二に次じ関数かんすう y = ax²

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがく 1 年ねんで比例ひれい・反比例はんぴれい、 中学ちゅうがく 2 年ねんで一いち次じ関数かんすうを学まなびました。 中学ちゅうがく 3 年ねんで学まなぶ新あたらしい関数かんすうが $y=a{x}^2$ ($a\ne 0$) です。 グラフぐらふは 放物線ほうぶつせん と呼よばれ、 きれいな U 字形じけいをしています。

入試にゅうしでは 「グラフをかく」 「変域へんいきを求もとめる」 「変化の割合へんかのわりあいを求もとめる」 の単独たんどく出題しゅつだいと、 「直線ちょくせんとの交点こうてんで図形ずけいを作つくる」融合ゆうごう問題もんだいの両方りょうほうが出でます。 後者こうしゃは多おおくの公立こうりつ入試にゅうしで大だい問もん 1 つ分ぶんを占しめる主役しゅやく級きゅうの単元たんげん。

ゴール:

• $y=a{x}^2$ のグラフの形かたち ($a>0$ で上うえに開ひらく、 で下したに開ひらく) を説明せつめいできる
• 表ひょうとグラフから $a$ の値あたいを求もとめられる
• $x$ の 変域 から $y$ の変へん域いきを求もとめられる (頂点ちょうてんを通とおるかどうかで場合ばあい分わけ)
• 変化へんかの割合わりあい $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ が計算けいさんでき、 公式こうしき $a(p+q)$ で即答そくとうできる
• 直線ちょくせん$y=mx+n$ との交点こうてんを連立れんりつで求もとめ、 三角形の面積さんかっけいのめんせきや等積変形とうせきへんけいができる

1. $y=a{x}^2$ とは

$y$ が $x$ の 2 乗じょうに比例ひれいする関数かんすう。

例れい:

• $y=x^2$ ($a=1$)
• $y=2x^2$ ($a=2$)
• $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ ($a=-\frac{1}{2}$)

値あたいの表ひょうを作つくる

$y=x^2$ の表おもて:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$9$	$4$	$1$	$0$	$1$	$4$	$9$

特徴とくちょう:

• $x=0$ で $y=0$ (原点げんてんを通とおる)
• $x$ が正せいでも負ふでも $y$ は正せい (重解じゅうかい 0 を除のぞく)
• 表ひょうが $y$ 軸じくをはさんで左右さゆう対称たいしょう

2. 放物線ほうぶつせん — グラフの形

$y=a{x}^2$ のグラフは 放物線ほうぶつせん と呼よばれる U 字じ / 逆ぎゃく U 字じの曲線きょくせん。

形かたちのまとめ

$a$ の符号ふごう	開ひらき方かた	通とおる点てん	軸じく	頂点ちょうてん
$a>0$	上うえに開ひらく	原点げんてん	$y$軸	原点げんてん (0, 0)
	下したに開ひらく	原点げんてん	$y$軸	原点げんてん (0, 0)

$a$ の大おおきさと開ひらき方

$\mid a\mid$ が 大おおきいほど細ほそく (とがる)、 小ちいさいほど横よこに広ひろがります。

関数かんすう	開ひらき方かた
$y=3x^2$	細ほそい
$y=x^2$	標準ひょうじゅん
$y=\frac{1}{2}{x}^2$	広ひろい

ポイント: $y=a{x}^2$ と $y=-a{x}^2$ のグラフは $x$軸に対たいして線せん対称たいしょう。 同おなじ形かたちを上下じょうげ反転はんてんした関係かんけい。

3. $a$ の値あたいを求もとめる

「$y=a{x}^2$ が点$(p,q)$ を通とおるとき $a=?$」 タイプの出題しゅつだいが頻出ひんしゅつ。

例題れいだい 1: $y=a{x}^2$ のグラフが点$(2,12)$ を通とおるとき $a$ を求もとめよ。

代入だいにゅうして、

$12=a\times 2^2=4a⟹a=3$

例題れいだい 2: $y=a{x}^2$ が点$(-3,-6)$ を通とおるとき $a$ を求もとめよ。

$-6=a\times 9⟹a=-\frac{6}{9}=-\frac{2}{3}$

4. 変へん域いき — $x$ の範囲はんいから $y$ の範囲はんいを求もとめる

中なか 3 関数かんすうの 最大さいだいの落おとし穴あな。 一いち次じ関数かんすうと違ちがい、 「頂点ちょうてん (原点げんてん) を通とおるかどうか」 で場合ばあい分わけが必要ひつよう。

