三角形の面積さんかっけいのめんせき

三角形さんかっけいの面積めんせきとは、底辺ていへん × 高たかさ ÷ 2 で求もとまる値ねのことです。

場面ばめん	求もとめ方かた
ふつうの三角形さんかっけい	底辺ていへん × 高たかさ ÷ 2
座標ざひょう平面へいめん上じょうの三角形さんかっけい	1 辺あたりを底辺ていへんにし、高たかさを座標ざひょうから読よむ

中なか 3 入試にゅうしでは座標平面ざひょうへいめん上で「放物線ほうぶつせん・直線ちょくせん・軸じくで囲かこまれた三角形さんかっけいの面積めんせき」を求もとめる問題もんだいが頻出ひんしゅつです。等積変形とうせきへんけい・中点連結定理ちゅうてんれんけつていり・三平方の定理さんへいほうのていりと組くみ合あわせます。

試験しけんでは $y$軸や $x$軸に平行へいこうな辺あたりを底辺ていへんに選えらぶと、高たかさが座標ざひょうの差さですぐ出でる。面積めんせきを二に等分とうぶんする直線ちょくせんの問題もんだいには等積変形とうせきへんけいが有効ゆうこう。

三角形さんかっけいの面積めんせき $S$ は、中学ちゅうがくでは「底辺ていへん$\times$高さ $÷$ 2」でしたが、高校こうこうでは三角比さんかくひを使つかって2 辺あたりとそのはさむ角かくから求もとめられます。

$S=\frac{1}{2}bc\sin A$

わかっているもの	使つかう公式こうしき
2 辺$b,c$ とはさむ角$A$	$S=\frac{1}{2}bc\sin A$
3 辺$a,b,c$	ヘロンの公式へろんのこうしき
3 辺あたりと内接円ないせつえん半径はんけい$r$	$S=rs$（$s$ は半周長はんしゅうちょう）

高たかさ $h=b\sin A$ を「底辺ていへん$\times$高さ $÷2$」に代入だいにゅうしたものがこの公式こうしきで、高たかさをわざわざ作図さくずしなくてよいのが利点りてんです。たとえば $b=4$、$c=5$、$A=30°$ なら $S=\frac{1}{2}\times 4\times 5\times \frac{1}{2}=5$ です。

試験しけんでは 「2 辺あたりとはさむ角かく」なら $\frac{1}{2}bc\sin A$ が一いち発はつ。3 辺あたりだけならヘロンの公式へろんのこうしき、と与あたえられた情報じょうほうで公式こうしきを選えらぶ。