ド・モアブル の 定理ていり (n 乗じょう根ね)

この章しょうで学まなぶこと

数学すうがく C 最終さいしゅう章しょうは、 極形式きょくけいしき の真価しんかが発揮はっきされる ド・モアブルの定理どもあぶるのていり です。 「複ふく素そ数すうの $n$乗」 が 角かくを $n$倍ばいするだけ で計けい算さん でき、 「$n$乗の根ね」 は 正$n$角形けい の頂ちょう点てん として視覚しかく化かできます。

• ド・モアブルの定理どもあぶるのていり $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$
• 複ふく素そ数すうの $n$乗の高速こうそく計けい算さん
• 1 の n 乗根いちのえぬじょうこん と正$n$角形けい
• 任にん意い の複ふく素そ数すうの $n$乗の根ね
• オイラーの公式おいらーのこうしき との関係かんけい (大学だいがくへの橋渡わた し)

大事だいじ: ド・モアブルの定理どもあぶるのていり は 「極形式きょくけいしき の全すべてが集しゅう約やく された公式こうしき」 で、 大学だいがく数学すうがく・物理ぶつりで何なん度ども使つかいます。 「複ふく素そ数すうの乗法じょうほう = 偏へん角かくの足たし算ざん」 を $n$回かい繰くり返かえすと 「$n$倍」 という、 当あたり前まえの観察かんさつから導みちびかれます。

1. ド ・ モアブルの定理ていり

定理ていり

任にん意い の整数せいすう$n$ と実数じっすう$\theta$ に対たいして

$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$

証明しょうめいの概要がいよう

$n=2$ の場合ばあい: 第だい 9 章しょうの乗法じょうほう公こう式しき より

$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^2=\cos 2\theta +i\sin 2\theta$

$n$ が自然しぜん数すうの場合ばあいは 数学的帰納法すうがくてききのうほう で一いっ般ぱん化できます。 $n$ が負まけの整数せいすうのときは、 商しょうの公こう式しき から同おなじ結論けつろんが出でます ($n=0$ も自じ明めい、 $1=\cos 0+i\sin 0$)。

例題れいだい 1

$(\cos 20°+i\sin 20°{)}^9$ を計けい算さん せよ。

解かい: $\cos 180°+i\sin 180°=-1$。

例題れいだい 2

$(1+i{)}^8$ を計けい算さん せよ。

解かい: $1+i=\sqrt{2}(\cos 45°+i\sin 45°)$。 ド・モアブル より

$(1+i{)}^8=(\sqrt{2}{)}^8(\cos 360°+i\sin 360°)=16\cdot 1=16$

直ちょっ交こう形のまま $(1+i{)}^8$ を展開てんかいすると大変たいへんですが、 極形式きょくけいしき なら一行いっこうで終おわります。

2. ド ・ モアブルを使つかった三角さんかく関数かんすうの公式こうしき

倍角ばいかく公式こうしきを一気いっきに出だす

ド・モアブル $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^2=\cos 2\theta +i\sin 2\theta$ の左辺さへんを展開てんかい:

${\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta +2i\sin \theta \cos \theta =\cos 2\theta +i\sin 2\theta$

実み部ぶ・虚うろ部ぶを比較ひかくして

$\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta ,\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

数学すうがく II の倍角ばいかく公こう式しき が自し然ぜん に出でます。

3 倍角ばいかく

$n=3$ で同おなじことをすると

$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$

$\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$

(実み部ぶ・虚うろ部ぶ比較ひかくと ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ で整理せいり)

例題れいだい 3

$\cos 4\theta$ を $\cos \theta$ の多項たこう式しき で表あらわせ。

方針ほうしん: $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^4$ を二に項こう定理ていりで展開てんかいし実み部ぶを取とる。 結果けっか:

$\cos 4\theta =8{\cos }^4\theta -8{\cos }^2\theta +1$

3. 1 の n 乗じょう根ね

定義ていぎと公式こうしき

方程てい式$z^n=1$ の解かいを 1 の n 乗根いちのえぬじょうこん と呼よびます。 極形式きょくけいしき $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ で

$z^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )=1=\cos 0+i\sin 0$

両辺りょうへん比較ひかくで $r^n=1$ より $r=1$、 $n\theta =2\pi k$ ($k\in Z$) より $\theta =\frac{2\pi k}{n}$。

$z_k=\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}(k=0,1,\dots ,n-1)$

幾何きか的てき意味いみ

1 の n 乗根いちのえぬじょうこん は、 単位たんい円上えんじょうを $n$等分とうぶん した点てん = 正$n$角形けい の頂ちょう点てん です。 1 つは必かならず $z_0=1$。

例題れいだい 4

$z^3=1$ の解かいを求もとめよ。

解かい: 公こう式しき より

$k$	$z_k$
0	$1$
1	$\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
2	$\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

3 解かいが単位たんい円上えんじょうで正三しょうさん角かく形がたを作つくります。

例題れいだい 5

$z^4=1$ の解かいを求もとめよ。

解かい: $z_k=\cos \frac{\pi k}{2}+i\sin \frac{\pi k}{2}$ ($k=0,1,2,3$)、 すなわち $1,i,-1,-i$。 単位たんい円上えんじょうで正方形せいほうけいの頂ちょう点てん。

4. 一般いっぱんの複素数ふくそすうの n 乗じょう根ね

公式こうしき

$z^n=w$ ($w=\rho (\cos \varphi +i\sin \varphi )$、 $\rho >0$) の解かいは

$z_k={\rho }^{1/n}(\cos \frac{\varphi +2\pi k}{n}+i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n})(k=0,1,\dots ,n-1)$

