テイラー展開（ているーてんかい）とは｜意味・使い方・読み方解説

高校数学

テイラー展開てんかいとは、なめらかな関数かんすうを $x$ のべき級数きゅうすう（ $\sum a_{n} (x - a)^{n}$ の形かたちの無限むげん和わ）で表あらわすことです。複雑ふくざつな関数かんすうを多項式たこうしきの和わで近似きんじでき、 $a = 0$ のときは特とくにマクローリン展開てんかいと呼よばれます。（発展はってん）

関数かんすう	テイラー（マクローリン）展開てんかい
$e^{x}$	$1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots$
$\sin x$	$x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots$
$\cos x$	$1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots$

数学すうがく C では、オイラーの公式おいらーのこうしき $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ を導みちびくときに登場とうじょうします。 $e^{x}$ の展開てんかいの $x$ を $i θ$ に置おき換かえると、実み部ぶに $\cos θ$ 、虚うろ部ぶに $\sin θ$ の展開てんかいが現あらわれ、両者りょうしゃが自然しぜんに結むすびつきます。

ポイント テイラー展開てんかいは「関数かんすうを多項式たこうしきの無限むげん和わで表あらわす」道具どうぐ。指数しすう関数かんすう・三角さんかく関数かんすうを同おなじ土俵どひょうに乗のせ、オイラーの公式こうしきをつなぐ橋渡はしわたしになる。

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関数かんすう	テイラー（マクローリン）展開てんかい
$e^{x}$	$1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots$
$\sin x$	$x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots$
$\cos x$	$1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots$

ポイント テイラー展開てんかいは「関数かんすうを多項式たこうしきの無限むげん和わで表あらわす」道具どうぐ。指数しすう関数かんすう・三角さんかく関数かんすうを同おなじ土俵どひょうに乗のせ、オイラーの公式こうしきをつなぐ橋渡はしわたしになる。

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