中3数学第4章二次方程式｜因数分解・平方完成・解の公式

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがく 1 年ねんで 1 元もと 1 次じ方程式ほうていしき、中学ちゅうがく 2 年ねんで連立れんりつ方程式ほうていしきを学まなびました。中学ちゅうがく 3 年ねんで学まなぶ新あたらしい方程式ほうていしきが 二次方程式にじほうていしき です。

二次方程式にじほうていしきは $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq 0$ ) の形かたちで表あらわされる、 $x$ の 2 次つぎ式しき = 0 の形かたちの方程式ほうていしきです。

入試にゅうしでは計算けいさん問題もんだいとして必かならず 1 問もん出題しゅつだいされ、さらに文章ぶんしょう題だい (面積めんせき、速はやさ、動点どうてん、整数せいすう) の解かいき方かたとしても大だい活躍かつやく。解とき方かたは 3 通とおりあり、 状況じょうきょうに応おうじて使つかい分わける力が問とわれます。

ゴール:

因数分解いんすうぶんかいで解とける方程式ほうていしきは因数分解いんすうぶんかいで解とける
$(x - p)^{2} = q$ の形かたち (平方根へいほうこんを使つかう) で解とける
平方完成へいほうかんせいでどんな方程式ほうていしきも上うえの形かたちに変形へんけいできる
解の公式かいのこうしき $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ を暗記あんきし即そく使つかえる
文章ぶんしょう題だいから自分じぶんで二に次じ方程式ほうていしきを立たて、答えこたえに「適てきするもの」を選えらべる

1. 二に次じ方程式ほうていしきとは

「 $x$ の 2 次つぎの等式とうしき」を 二に次じ方程式ほうていしき といいます。一般いっぱん形がたは

$a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$

例: $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 、 $2 x^{2} = 8$ 、 $(x + 1) (x - 3) = 0$ 。

二に次じ方程式ほうていしきを成なり立たせる $x$ の値ねを解といい、解かいを求もとめることを「方程式ほうていしきを 解とく」といいます。二に次じ方程式ほうていしきの解かいは一般いっぱんに 2 つ ある (重じゅう解かい 1 つ、解かいなしの場合ばあいもあり)。

