積分せきぶんの応用おうよう

この 章しょう で 学まなぶ こと

最終さいしゅう章しょう で は、 第だい 9 章しょう の 積分せきぶん を 応用おうよう し ま す。 二に次じ ・ 三さん次じ関数かんすう で 囲 ま れ た 様々さまざま な 図形づけい の 面積めんせき、 物理ぶつり で の 速度そくど と 位置いち の 関係かんけい、 そ し て 数学すうがく II 全体ぜんたい の 復習ふくしゅう を 行あるき い ま す。

• 1/6公式1/6こうしき で 二に次じ関数かんすう と 直線ちょくせん で 囲 ま れ た 面積めんせき を 一気いっき に 求もとめる
• 三さん次じ関数かんすう と 接線せっせん で 囲 ま れ た 面積めんせき を 求もとめる
• 速度そくど関数かんすう を 積分せきぶん し て 位置いち ・ 距離きょり を 求もとめる
• 数学すうがく II 全体ぜんたい の つながり を 整理せいり す る
• 数学すうがく III へ の 接続せつぞく を 知しる

1. 二に次じ関数かんすう と 直線ちょくせん で 囲 ま れ た 面積めんせき

1/6 公式こうしき

二に次じ関数かんすう$y=a(x-\alpha )(x-\beta )$ () と $x$軸 で 囲 ま れ た 部分ぶぶん の 面積めんせき は、

$S=\frac{\mid a\mid }{6}(\beta -\alpha {)}^3$

これ を 1/6公式1/6こうしき と い い ま す。 二に次じ関数かんすう$y=a{x}^2+bx+c$ と 直線ちょくせん $y=mx+n$ で 囲 ま れ た 場合ばあい も、 差$y_1-y_2=a{x}^2+(b-m)x+(c-n)$ が 二に次じ式しき (直線ちょくせん側がわ に 二に次項じこう が 無む い の で 二に次じ の 係数けいすう は $a$ の ま ま) な の で、 $\alpha ,\beta$ を 交点こうてん の $x$座標ざひょう と し て 同どう じ 公式こうしき$S=\frac{\mid a\mid }{6}(\beta -\alpha {)}^3$ が 適用てきよう で き ま す。

例題れいだい

$y=x^2$ と $y=x+2$ で 囲 ま れ た 部分ぶぶん の 面積めんせき。

交点こうてん: $x^2=x+2$ ⇒ $x^2-x-2=0$ ⇒ $(x-2)(x+1)=0$ ⇒ $x=-1,2$。 $-1\le x\le 2$ で 直線ちょくせん が 上うえ、 二に次じ が 下した。

差さ の 関数かんすう は $-(x^2-x-2)=-(x-2)(x+1)$、 二に次じ の 係数けいすう$-1$。 1/6 公式こうしき で、

$S=\frac{1}{6}(2-(-1){)}^3=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}$

やって みよう: $y=-x^2+4$ と $x$軸 で 囲 ま れ た 面積めんせき を 1/6 公式こうしき で 求もとめよ ($\alpha =-2,\beta =2$、 $a=-1$)。 (答こたえ: $\frac{1}{6}\cdot 4^3=\frac{32}{3}$)

2. 三さん次じ関数かんすう と 接線せっせん で 囲 ま れ た 面積めんせき

1/12 公式こうしき (発展はってん)

三さん次じ関数かんすう$y=f\left(x\right)=a(x-\alpha {)}^2(x-\beta )$ の 形かたち で、 $x=\alpha$ で 接せっ す る 接線せっせん と 三さん次じ関数かんすう で 囲 ま れ た 部分ぶぶん の 面積めんせき は、

$S=\frac{\mid a\mid }{12}(\beta -\alpha {)}^4$

例題れいだい

$y=x^3-3x^2+2$ の $x=0$ で の 接線せっせん を 引 い た とき、 接線せっせん と 曲線きょくせん で 囲 ま れ た 部分ぶぶん の 面積めんせき。

$f\left(x\right)=x^3-3x^2+2$、 $f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-6x$、 $f^{\prime }\left(0\right)=0$、 $f\left(0\right)=2$ ⇒ 接線せっせん は $y=2$。

