二に次じ方程式ほうていしき

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがく 1 年ねん で 1 元もと 1 次じ方程式ほうていしき、 中学ちゅうがく 2 年ねん で 連立れんりつ方程式ほうていしき を 学まなび まし た。 中学ちゅうがく 3 年ねん で 学まなぶ 新あたらしい 方程式ほうていしき が 二次方程式にじほうていしき です。

二に次じ方程式ほうていしき は $a{x}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$) の 形かたち で 表ひょう さ れる、 $x$ の 2 次つぎ式しき = 0 の 形かたち の 方程式ほうていしき です。

入試にゅうし で は 計算けいさん問題もんだい と し て 必かならず 1 問もん出題しゅつだい さ れ、 さらに 文章ぶんしょう題だい (面積めんせき、 速はやさ、 動どう点てん、 整数せいすう) の 解かい き方かた と し て も 大だい活躍かつやく。 解かい き方かた は 3 通とおり あり、 状況じょうきょう に 応おうじ て 使つかい 分わける力 が 問もん われ ます。

ゴール:

• 因数いんすう分解ぶんかい で 解とけ る 方程式ほうていしき は 因数いんすう分解ぶんかい で 解かい ける
• $(x-p{)}^2=q$ の 形かたち (平方根へいほうこん を 使つかう) で 解かい ける
• 平方完成へいほうかんせい で どんな 方程式ほうていしき も 上うえ の 形かたち に 変形へんけい できる
• 解の公式かいのこうしき$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ を 暗記あんき し 即そく使つかえ る
• 文章ぶんしょう題だい から 自分じぶん で 二に次じ方程式ほうていしき を 立たて、 答こたえ に 「適てき する もの」 を 選せん べる

1. 二に次じ方程式ほうていしき と は

「$x$ の 2 次つぎ の 等式とうしき」 を 二に次じ方程式ほうていしき と いい ます。 一般いっぱん形がた は

$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$

例: $x^2-5x+6=0$、 $2x^2=8$、 $(x+1)(x-3)=0$。

二に次じ方程式ほうていしき を 成なり 立たつ たせ る $x$ の 値ね を 解 と いい、 解かい を 求もとめる こと を 「方程式ほうていしき を 解とく」 と いい ます。 二に次じ方程式ほうていしき の 解かい は 一般いっぱん に 2 つ ある (重じゅう解かい 1 つ、 解かい なし の 場合ばあい も あり)。

2. 解かい き方かた 1 — 因数いんすう分解ぶんかい を 利用りよう

「2 数かず の 積つむ が 0 なら、 少すくなく とも 一方いっぽう が 0」 という 性質せいしつ を 使つかい ます。

$AB=0⟹A=0 または B=0$

例題れいだい 1: $(x-2)(x+5)=0$ を 解とけ。

「$x-2=0$ または $x+5=0$」 より、

$x=2, -5$

例題れいだい 2: $x^2-7x+10=0$ を 解とけ。

左辺さへん を 因数いんすう分解ぶんかい。 足たし て -7、 かけ て 10 → (-2, -5)。

$(x-2)(x-5)=0⟹x=2, 5$

例題れいだい 3: $x^2+6x=0$ を 解とけ。

共通きょうつう因数いんすう$x$ を くくる。

$x(x+6)=0⟹x=0, -6$

例題れいだい 4: $x^2=16$ を 解とけ。

移項いこう し て $x^2-16=0$、 公式こうしき で $(x+4)(x-4)=0$。

$x=\pm 4$

ポイント:因数いんすう分解ぶんかい で 解かい ける 形かたち が 出で たら 即そく使つかう のが 最速さいそく。 入試にゅうし の 多おおく は 因数いんすう分解ぶんかい で 終おわる。