例れい 1: 頂点ちょうてんを通とおらないケース

例題れいだい 3: $y=x^2$ ($1\le x\le 3$) のとき $y$ の変へん域いきを求もとめよ。

$x=1,3$ で $y=1,9$。 範囲はんい内に 0 は含ふくまないので、 端点たんてんだけ考かんがえれば OK。

$1\le y\le 9$

例れい 2: 頂点ちょうてんを通とおるケース (要注意ようちゅうい)

例題れいだい 4: $y=x^2$ ($-2\le x\le 1$) のとき $y$ の変へん域いきを求もとめよ。

範囲はんい内ないに $x=0$ が入はいる → 最小さいしょうは $y=0$ (頂点ちょうてん)。 最大さいだいは端点たんてんで大おおきい方かた → $x=-2$ で $y=4$。

$0\le y\le 4$

鉄則てっそく: $x$ の変へん域いきが 0 をまたぐなら最小さいしょう (or 最大さいだい) は 頂点ちょうてんで 0。 端点たんてんだけ見みてはダメ。

例れい 3: のケース

例題れいだい 5: $y=-2x^2$ ($-1\le x\le 3$) のとき $y$ の変へん域いきを求もとめよ。

$x=0$ をまたぐ → 頂点ちょうてん 0 が最大さいだい。 端点たんてんで小ちいさい方ほうは $x=3$ で $y=-18$。

$-18\le y\le 0$

5. 変化へんかの割合わりあい

中学ちゅうがく 2 年ねんで学まなんだ 変化へんかの割合わりあい = $\frac{yの 増加量}{xの 増加量}$。

一いち次じ関数かんすうでは一定いってい (= 傾きかたむき) でしたが、 $y=a{x}^2$ では区間くかんごとに変かわる のが大だい違ちがい。

例題れいだい 6: $y=x^2$ で $x$ が 1 から 3 まで変かわるときの変化へんかの割合わりあいを求もとめよ。

$x=1$ で $y=1$、 $x=3$ で $y=9$。

$\frac{9-1}{3-1}=\frac{8}{2}=4$

例題れいだい 7: $y=-2x^2$ で $x$ が -3 から 1 まで変かわるときの変化へんかの割合わりあいを求もとめよ。

$x=-3$ で $y=-18$、 $x=1$ で $y=-2$。

$\frac{-2-(-18)}{1-(-3)}=\frac{16}{4}=4$

変化へんかの割合わりあいの公式こうしき

$y=a{x}^2$ で $x$ が $p$ から $q$ まで変かわるとき、 変化へんかの割合わりあいは $a(p+q)$ で即答そくとうできます。

導出どうしゅつ: $\frac{a{q}^2-a{p}^2}{q-p}=\frac{a(q+p)(q-p)}{q-p}=a(p+q)$。

例題れいだい 8: $y=3x^2$ で $x$ が 2 から 5 まで変かわるときの変化へんかの割合わりあいは?

$3\times (2+5)=3\times 7=21$

ポイント:公式こうしきを使つかえば暗算あんざんで即答そくとうできる。 入試にゅうしでは必須ひっすテクニック。

6. グラフのかき方かた

例題れいだい 9: $y=\frac{1}{2}{x}^2$ のグラフをかけ。

通とおる点てんを表ひょうで:

$x$	$-4$	$-2$	$0$	$2$	$4$
$y$	$8$	$2$	$0$	$2$	$8$

これらを滑なめらかな曲線きょくせんで結むすぶ。 $y$軸で左右さゆう対称たいしょう になるよう注意ちゅうい。

7. 入試にゅうし頻出ひんしゅつ — 直線ちょくせんとの融合ゆうごう問題もんだい

放物線ほうぶつせんと直線ちょくせんの 交点こうてん、 そこから三角形さんかくけいの面積めんせきを求もとめるパターンが多おおい。

交点こうてんを求もとめる

例題れいだい 10: 放物線ほうぶつせん$y=x^2$ と直線ちょくせん$y=x+2$ の交点こうてんを求もとめよ。

連立れんりつして、

$x^2=x+2⟹x^2-x-2=0⟹(x-2)(x+1)=0$

$x=2,-1$。 対応たいおうする $y$ は $4,1$。 交点こうてんは $(-1,1),(2,4)$。

三角形さんかくけいの面積めんせき

例題れいだい 11: 上うえの例題れいだいで、 原点げんてん O と 2 つの交点こうてん A$(-1,1)$、 B$(2,4)$ を結むすぶ三角形さんかくけい OAB の面積めんせきを求もとめよ。