差さ: $g\left(x\right)=(x^3-3x^2+2)-2=x^3-3x^2=x^2(x-3)$。 $g\left(x\right)=0$ ⇒ $x=0$ (重じゅう解かい)、 $x=3$。

1/12 公式こうしき で、 $a=1$、 $\alpha =0$、 $\beta =3$、

$S=\frac{1}{12}\cdot 3^4=\frac{81}{12}=\frac{27}{4}$

3. 物理ぶつり へ の 応用おうよう (速度そくど と 位置いち)

速度そくど を 積分せきぶん す る と 位置いち

時刻じこく$t$ で の 速度そくど を $v\left(t\right)$、 位置いち を $x\left(t\right)$ と す る と、 $\frac{dx}{dt}=v\left(t\right)$ な の で、

$x\left(t\right)=\int v\left(t\right)\hspace{0.17em}dt+C,x\left(b\right)-x\left(a\right)=\int abv\left(t\right)\hspace{0.17em}dt$

つ ま り 速度そくど を 区間くかん$[a,b]$ で 定てい積分せきぶん す る と そ の 間ま の 変位へんい ($x$ の 変化へんか) が 出で ま す。 速度そくど が 負まけ に な る 区間くかん が あ る とき、 道みちのり は $\int ab\mid v\left(t\right)\mid dt$ で す。

例題れいだい

直線ちょくせん上じょう を 動どう く 物体ぶったい の 速度そくど が $v\left(t\right)=6t-12$ ($m/s$、 $t\ge 0$) の とき、 $t=0$ か ら $t=4$ ま で の 変位へんい と 道みちのり を 求もとめよ。

変位へんい:

$\int 04(6t-12)dt=[3t^2-12t]04=48-48=0\hspace{0.25em} m$

道みちのり: $v\left(t\right)=0$ ⇒ $t=2$。 $0\le t\le 2$ で $v\le 0$、 $2\le t\le 4$ で $v\ge 0$。

$\int 04\mid v\mid dt=-\int 02(6t-12)dt+\int 24(6t-12)dt$ $=-[3t^2-12t]02+[3t^2-12t]24=-(-12)+(0-(-12\left)\right)=12+12=24\hspace{0.25em} m$

やって みよう: 速度そくど$v\left(t\right)=4t$ で 動どう く 物体ぶったい の $t=0$ か ら $t=3$ ま で の 変位へんい を 求もとめよ。 (答こたえ: $\int 034t\hspace{0.17em}dt=18$)

4. 数学すうがく II 全体ぜんたい の 整理せいり

つながり の 確認かくにん

各かく章しょう が ど う 関係かんけい し て い る か を 振ふり返かえり ま し ょ う。

章しょう	内容ないよう	何なに に つ な が る
1	式しき と 証明しょうめい	全ちょん章しょう で 計算けいさん ・ 論理ろんり の 基礎きそ
2	高次こうじ方程式ほうていしき	因数いんすう分解ぶんかい ・ 微分びぶん で 極ごく値ね を 求もとめる 計算けいさん
3	図形づけい と 方程式ほうていしき	4 章しょう領域りょういき、 9 章しょう面積めんせき
4	軌跡きせき と 領域りょういき	線形せんけい計画けいかく ・ 後ご の 多た変数へんすう関数かんすう
5	三角さんかく関数かんすう	数学すうがく III の 三角さんかく関数かんすう の 微び積せき
6	指数しすう ・ 対数たいすう	数学すうがく III の $e^x$、 $\log x$ の 微び積せき
7	微分びぶん の 基本きほん	8 章しょう ・ 9 章しょう ・ 10 章しょう
8	微分びぶん の 応用おうよう	最適さいてき化か問題もんだい、 物理ぶつり の 運動うんどう解析かいせき
9	積分せきぶん の 基本きほん	10 章しょう、 数学すうがく III の 体積たいせき
10	積分せきぶん の 応用おうよう	数学すうがく III、 物理ぶつり ・ 化学かがく ・ 経済けいざい

