関数かんすう の 極限きょくげん一いち問もん一いち答とう

この一問一答で出る問題

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1. $\displaystyle \lim_{x \to 2} (x^3 - 4x + 1)$ の 値あたい は。
   • ・$0$
   • ・$5$
   • ・代入にゅう で き な い
   • ・$1$
2. $\displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ の 値あたい は。
   • ・$0$
   • ・$2$
   • ・$1$
   • ・存在ざい し な い
3. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$ の 値あたい は。
   • ・$0$
   • ・$\dfrac{1}{2}$
   • ・$1$
   • ・$2$
4. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2 - x + 5}{2x^2 + x - 1}$ の 値あたい は。
   • ・$0$
   • ・$+\infty$
   • ・$\dfrac{2}{3}$
   • ・$\dfrac{3}{2}$
5. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}$ について正ただしいものは。
   • ・右極限みぎきょくげん と 左極限ひだりきょくげん が 異 な る た め 存在ざい し な い
   • ・$1$ に 収束しゅうそく す る
   • ・$-1$ に 収束しゅうそく す る
   • ・$0$ に 収束しゅうそく す る
6. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$ の 値あたい は ($x$ は ラジアンらじあん)。
   • ・$0$
   • ・$1$
   • ・$\dfrac{\pi}{180}$
   • ・$+\infty$
7. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x}{\sin 5x}$ の 値あたい は。
   • ・$\dfrac{3}{5}$
   • ・$1$
   • ・$\dfrac{5}{3}$
   • ・$0$
8. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x^2}$ の 値あたい は。
   • ・$\dfrac{1}{2}$
   • ・$0$
   • ・$1$
   • ・$2$
9. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x}$ の 値あたい は。
   • ・$0$
   • ・$+\infty$
   • ・$1$
   • ・存在ざい し な い
10. 自然しぜん対たい数すう の 底$e$ の 定てい義ぎ として正ただしいものは。
    • ・$e = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n}$
    • ・$e = \pi$
    • ・$e = 10$ (常用対数じょうようたいすう の 底)
    • ・$e = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n$
11. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x}$ の 値あたい は。
    • ・$0$
    • ・$1$
    • ・$e$
    • ・$+\infty$
12. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\log(1 + x)}{x}$ の 値あたい は。
    • ・$1$
    • ・$0$
    • ・$e$
    • ・$\dfrac{1}{e}$
13. $\displaystyle \lim_{x \to 1+0} \dfrac{1}{x - 1}$ と $\displaystyle \lim_{x \to 1-0} \dfrac{1}{x - 1}$ の値あたいの組み合わせくみあわせは。
    • ・$+\infty$ と $+\infty$
    • ・$+\infty$ と $-\infty$
    • ・$-\infty$ と $+\infty$
    • ・ど ち ら も $0$
14. $f(x) = \begin{cases} x + 1 & (x \le 0) \\ x^2 & (x > 0) \end{cases}$ が $x = 0$ で 連続れんぞく か。
    • ・不連れん続ぞく ($f(0) = 1$ だ が $\displaystyle \lim_{x \to 0+0} f(x) = 0$)
    • ・連続れんぞく (両 側がわ と も $1$)
    • ・連続れんぞく (両 側がわ と も $0$)
    • ・$f(0)$ が 定義ぎ さ れ て い な い の で 不連れん続ぞく
15. $f(x) = x^3 - x - 1$ が区く間かん $[1, 2]$ で実数じっすう解かいをもつことを保ほ証しょう する定理ていりは。
    • ・中間値の定理ちゅうかんちのていり
    • ・平均値の定理へいきんちのていり
    • ・はさみうちの原理はさみうちのげんり
    • ・ロルの定理ロルのていり
16. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sin x}{x}$ の 値あたい は。
    • ・$0$
    • ・$1$
    • ・振動しんどう し て 存在ざい し な い
    • ・$+\infty$
17. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + x} - x)$ の 値あたい は。
    • ・$0$
    • ・$\dfrac{1}{2}$
    • ・$1$
    • ・$+\infty$
18. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x - x}{x^3}$ の 値あたい は (発はっ展てん)。
    • ・$0$
    • ・$-\dfrac{1}{6}$
    • ・$\dfrac{1}{6}$
    • ・$1$
19. 連続れんぞく な関かん数すう の例れいとして 誤あやまっている ものは。
    • ・$\dfrac{1}{x}$ (全 実 数)
    • ・多項式たこうしき $x^3 + 2x + 1$ (全 実 数)
    • ・$\sin x$ (全 実 数)
    • ・$e^x$ (全 実 数)
20. $\cos x = x$ が区く間かん $\left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ に実数じっすう解かいをもつことを示しめすとき用もちいる関かん数すう $g(x)$ として適切てきせつなものは。
    • ・$g(x) = \cos x + x$
    • ・$g(x) = \cos x \cdot x$
    • ・$g(x) = \cos x / x$
    • ・$g(x) = \cos x - x$