二に次じ関数かんすう y = ax²

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがく 1 年ねん で 比例ひれい・反比例はんぴれい、 中学ちゅうがく 2 年ねん で 一いち次じ関数かんすう を 学まなび まし た。 中学ちゅうがく 3 年ねん で 学まなぶ 新あたらしい 関数かんすう が $y=a{x}^2$ ($a\ne 0$) です。 グラフ は 放物線ほうぶつせん と 呼よば れ、 きれい な U 字形じけい を し て い ます。

入試にゅうし で は 「グラフ を かく」 「変へん域いき を 求もとめる」 「変化へんか の 割合わりあい を 求もとめる」 の 単独たんどく出題しゅつだい と、 「直線ちょくせん と の 交点こうてん で 図形づけい を 作つくる」融合ゆうごう問題もんだい の 両方りょうほう が 出で ます。 後者こうしゃ は 多おおく の 公立こうりつ入試にゅうし で 大だい問もん 1 つ 分ぶん を 占しめる 主役しゅやく級きゅう の 単元たんげん。

ゴール:

• $y=a{x}^2$ の グラフ の 形かたち ($a>0$ で 上うえ に 開ひらく、 で 下した に 開ひらく) を 説明せつめい でき る
• 表ひょう と グラフ から $a$ の 値ね を 求もとめ られる
• $x$ の 変域 から $y$ の 変へん域いき を 求もとめ られる (頂点ちょうてん を 通とおる か どう か で 場合ばあい分わけ)
• 変化へんか の 割合わりあい$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ が 計算けいさん でき、 公式こうしき$a(p+q)$ で 即答そくとう でき る
• 直線ちょくせん$y=mx+n$ と の 交点こうてん を 連立れんりつ で 求もとめ、 三角形さんかっけい の 面積めんせき や 等とう積せき変形へんけい が でき る

1. $y=a{x}^2$ と は

$y$ が $x$ の 2 乗じょう に 比例ひれい する 関数かんすう。

例れい:

• $y=x^2$ ($a=1$)
• $y=2x^2$ ($a=2$)
• $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ ($a=-\frac{1}{2}$)

値ね の 表ひょう を 作つくる

$y=x^2$ の 表おもて:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

特徴とくちょう:

• $x=0$ で $y=0$ (原点げんてん を 通とおる)
• $x$ が 正ただし で も 負まけ で も $y$ は 正ただし (重じゅう解かい 0 を 除のぞく)
• 表ひょう が $y$軸 を はさん で 左右さゆう対称たいしょう

2. 放物線ほうぶつせん — グラフ の 形

$y=a{x}^2$ の グラフ は 放物線ほうぶつせん と 呼よば れる U 字じ / 逆ぎゃく U 字じ の 曲線きょくせん。

形かたち の まとめ

$a$ の 符号ふごう	開ひらき き 方かた	通とおる 点てん	軸じく	頂点ちょうてん
$a>0$	上うえ に 開ひらく	原点げんてん	$y$軸	原点げんてん (0, 0)
	[下	した] に [開	ひら]く	[原点

$a$ の 大おおきさ と 開ひらき き 方

$\mid a\mid$ が 大おおきい ほど 細ほそく (とがる)、 小ちいさい ほど 横よこ に 広ひろ がり ます。

関数かんすう	開ひらき き 方かた
$y=3x^2$	細ほそい
$y=x^2$	標準ひょうじゅん
$y=\frac{1}{2}{x}^2$	広ひろい

ポイント:$y=a{x}^2$ と $y=-a{x}^2$ の グラフ は $x$軸 に 対たいし て 線せん対称たいしょう。 同おなじ 形かたち を 上下じょうげ反転はんてん し た 関係かんけい。

3. $a$ の 値ね を 求もとめる

「$y=a{x}^2$ が 点$(p,q)$ を 通とおる とき $a=?$」 タイプ の 出題しゅつだい が 頻出ひんしゅつ。

例題れいだい 1: $y=a{x}^2$ の グラフ が 点$(2,12)$ を 通とおる とき $a$ を 求もとめ よ。

代入だいにゅう し て、

$12=a\times 2^2=4a⟹a=3$

例題れいだい 2: $y=a{x}^2$ が 点$(-3,-6)$ を 通とおる とき $a$ を 求もとめ よ。

$-6=a\times 9⟹a=-\frac{6}{9}=-\frac{2}{3}$

4. 変へん域いき — $x$ の 範囲はんい から $y$ の 範囲はんい を 求もとめる

中なか 3 関数かんすう の 最大さいだい の 落おとし 穴。 一いち次じ関数かんすう と 違ちがい、 「頂点ちょうてん (原点げんてん) を 通とおる か どう か」 で 場合ばあい分わけ が 必要ひつよう。