数学すうがく III へ の 接続せつぞく

数学すうがく III で は 次つぎ の 拡張かくちょう が 待まち っ て い ま す。

• 微分びぶん: 三角さんかく ・ 指数しすう ・ 対数たいすう関数かんすう の 微分びぶん、 積つむ ・ 商しょう ・ 合成ごうせい関数かんすう の 微分びぶん法ほう
• 積分せきぶん: 置換ちかん積分せきぶん、 部分ぶぶん積分せきぶん、 三角さんかく ・ 指数しすう ・ 対数たいすう関数かんすう の 積分せきぶん
• 応用おうよう: 体積たいせき、 曲線きょくせん の 長ちょう さ、 微分びぶん方程式ほうていしき (理系りけい進学しんがく者しゃ)

数学すうがく II の 多項式たこうしき範囲はんい で 道具どうぐ を 完全かんぜん に 身み に つ け て お く こと が、 数学すうがく III で の 成功せいこう の 鍵かぎ で す。

まとめ

• 1/6公式1/6こうしき で 二に次じ と 直線ちょくせん で 囲 ま れ た 面積めんせき を 一気いっき に 求もとめられる
• 三さん次じ と 接線せっせん で 囲 ま れ た 面積めんせき は 1/12 公式こうしき
• 速度そくど を 積分せきぶん す る と 変位へんい、 速度そくど の 絶対ぜったい値ち を 積分せきぶん す る と 道みちのり
• 数学すうがく II は 「式しき ・ 図形づけい ・ 三角さんかく ・ 指数しすう対数たいすう ・ 微び積せき」 の 五ご本ほん柱ばしら
• 微び積せき は 物理ぶつり ・ 経済けいざい ・ 工学こうがく で 必須ひっす、 数学すうがく III へ つながる 出発しゅっぱつ点てん

5. 総そう仕上しあが げ 例題れいだい

二に次じ関数かんすう と 二に直線ちょくせん で 囲 ま れ た 面積めんせき

$y=x^2-2x$ と $x$軸、 直線ちょくせん$x=3$ で 囲 ま れ た 部分ぶぶん の 面積めんせき を 求もとめよ。

$y=x^2-2x=x(x-2)$ は $x=0,2$ で $x$軸 と 交まじわる。 $0\le x\le 2$ で $y\le 0$、 $2\le x\le 3$ で $y\ge 0$。 面積めんせき は 絶対ぜったい値ち を 取と っ て、

$S=\int 02-(x^2-2x)dx+\int 23(x^2-2x)dx$ $=-[\frac{x^3}{3}-x^2]02+[\frac{x^3}{3}-x^2]23$ $=-(\frac{8}{3}-4)+(9-9)-(\frac{8}{3}-4)$ $=\frac{4}{3}+0+\frac{4}{3}=\frac{8}{3}$

微分びぶん と 積分せきぶん を 組くみ み 合あわせ る 問題もんだい

$F\left(x\right)=\int 0x(t^2-2t)dt$ の 最小さいしょう値ち を 求もとめよ。

基本きほん定理ていり か ら $F^{\prime }\left(x\right)=x^2-2x=x(x-2)$。 $F^{\prime }\left(x\right)=0$ ⇒ $x=0,2$。 増減ぞうげん を 調しらべ る と $x=2$ で 極小きょくしょう (=最小さいしょう候補こうほ)。

$F\left(2\right)=\int 02(t^2-2t)dt=[\frac{t^3}{3}-t^2]02=\frac{8}{3}-4=-\frac{4}{3}$

最小さいしょう値ち は $-\frac{4}{3}$。

大事だいじ: 「定てい積分せきぶん の 形かたち で 定義ていぎ さ れ た 関数かんすう」 の 微分びぶん は 基本きほん定理ていり で 一気いっき に 出で ま す。 中なか を 計算けいさん し な く て も $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$ と わ か る の が 強つよ み。

おつかれさま で し た。 これ で 高校こうこう数学すうがく II の 全ちょん章しょう が 終おわり ま し た。 一いち問もん一いち答とう と 問題もんだい集しゅう で 反復はんぷく し て、 確 か な 力ちから に し て く だ さ い。 数学すうがく III ・ 数学すうがく B ・ 数学すうがく C へ 進すすむ む 準備じゅんび が 整せい い ま し た。