は $\int ab\mid v\left(t\right)\mid dt$ です。

例題れいだい

直線ちょくせん上じょうを動うごく物体ぶったいの速度そくどが $v\left(t\right)=6t-12$ ($m/s$、 $t\ge 0$) のとき、 $t=0$ から $t=4$ までの変位へんいと道のりみちのりを求もとめよ。

変位へんい:

$\int 04(6t-12)dt=[3t^2-12t]04=48-48=0\hspace{0.25em} m$

道のりみちのり: $v\left(t\right)=0$ ⇒ $t=2$。 $0\le t\le 2$ で $v\le 0$、 $2\le t\le 4$ で $v\ge 0$。

$\int 04\mid v\mid dt=-\int 02(6t-12)dt+\int 24(6t-12)dt$ $=-[3t^2-12t]02+[3t^2-12t]24=-(-12)+(0-(-12\left)\right)=12+12=24\hspace{0.25em} m$

やってみよう: 速度そくど$v\left(t\right)=4t$ で動うごく物体ぶったいの $t=0$ から $t=3$ までの変位へんいを求もとめよ。 (答えこたえ: $\int 034t\hspace{0.17em}dt=18$)

4. 数学すうがく II 全体ぜんたいの整理せいり

つながりの確認かくにん

各かく章しょうがどう関係かんけいしているかを振ふり返かえりましょう。

章しょう	内容ないよう	何なににつながる
1	式しきと証明しょうめい	全ぜん章しょうで計算けいさん ・ 論理ろんりの基礎きそ
2	高次方程式こうじほうていしき	因数いんすう分解ぶんかい ・ 微分びぶんで極値きょくちを求もとめる計算けいさん
3	図形ずけいと方程式ほうていしき	4 章領域りょういき、 9 章しょう面積めんせき
4	軌跡きせきと領域りょういき	線形せんけい計画けいかく ・ 後ごの多た変数へんすう関数かんすう
5	三角関数さんかくかんすう	数学すうがく III の三角さんかく関数かんすうの微び積せき
6	指数しすう ・ 対数たいすう	数学すうがく III の $e^x$、 $\log x$ の微び積せき
7	微分びぶんの基本きほん	8 章しょう ・ 9 章しょう ・ 10 章しょう
8	微分びぶんの応用おうよう	最適さいてき化か問題もんだい、 物理ぶつりの運動うんどう解析かいせき
9	積分せきぶんの基本きほん	10 章しょう、 数学すうがく III の体積たいせき
10	積分せきぶんの応用おうよう	数学すうがく III、 物理ぶつり ・ 化学かがく ・ 経済けいざい

数学すうがく III への接続せつぞく

数学すうがく III では次つぎの拡張かくちょうが待まっています。

• 微分びぶん: 三角さんかく ・ 指数しすう ・ 対数関数の微分たいすうかんすうのびぶん、 積つむ ・ 商しょう ・ 合成ごうせい関数かんすうの微分びぶん法ほう
• 積分せきぶん: 置換ちかん積分せきぶん、 部分ぶぶん積分せきぶん、 三角さんかく ・ 指数しすう ・ 対数たいすう関数かんすうの積分せきぶん
• 応用おうよう: 体積たいせき、 曲線きょくせんの長ながさ、 微分びぶん方程式ほうていしき (理系りけい進学しんがく者しゃ)

数学すうがく II の多項式たこうしき範囲はんいで道具どうぐを完全かんぜんに身みにつけておくことが、 数学すうがく III での成功せいこうの鍵かぎです。

まとめ

• 1/6公式1/6こうしき で二に次じと直線ちょくせんで囲かこまれた面積めんせきを一気いっきに求もとめられる
• 三さん次じと接線せっせんで囲かこまれた面積めんせきは 1/12 公式こうしき
• 速度そくどを積分せきぶんすると 変位へんい、 速度そくどの絶対ぜったい値ちを積分せきぶんすると 道のりみちのり
• 数学すうがく II は 「式しき ・ 図形ずけい ・ 三角さんかく ・ 指数しすう対数たいすう ・ 微び積せき」 の五ご本ほん柱ばしら
• 微び積せきは物理ぶつり ・ 経済けいざい ・ 工学こうがくで必須ひっす、 数学すうがく III へつながる出発しゅっぱつ点てん

5. 総そう仕上しあげ例題れいだい

二に次じ関数かんすうと二に直線ちょくせんで囲かこまれた面積めんせき

$y=x^2-2x$ と $x$軸、 直線ちょくせん$x=3$ で囲かこまれた部分ぶぶんの面積めんせきを求もとめよ。

$y=x^2-2x=x(x-2)$ は $x=0,2$ で $x$軸と交まじわる。 $0\le x\le 2$ で $y\le 0$、 $2\le x\le 3$ で $y\ge 0$。 面積めんせきは絶対ぜったい値ちを取とって、

$S=\int 02-(x^2-2x)dx+\int 23(x^2-2x)dx$ $=-[\frac{x^3}{3}-x^2]02+[\frac{x^3}{3}-x^2]23$ $=-(\frac{8}{3}-4)+(9-9)-(\frac{8}{3}-4)$ $=\frac{4}{3}+0+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$

微分びぶんと積分せきぶんを組くみ合あわせる問題もんだい

$F\left(x\right)=\int 0x(t^2-2t)dt$ の最小値さいしょうちを求もとめよ。

基本きほん定理ていりから $F^{\prime }\left(x\right)=x^2-2x=x(x-2)$。 $F^{\prime }\left(x\right)=0$ ⇒ $x=0,2$。 増減ぞうげんを調しらべると $x=2$ で極小きょくしょう (=最小さいしょう候補こうほ)。

$F\left(2\right)=\int 02(t^2-2t)dt=[\frac{t^3}{3}-t^2]02=\frac{8}{3}-4=-\frac{4}{3}$

最小値さいしょうちは $-\frac{4}{3}$。

大事だいじ: 「定てい積分せきぶんの形かたちで定義ていぎされた関数かんすう」 の微分びぶん は基本きほん定理ていりで一気いっきに出でます。 中なかを計算けいさんしなくても $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$ とわかるのが強つよみ。

おつかれさまでした。 これで高校こうこう数学すうがく II の全ぜん章しょうが終おわりました。 一いち問もん一いち答とうと問題もんだい集しゅうで反復はんぷくして、 確たしかな力ちからにしてください。 数学すうがく III ・ 数学すうがく B ・ 数学すうがく C へ進すすむ準備じゅんびが整ととのいました。