例れい 1: 頂点ちょうてん を 通つうら ない ケース

例題れいだい 3: $y=x^2$ ($1\le x\le 3$) の とき $y$ の 変へん域いき を 求もとめ よ。

$x=1,3$ で $y=1,9$。 範囲はんい内ない に 0 は 含ふくま ない ので、 端点たんてん だけ 考かんがえれ ば OK。

$1\le y\le 9$

例れい 2: 頂点ちょうてん を 通とおる ケース (要注意ようちゅうい)

例題れいだい 4: $y=x^2$ ($-2\le x\le 1$) の とき $y$ の 変へん域いき を 求もとめ よ。

範囲はんい内ない に $x=0$ が 入はいる → 最小さいしょう は $y=0$ (頂点ちょうてん)。 最大さいだい は 端点たんてん で 大おおきい 方かた → $x=-2$ で $y=4$。

$0\le y\le 4$

鉄則てっそく:$x$ の 変へん域いき が 0 を またぐ なら 最小さいしょう (or 最大さいだい) は 頂点ちょうてん で 0。 端点たんてん だけ 見み て は ダメ。

例れい 3: の ケース

例題れいだい 5: $y=-2x^2$ ($-1\le x\le 3$) の とき $y$ の 変へん域いき を 求もとめ よ。

$x=0$ を またぐ → 頂点ちょうてん 0 が 最大さいだい。 端点たんてん で 小ちいさい 方かた は $x=3$ で $y=-18$。

$-18\le y\le 0$

5. 変化へんか の 割合わりあい

中学ちゅうがく 2 年ねん で 学まなん だ 変化へんか の 割合わりあい = $\frac{yの 増加量}{xの 増加量}$。

一いち次じ関数かんすう では 一定いってい (= 傾かたむき) でし た が、 $y=a{x}^2$ では 区間くかん ごと に 変かわる の が 大だい違ちがい。

例題れいだい 6: $y=x^2$ で $x$ が 1 から 3 まで 変かわる とき の 変化へんか の 割合わりあい を 求もとめ よ。

$x=1$ で $y=1$、 $x=3$ で $y=9$。

$\frac{9-1}{3-1}=\frac{8}{2}=4$

例題れいだい 7: $y=-2x^2$ で $x$ が -3 から 1 まで 変かわる とき の 変化へんか の 割合わりあい を 求もとめ よ。

$x=-3$ で $y=-18$、 $x=1$ で $y=-2$。

$\frac{-2-(-18)}{1-(-3)}=\frac{16}{4}=4$

変化へんか の 割合わりあい の 公式こうしき

$y=a{x}^2$ で $x$ が $p$ から $q$ まで 変かわる とき、 変化へんか の 割合わりあい は $a(p+q)$ で 即答そくとう でき ます。

導出どうしゅつ: $\frac{a{q}^2-a{p}^2}{q-p}=\frac{a(q+p)(q-p)}{q-p}=a(p+q)$。

例題れいだい 8: $y=3x^2$ で $x$ が 2 から 5 まで 変かわる とき の 変化へんか の 割合わりあい は?

$3\times (2+5)=3\times 7=21$

ポイント:公式こうしき を 使つかえ ば 暗算あんざん で 即答そくとう できる。 入試にゅうし では 必須ひっす テクニック。

6. グラフ の かき方かた

例題れいだい 9: $y=\frac{1}{2}{x}^2$ の グラフ を かけ。

通とおる 点てん を 表ひょう で:

$x$	$-4$	$-2$	$0$	$2$	$4$
$y$	$8$	$2$	$0$	$2$	$8$

これ ら を 滑なめらか な 曲線きょくせん で 結むすぶ。 $y$軸 で 左右さゆう対称たいしょう に なる よう 注意ちゅうい。

7. 入試にゅうし頻出ひんしゅつ — 直線ちょくせん と の 融合ゆうごう問題もんだい

放物線ほうぶつせん と 直線ちょくせん の 交点こうてん、 そこ から 三角形さんかっけい の 面積めんせき を 求もとめる パターン が 多おお い。

交点こうてん を 求もとめる

例題れいだい 10: 放物線ほうぶつせん$y=x^2$ と 直線ちょくせん$y=x+2$ の 交点こうてん を 求もとめ よ。

連立れんりつ し て、

$x^2=x+2⟹x^2-x-2=0⟹(x-2)(x+1)=0$

$x=2,-1$。 対応たいおう する $y$ は $4,1$。 交点こうてん は $(-1,1),(2,4)$。

三角形さんかっけい の 面積めんせき

例題れいだい 11: 上うえ の 例題れいだい で、 原点げんてん O と 2 つ の 交点こうてん A$(-1,1)$、 B$(2,4)$ を 結むすぶ 三角形さんかっけい OAB の 面積めんせき を 求もとめ よ。