直線ちょくせん$y=x+2$ の $y$切片せっぺん は $C(0,2)$。 三角形さんかくけい OAB を、 $y$軸じく上じょうの OC を底辺ていへんとして 2 つに分わける。

底辺ていへん OC = 2、 三角形さんかくけい OCA の高たかさは A の $x$ 座標ざひょうの絶対値ぜったいち = 1、 三角形さんかくけい OCB の高たかさは B の $x$座標ざひょう = 2。

$△OAB=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=1+2=3$

テクニック: 「$y$軸を横切よこぎる直線ちょくせんと放物線ほうぶつせんの交点こうてんでできる三角形さんかくけい」 → $y$切片せっぺんを底辺ていへん にして 2 つの三角形さんかくけいに分わける。

等とう積せき変形へんけい

例題れいだい 12: 放物線ほうぶつせん$y=x^2$上の点てん P を動うごかし、 三角形さんかくけい OAB ($A(-1,1),B(2,4)$) と同おなじ面積めんせきになるように三角形さんかくけい OAP を作つくりたい。 P の座標ざひょうを求もとめよ。 (発展はってん)

直線ちょくせん OA, OB のどちらかに平行へいこうな直線ちょくせんを引ひき、 放物線ほうぶつせんと交差こうさする点てんが P。 詳くわしい計算けいさんは省略しょうりゃくしますが、 「平行へいこうな直線ちょくせん上じょうの点てんは三角形さんかくけいの面積めんせきが同おなじ」 (等積変形とうせきへんけい) の性質せいしつを利用りようする入試にゅうし頻出ひんしゅつパターン。

8. 章しょう末まつ演習えんしゅう (入試にゅうし形式けいしき)

(1) $y=a{x}^2$ が点$(3,18)$ を通とおるとき $a$ を求もとめよ。 (2) $y=-x^2$ ($-2\le x\le 1$) のときの $y$ の変へん域いきを求もとめよ。 (3) $y=2x^2$ で $x$ が -1 から 3 まで変かわるときの変化へんかの割合わりあいを求もとめよ。 (4) 放物線ほうぶつせん$y=x^2$ と直線ちょくせん$y=-x+6$ の交点こうてんを求もとめよ。 (5) (4) の 2 つの交点こうてんと原点げんてんを頂点ちょうてんとする三角形さんかくけいの面積めんせきを求もとめよ。

略解かい: (1) $a=2$ (2) $x=0$ をまたぐので頂点ちょうてんが最大さいだい、 端点たんてんで最小さいしょうは $x=-2$ で $y=-4$ → $-4\le y\le 0$ (3) $a(p+q)=2\times (-1+3)=4$ (4) 連立れんりつして $x^2+x-6=0$、 $(x+3)(x-2)=0$、 $x=-3,2$ → 交点こうてん$(-3,9),(2,4)$ (5) 直線ちょくせんの $y$切片せっぺん$C(0,6)$ を底辺ていへんとして 2 分割ぶんかつ。 $\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 3+\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2=9+6=15$

章のまとめ: $y=a{x}^2$ の重要じゅうよう公式こうしきは 変化へんかの割合わりあい = $a(p+q)$。 変へん域いきは 「0 をまたぐか」 で場合ばあい分わけ。 直線ちょくせんとの融合ゆうごうは連立れんりつ → 交点こうてん → 面積めんせきの流ながれを体からだに染しみ込こませましょう。

まとめ — 二に次じ関数かんすう$y=a{x}^2$ を 3 行くだりで

• $y=a{x}^2$ のグラフは原点げんてんを頂点ちょうてんとする放物線ほうぶつせんで、 $a>0$ なら下凸したとつ、 なら上凸うわとつに開ひらく
• 変へん域いきは $x$ が $0$ をまたぐかどうかで場合ばあい分わけし、 またぐときは頂点ちょうてん$y=0$ が最大値さいだいちまたは最小値さいしょうちとなる
• 変化へんかの割合わりあいは $a(p+q)$ ($x$ が $p$ から $q$ まで変化へんか) の公式こうしきで即座そくざに求もとまり、 直線ちょくせんとの交点こうてん・面積めんせき問題もんだいは連立方程式れんりつほうていしきで攻略こうりゃくする