2. 解とき方かた 1 — 因数いんすう分解ぶんかいを利用りよう

「2 数かずの積せきが 0 なら、少すくなくとも一方いっぽうが 0」という性質せいしつを使つかいます。

$A B = 0 ⟹ A = 0 または B = 0$

例題れいだい 1: $(x - 2) (x + 5) = 0$ を解とけ。

「 $x - 2 = 0$ または $x + 5 = 0$ 」より、

$x = 2, - 5$

例題れいだい 2: $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ を解とけ。

左辺さへんを因数いんすう分解ぶんかい。足たして -7、かけて 10 → (-2, -5)。

$(x - 2) (x - 5) = 0 ⟹ x = 2, 5$

例題れいだい 3: $x^{2} + 6 x = 0$ を解とけ。

共通因数きょうつういんすう $x$ をくくる。

$x (x + 6) = 0 ⟹ x = 0, - 6$

例題れいだい 4: $x^{2} = 16$ を解とけ。

移項こうして $x^{2} - 16 = 0$ 、公式こうしきで $(x + 4) (x - 4) = 0$ 。

$x = \pm 4$

ポイント:因数いんすう分解ぶんかいで解とける形かたちが出でたら即そく使つかうのが最速さいそく。入試にゅうしの多おおくは 因数いんすう分解ぶんかいで終おわる。

3. 解とき方かた 2 — 平方根へいほうこんを使つかう

$x^{2} = a$ や $(x - p)^{2} = q$ の形かたちなら、平方根へいほうこんを使つかいます。

$x^{2} = a ⟹ x = \pm \sqrt{a}, (x - p)^{2} = q ⟹ x - p = \pm \sqrt{q}$

例題れいだい 5: $x^{2} = 7$ を解とけ。

$x = \pm \sqrt{7}$

例題れいだい 6: $(x - 3)^{2} = 5$ を解とけ。

$x - 3 = \pm \sqrt{5} ⟹ x = 3 \pm \sqrt{5}$

例題れいだい 7: $2 (x + 1)^{2} = 18$ を解とけ。

両辺りょうへんを 2 で割わって $(x + 1)^{2} = 9$ 。 $x + 1 = \pm 3$ より、

$x = 2, - 4$

4. 解とき方かた 3 — 平方へいほう完成かんせい

「(x - p)^2 = q」の形かたちに 無理むりやり変形へんけい する操作そうさが 平方完成へいほうかんせい です。

例題れいだい 8: $x^{2} + 6 x - 1 = 0$ を平方完成へいほうかんせいで解とけ。

定数ていすうを移項いこうして、

$x^{2} + 6 x = 1$

「 $x$ の係数けいすうの半分はんぶん ( $\frac{6}{2} = 3$ ) の 2 乗 ( $3^{2} = 9$ )」を両辺りょうへんにたす。

$x^{2} + 6 x + 9 = 1 + 9 ⟹ (x + 3)^{2} = 10$

平方根へいほうこんで、

$x + 3 = \pm \sqrt{10} ⟹ x = - 3 \pm \sqrt{10}$

コツ:平方へいほう完成かんせいは「 $x$ の係数けいすうの半分はんぶんを 2 乗じょうして両辺りょうへんにたす」の 1 行くだりを唱となえる。これが解かいの公式こうしきの導出どうしゅつのもとになります。

5. 解とき方かた 4 — 解かいの公式こうしき (一般いっぱん形がた)

平方へいほう完成かんせいを一般いっぱんの $a x^{2} + b x + c = 0$ に適用てきようすると、

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

これが有名ゆうめいな 解の公式かいのこうしき。中学ちゅうがくでの必暗記あんき公式こうしきです。

公式こうしきの使つかい方かた

例題れいだい 9: $2 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ を解かいの公式こうしきで解とけ。

$a = 2, b = 3, c = - 1$ を代入だいにゅう。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 1)}}{2 \cdot 2} = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{- 3 \pm \sqrt{17}}{4}$

例題れいだい 10: $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ を解とけ。

$a = 1, b = - 4, c = 1$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

注意ちゅうい: $b$ を代入だいにゅうするとき、元もとの符号ふごうを含ふくめて代入だいにゅうする ( $- (- 4) = 4$ )。 $\sqrt{}$ の中なかは $b^{2} - 4 a c$ (判別式はんべつしきという)。

判別はんべつ式しきで解かいの個数こすうがわかる

$D = b^{2} - 4 a c$ と置おくと、

$D$ の符号ふごう	解かいの様子ようす
$D > 0$	異ことなる 2 つの実数解じっすうかい
$D = 0$	重解 (解かいが 1 つ)
$D < 0$	解なし (中学ちゅうがく範囲はんい)

例題れいだい 11: $x^{2} - 6 x + 9 = 0$ を解とけ。

$D = 36 - 36 = 0$ なので重じゅう解かい。因数いんすう分解ぶんかいで $(x - 3)^{2} = 0$ より $x = 3$ (重じゅう解かい)。

6. 解とき方かたの使つかい分わけフロー

入試にゅうしでの攻略こうりゃく順じゅん (上じょうから試ためす):

「因数いんすう分解ぶんかい できそうか?」 → $(x + a) (x + b)$ や 2 乗の公式こうしきが見みえるなら即そく使つかう
「 $(x - p)^{2} = q$ の形かたちか?」 → 平方根へいほうこんで一いち発はつ
「数値すうちがきれいじゃない / 因数いんすう分解ぶんかい不能ふのう」 → 解の公式こうしき

ポイント:因数いんすう分解ぶんかいが一番いちばん速はやいので必かならず最初さいしょに検討けんとうする。解かいの公式こうしきは 「最後さいごの手段しゅだん」 として持もっておく。

7. 入試にゅうし頻出ひんしゅつの文章ぶんしょう題だい

二に次じ方程式ほうていしきの文章ぶんしょう題だいでの鉄則てっそくは:

(A) $x$ を何なんと置おくか を明示めいじ (B) 等式とうしきを立たてる ( $x$ の二に次じ式しき = ある値ね、等とう) (C) 解をすべて出だす (D) 問題もんだいの条件じょうけんに合あう解かいを選えらぶ (たとえば「人数にんずう」「長ながさ」は正せい)

(1) 数かずの問題もんだい

例題れいだい 12: 連続れんぞくする 2 つの整数せいすうがある。それらの積せきが 156 となるとき、 2 つの整数せいすうを求もとめよ。

小ちいさい方ほうを $x$ 、大おおきい方ほうを $x + 1$ と置おく。

$x (x + 1) = 156 ⟹ x^{2} + x - 156 = 0$

足たして 1、かけて -156 → (13, -12)。 $(x + 13) (x - 12) = 0$ より $x = - 13$ または $x = 12$ 。