直線ちょくせん$y=x+2$ の $y$切片せっぺん は $C(0,2)$。 三角形さんかっけい OAB を、 $y$軸じく上じょう の OC を 底辺ていへん と し て 2 つ に 分わけ る。

底辺ていへん OC = 2、 三角形さんかっけい OCA の 高たかさ は A の $x$座標ざひょう の 絶対ぜったい値ち = 1、 三角形さんかっけい OCB の 高たかさ は B の $x$座標ざひょう = 2。

$△OAB=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=1+2=3$

テクニック: 「$y$軸 を 横切よこぎる 直線ちょくせん と 放物線ほうぶつせん の 交点こうてん で できる 三角形さんかっけい」 → $y$切片せっぺん を 底辺ていへん に し て 2 つ の 三角形さんかっけい に 分わける。

等とう積せき変形へんけい

例題れいだい 12: 放物線ほうぶつせん$y=x^2$上 の 点てん P を 動うごかし、 三角形さんかっけい OAB ($A(-1,1),B(2,4)$) と 同おなじ 面積めんせき に なる よう に 三角形さんかっけい OAP を 作つくり たい。 P の 座標ざひょう を 求もとめ よ。 (発展はってん)

直線ちょくせん OA, OB の どちら か に 平行へいこう な 直線ちょくせん を 引ひき、 放物線ほうぶつせん と 交差こうさ する 点てん が P。 詳くわしい 計算けいさん は 省略しょうりゃく し ます が、 「平行へいこう な 直線ちょくせん上じょう の 点てん は 三角形さんかっけい の 面積めんせき が 同おなじ」 (等積変形とうせきへんけい) の 性質せいしつ を 利用りよう する 入試にゅうし頻出ひんしゅつ パターン。

8. 章しょう末まつ演習えんしゅう (入試にゅうし形式けいしき)

(1) $y=a{x}^2$ が 点$(3,18)$ を 通とおる とき $a$ を 求もとめ よ。 (2) $y=-x^2$ ($-2\le x\le 1$) の とき の $y$ の 変へん域いき を 求もとめ よ。 (3) $y=2x^2$ で $x$ が -1 から 3 まで 変かわる とき の 変化へんか の 割合わりあい を 求もとめ よ。 (4) 放物線ほうぶつせん$y=x^2$ と 直線ちょくせん$y=-x+6$ の 交点こうてん を 求もとめ よ。 (5) (4) の 2 つ の 交点こうてん と 原点げんてん を 頂点ちょうてん と する 三角形さんかっけい の 面積めんせき を 求もとめ よ。

略解りゃっかい: (1) $a=2$ (2) $x=0$ を またぐ ので 頂点ちょうてん が 最大さいだい、 端点たんてん で 最小さいしょう は $x=-2$ で $y=-4$ → $-4\le y\le 0$ (3) $a(p+q)=2\times (-1+3)=4$ (4) 連立れんりつ し て $x^2+x-6=0$、 $(x+3)(x-2)=0$、 $x=-3,2$ → 交点こうてん$(-3,9),(2,4)$ (5) 直線ちょくせん の $y$切片せっぺん$C(0,6)$ を 底辺ていへん と し て 2 分割ぶんかつ。 $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3+\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2=9+6=15$

章 の まとめ:$y=a{x}^2$ の 重要じゅうよう公式こうしき は 変化へんか の 割合わりあい = $a(p+q)$。 変へん域いき は 「0 を またぐ か」 で 場合ばあい分わけ。 直線ちょくせん と の 融合ゆうごう は 連立れんりつ → 交点こうてん → 面積めんせき の 流ながれ を 体からだ に 染しみ 込こみ ませ ましょう。

まとめ — 二に次じ関数かんすう$y=a{x}^2$ を 3 行くだりで

• $y=a{x}^2$ のグラフは原点げんてんを頂点ちょうてんとする放物線ほうぶつせんで、 $a>0$ なら下凸したとつ、 なら上凸うわとつに開ひらく
• 変へん域いきは $x$ が $0$ をまたぐまたぐかどうかで場合ばあい分わけし、 またぐまたぐときは頂点ちょうてん$y=0$ が最大さいだい値ちまたは最小さいしょう値ちとなる
• 変化へんかの割合わりあいは $a(p+q)$ ($x$ が $p$ から $q$ まで変化へんか) の公式こうしきで即座そくざに求もとまり、 直線ちょくせんとの交点こうてん・面積めんせき問題もんだいは連立れんりつ方程式ほうていしきで攻略こうりゃくする