3. 解かい き方かた 2 — 平方根へいほうこん を 使つかう

$x^2=a$ や $(x-p{)}^2=q$ の 形かたち なら、 平方根へいほうこん を 使つかい ます。

$x^2=a⟹x=\pm \sqrt{a},(x-p{)}^2=q⟹x-p=\pm \sqrt{q}$

例題れいだい 5: $x^2=7$ を 解とけ。

$x=\pm \sqrt{7}$

例題れいだい 6: $(x-3{)}^2=5$ を 解とけ。

$x-3=\pm \sqrt{5}⟹x=3\pm \sqrt{5}$

例題れいだい 7: $2(x+1{)}^2=18$ を 解とけ。

両辺りょうへん を 2 で 割わっ て $(x+1{)}^2=9$。 $x+1=\pm 3$ より、

$x=2, -4$

4. 解かい き方かた 3 — 平方へいほう完成かんせい

「(x - p)^2 = q」 の 形かたち に 無理むり やり 変形へんけい する 操作そうさ が 平方完成へいほうかんせい です。

例題れいだい 8: $x^2+6x-1=0$ を 平方へいほう完成かんせい で 解とけ。

定数ていすう を 移項いこう し て、

$x^2+6x=1$

「$x$ の 係数けいすう の 半分はんぶん ($\frac{6}{2}=3$) の 2 乗 ($3^2=9$)」 を 両辺りょうへん に たす。

$x^2+6x+9=1+9⟹(x+3{)}^2=10$

平方根へいほうこん で、

$x+3=\pm \sqrt{10}⟹x=-3\pm \sqrt{10}$

コツ:平方へいほう完成かんせい は 「$x$ の 係数けいすう の 半分はんぶん を 2 乗じょう し て 両辺りょうへん に たす」 の 1 行あるき を 唱となえる。 これ が 解かい の 公式こうしき の 導出どうしゅつ の もと に なり ます。

5. 解かい き方かた 4 — 解かい の 公式こうしき (一般いっぱん形がた)

平方へいほう完成かんせい を 一般いっぱん の $a{x}^2+bx+c=0$ に 適用てきよう する と、

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

これ が 有名ゆうめい な 解の公式かいのこうしき。 中学ちゅうがく で の 必暗記あんき公式こうしき です。

公式こうしき の 使つかい方かた

例題れいだい 9: $2x^2+3x-1=0$ を 解かいの 公式こうしき で 解とけ。

$a=2,b=3,c=-1$ を 代入だいにゅう。

$x=\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot 2\cdot (-1)}}{2\cdot 2}=\frac{-3\pm \sqrt{9+8}}{4}=\frac{-3\pm \sqrt{17}}{4}$

例題れいだい 10: $x^2-4x+1=0$ を 解とけ。

$a=1,b=-4,c=1$。

$x=\frac{4\pm \sqrt{16-4}}{2}=\frac{4\pm \sqrt{12}}{2}=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm \sqrt{3}$

注意ちゅうい:$b$ を 代入だいにゅう する とき、 元もと の 符号ふごう を 含ふくめ て 代入だいにゅう する ($-(-4)=4$)。 $\sqrt{}$ の 中なか は $b^2-4ac$ (判別式はんべつしき と いう)。

判別はんべつ式しき で 解かい の 個数こすう が わかる

$D=b^2-4ac$ と 置おく と、

$D$ の 符号ふごう	解かい の 様子ようす
$D>0$	異ことなる 2 つ の 実数じっすう解かい
$D=0$	重解 (解かい が 1 つ)
	解 なし (中学ちゅうがく範囲はんい)

例題れいだい 11: $x^2-6x+9=0$ を 解とけ。

$D=36-36=0$ なので 重じゅう解かい。 因数いんすう分解ぶんかい で $(x-3{)}^2=0$ より $x=3$ (重じゅう解かい)。

6. 解かい き方かた の 使つかい 分わけ フロー

入試にゅうし で の 攻略こうりゃく順じゅん (上じょう から 試ためす):

1. 「因数いんすう分解ぶんかい でき そう か?」 → ($x+a)(x+b) や 2 乗の公式こうしき が 見み える なら 即そく使つかう
2. 「$(x-p{)}^2=q$ の 形かたち か?」 → 平方根へいほうこん で 一いち発はつ
3. 「数値すうち が きれい じゃ ない / 因数いんすう分解ぶんかい不能ふのう」 → 解 の 公式こうしき

ポイント:因数いんすう分解ぶんかい が 一番いちばん速はやい ので 必かならず 最初さいしょ に 検討けんとう する。 解かい の 公式こうしき は 「最後さいご の 手段しゅだん」 と し て 持もっ て おく。

7. 入試にゅうし頻出ひんしゅつ の 文章ぶんしょう題だい

二に次じ方程式ほうていしき の 文章ぶんしょう題だい で の 鉄則てっそく は:

(A) $x$ を 何なに と 置おく か を 明示めいじ (B) 等式とうしき を 立たてる ($x$ の 二に次じ式しき = ある 値ね、 等とう) (C) 解 を すべて 出だす (D) 問題もんだい の 条件じょうけん に 合あう 解かい を 選えらぶ (たとえ ば 「人数にんずう」 「長ながさ」 は 正せい)

(1) 数かず の 問題もんだい

例題れいだい 12: 連続れんぞく する 2 つ の 整数せいすう が ある。 それ ら の 積つむ が 156 と なる とき、 2 つ の 整数せいすう を 求もとめ よ。