整数せいすうのペアは $(12, 13)$ と $(- 13, - 12)$ の 2 組。

(2) 図形ずけい (面積めんせき) の問題もんだい

例題れいだい 13: 縦 $x$ cm、横 $(x + 3)$ cm の長方形ちょうほうけいの面積めんせきが 40 cm $^{2}$ であるとき、 $x$ を求もとめよ。

$x (x + 3) = 40 ⟹ x^{2} + 3 x - 40 = 0 ⟹ (x + 8) (x - 5) = 0$

$x > 0$ なので $x = 5$ (cm)。

ポイント: $x = - 8$ は「長ながさが負まけになる」ため不適ふてきと判断はんだんし、答えこたえから除外じょがいする。

(3) 動どう点てんの問題もんだい

例題れいだい 14: 1 辺あたり 12 cm の正方形せいほうけい ABCD の辺あたり AB 上うえを点てん P が、辺あたり AD 上うえを点てん Q がそれぞれ秒速びょうそく 1 cm で出発しゅっぱつ。出発しゅっぱつから $x$ 秒びょう後ごに三角形さんかくけい APQ の面積めんせきが 18 cm $^{2}$ になるのはいつか。

$A P = A Q = x$ cm。三角形さんかくけいの面積めんせきは

$\frac{1}{2} \cdot x \cdot x = \frac{x^{2}}{2} = 18 ⟹ x^{2} = 36 ⟹ x = 6 (> 0)$

6 秒びょう後ごと答こたえる。

(4) 速はやさ・道のりみちのりの問題もんだい

例題れいだい 15: ある数かずの 2 乗じょうから、その数かずを引ひくと 30 になる。元もとの数かずを求もとめよ。

$x^{2} - x = 30 ⟹ x^{2} - x - 30 = 0 ⟹ (x - 6) (x + 5) = 0$

$x = 6, - 5$ の 2 つとも答えこたえ。 (「正せいの整数せいすう」等とうの条件じょうけんがなければ両方りょうほうが解かい)

8. 章しょう末まつ演習えんしゅう (入試にゅうし形式けいしき)

(1) $x^{2} - 9 x + 14 = 0$ を解とけ。 (2) $(x + 4)^{2} = 12$ を解とけ。 (3) $3 x^{2} + 5 x - 2 = 0$ を解とけ。 (4) $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ を解かいの公式こうしきで解とけ。 (5) 縦たてが横よこより 4 cm 短みじかい長方形ちょうほうけいの面積めんせきが 60 cm $^{2}$ のとき、縦たてと横よこを求もとめよ。

略解りゃっかい: (1) $(x - 2) (x - 7) = 0 \Rightarrow x = 2, 7$ (2) $x + 4 = \pm 2 \sqrt{3} \Rightarrow x = - 4 \pm 2 \sqrt{3}$ (3) たすき掛けたすきがけ or 公式こうしき。 $(3 x - 1) (x + 2) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}, - 2$ (4) $x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$ (5) 横よこを $x$ と置おく。 $x (x - 4) = 60 \Rightarrow x^{2} - 4 x - 60 = 0 \Rightarrow (x - 10) (x + 6) = 0$ 。 $x > 4$ なので $x = 10$ 、縦たて = 6 cm、横よこ = 10 cm

章のまとめ:二に次じ方程式ほうていしきの解とき方かたは 「因数いんすう分解ぶんかい → 平方根へいほうこん → 解かいの公式こうしき」 の順じゅんで試ためす。文章ぶんしょう題だいは「答えこたえに適てきするものを選えらぶ」の一手いってを忘わすれない。

まとめ — 二に次じ方程式ほうていしきを 3 行くだりで

二に次じ方程式ほうていしき $a x^{2} + b x + c = 0$ の解法かいほうは「因数いんすう分解ぶんかい → 平方へいほう完成かんせい (平方根へいほうこん) → 解の公式かいのこうしき」の順じゅんで試ためすのが効率こうりつ的てきである
解かいの公式こうしき $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ は判別式はんべつしき $D = b^{2} - 4 a c$ の符号ふごうで解かいの個数こすう (2 個こ・重解じゅうかい・なし) が決きまる
文章題ぶんしょうだいでは未知数みちすうを $x$ と置おいて方程式ほうていしきを立たて、解といた後のち「正せいの値ね」「整数せいすう」など問題もんだいの条件じょうけんに適合てきごうする解かいを選えらぶ一手いってを忘わすれない