小ちいさい 方かた を $x$、 大おおきい 方かた を $x+1$ と 置おく。

$x(x+1)=156⟹x^2+x-156=0$

足たし て 1、 かけ て -156 → (13, -12)。 $(x+13)(x-12)=0$ より $x=-13$ または $x=12$。

整数せいすう の ペア は $(12,13)$ と $(-13,-12)$ の 2 組。

(2) 図形づけい (面積めんせき) の 問題もんだい

例題れいだい 13: 縦$x$ cm、 横$(x+3)$ cm の 長方形ちょうほうけい の 面積めんせき が 40 cm${}^2$ で ある とき、 $x$ を 求もとめ よ。

$x(x+3)=40⟹x^2+3x-40=0⟹(x+8)(x-5)=0$

$x>0$ な ので $x=5$ (cm)。

ポイント:$x=-8$ は 「長ながさ が 負まけ に なる」 ため 不適ふてき と 判断はんだん し、 答こたえ から 除外じょがい する。

(3) 動どう点てん の 問題もんだい

例題れいだい 14: 1 辺あたり 12 cm の 正方形せいほうけい ABCD の 辺あたり AB 上うえ を 点てん P が、 辺あたり AD 上うえ を 点てん Q が それぞれ 秒速びょうそく 1 cm で 出発しゅっぱつ。 出発しゅっぱつ から $x$秒びょう後ご に 三角形さんかっけい APQ の 面積めんせき が 18 cm${}^2$ に なる の は いつ か。

$AP=AQ=x$ cm。 三角形さんかっけい の 面積めんせき は

$\frac{1}{2}\cdot x\cdot x=\frac{x^2}{2}=18⟹x^2=36⟹x=6 (>0)$

6 秒びょう後ご と 答こたえ る。

(4) 速はやさ・道みちのり の 問題もんだい

例題れいだい 15: ある 数かず の 2 乗じょう から、 その 数かず を 引ひく と 30 に なる。 元もと の 数かず を 求もとめ よ。

$x^2-x=30⟹x^2-x-30=0⟹(x-6)(x+5)=0$

$x=6, -5$ の 2 つ と も 答こたえ。 (「正せい の 整数せいすう」 等ひとし の 条件じょうけん が なけ れば 両方りょうほう が 解かい)

8. 章しょう末まつ演習えんしゅう (入試にゅうし形式けいしき)

(1) $x^2-9x+14=0$ を 解とけ。 (2) $(x+4{)}^2=12$ を 解とけ。 (3) $3x^2+5x-2=0$ を 解とけ。 (4) $x^2-4x-1=0$ を 解かいの 公式こうしき で 解とけ。 (5) 縦たて が 横よこ より 4 cm 短みじかい 長方形ちょうほうけい の 面積めんせき が 60 cm${}^2$ の とき、 縦たて と 横よこ を 求もとめ よ。

略解りゃっかい: (1) $(x-2)(x-7)=0\Rightarrow x=2,7$ (2) $x+4=\pm 2\sqrt{3}\Rightarrow x=-4\pm 2\sqrt{3}$ (3) たすき掛かけ or 公式こうしき。 $(3x-1)(x+2)=0\Rightarrow x=\frac{1}{3},-2$ (4) $x=\frac{4\pm \sqrt{20}}{2}=2\pm \sqrt{5}$ (5) 横よこ を $x$ と 置 く。 $x(x-4)=60\Rightarrow x^2-4x-60=0\Rightarrow (x-10)(x+6)=0$。 $x>4$ なので $x=10$、 縦たて = 6 cm、 横よこ = 10 cm

章 の まとめ:二に次じ方程式ほうていしき の 解かい き方かた は 「因数いんすう分解ぶんかい → 平方根へいほうこん → 解かい の 公式こうしき」 の 順じゅん で 試ためす。 文章ぶんしょう題だい は 「答こたえ に 適てき する もの を 選えらぶ」 の 一いち手て を 忘わすれ ない。

まとめ — 二に次じ方程式ほうていしき を 3 行くだりで

• 二に次じ方程式ほうていしき$a{x}^2+bx+c=0$ の解法かいほうは「因数いんすう分解ぶんかい → 平方へいほう完成かんせい (平方根へいほうこん) → 解かいの公式こうしき」 の順じゅんで試ためすのが効率こうりつ的てきである
• 解かいの公式こうしき$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ は判別式はんべつしき$D=b^2-4ac$ の符号ふごうで解かいの個数こすう (2 個こ・重じゅう解かい・なし) が決きまる
• 文章ぶんしょう題だいでは未知数みちすうを $x$ と置おいて方程式ほうていしきを立たて、 解といた後のち「正せいの値ね」「整数せいすう」 など問題もんだいの条件じょうけんに適合てきごうする解かいを選えらぶ一手いってを忘わすれない