ちょうど $n$個の解かいが、 半はん径けい ${\rho }^{1/n}$ の円上えんじょうに等間隔とうかんかくに並ならびます。

例題れいだい 6

$z^3=-8i$ の解かいを求もとめよ。

解かい: $-8i=8(\cos (-\pi /2)+i\sin (-\pi /2\left)\right)$。 $\rho =8$, $\varphi =-\pi /2$, $n=3$ で

$z_k=2(\cos \frac{-\pi /2+2\pi k}{3}+i\sin \frac{-\pi /2+2\pi k}{3})(k=0,1,2)$

各$k$ で:

$k$	角かく	$z_k$
0	$-\pi /6$	$2(\cos (-\pi /6)+i\sin (-\pi /6\left)\right)=\sqrt{3}-i$
1	$\pi /2$	$2(0+i)=2i$
2	$7\pi /6$	$2(\cos (7\pi /6)+i\sin (7\pi /6\left)\right)=-\sqrt{3}-i$

3 解かいが半はん径けい 2 の円上えんじょうで正三しょうさん角かく形がたを作つくります。

5. 1 の n 乗じょう根ねの性質せいしつ

1 の原始げんし n 乗じょう根

$z=\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$ (1 の原始 n 乗根いちのげんしえぬじょうこん) を $\omega$ と書かくと、 1 の n 乗根いちのえぬじょうこん は $1,\omega ,{\omega }^2,\dots ,{\omega }^{n-1}$。

和わの公式こうしき

$z\ne 1$ のとき、 等比とうひ数列すうれつの和かず公こう式しき より

$1+\omega +{\omega }^2+\cdots +{\omega }^{n-1}=\frac{{\omega }^n-1}{\omega -1}=0$

つまり 1 の n 乗根いちのえぬじょうこん の総和そうわは 0 ($n\ge 2$)。 単位たんい円上えんじょうで等間隔とうかんかくなので 「重心じゅうしんが原げん点てん = 0」 という直感ちょっかんと一いっ致ち。

1 の 3 乗じょう根ねの特別とくべつな関係かんけい

$\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ とすると

$1+\omega +{\omega }^2=0,{\omega }^3=1$

これは高校こうこう数学すうがく II 「整せい式しき の計けい算さん」 でよく出でてくる $\omega$ で、 ド・モアブル から自し然ぜん に導みちびかれます。

6. オイラーの公式こうしきとの関係かんけい

大学だいがく数学すうがくへ

ベキ級数きゅうすう (テイラー展開ているーてんかい) を使つかうと

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \left(RUBY16END\right)$オイラーの公式おいらーのこうしき)

が示しめされます。 この視点してんから、 ド・モアブルの定理どもあぶるのていり は単たんに 指し数すう法ほう則そく

$(e^{i\theta }{)}^n=e^{in\theta }$

の言い換えいいかえに過すぎません。 「複ふく素そ数すうと三さん角かく 関数かんすう と指し数すう 関数かんすう が 1 つの言げん語ご」 で結むすばれる、 数学すうがくで最もっとも美うつくしい公式こうしきのひとつです。

神かみの公式こうしき

$\theta =\pi$ を代入だいにゅうすると

$e^{i\pi }+1=0$

数学すうがくで最もっとも重要じゅうような 5 つの数かず ($0,1,\pi ,e,i$) がひとつの等とう式しき に集あつまります。 この 「オイラー の等とう式しき」 こそが、 高校こうこう数学すうがくで学まなんだあらゆる量りょうが 同おなじ世界せかいに住すんでいる ことの究きゅう極きょく の表あらわれです。

7. 応用おうよう — フラクタルと信号しんごう処理しょり

マンデルブロ集合しゅうごう

$c\in C$ に対たいして、 数列すうれつ$z_0=0,z_{n+1}=zn2+c$ が 発散はっさんしない $c$ の集しゅう合ごう を マンデルブロ集合まんでるぶろしゅうごう と呼よびます。 この集しゅう合ごう の境きょう界かい が無限むげんに細こまかい フラクタルふらくたる構造こうぞうを持もち、 ここには ド・モアブル や正せい多角たかく形けい の角度かくどが隠かくれています。

離散りさんフーリエ変換へんかん

1 の n 乗根いちのえぬじょうこん $\omega =e^{2\pi i/n}$ を使つかって表あらわされる 離散フーリエ変換りさんふーりえへんかん (DFT、 FFT) は、 音声おんせい圧あっ縮しゅく (MP3)、 画像がぞう圧あっ縮しゅく (JPEG)、 通信つうしん (4G/5G) など 現代げんだい IT の心しん臓ぞう部 で動うごいています。

8. 数学すうがく C を修おさむえて

高校こうこう数学すうがく全体ぜんたいの締しめくくり

数学すうがく C で学まなんだことは、 一言ひとことで言いえば 「2 次元じげん・3 次元じげんの図形ずけいを数かずで表あらわし、 数かずで操あやつる」 です。

内容ないよう	中心ちゅうしん概念がいねん
Ch1	空間くうかんベクトルべくとる、 行列ぎょうれつ、 1次変換いちじへんかん
Ch2	媒介変数表示ばいかいへんすうひょうじ
Ch3	極座標きょくざひょう、 極方程式きょくほうていしき
Ch4-7	円錐曲線えんすいきょくせん (4 種たねを統とう一いつ言げん語ご で)
Ch8-10	複素数平面ふくそすうへいめん、 極形式きょくけいしき、 ド・モアブルの定理どもあぶるのていり

大学だいがくへの橋渡はしわたし

大学だいがくで学まなぶ科目かもく	数学すうがく C との接続せつぞく
線形代数せんけいだいすう	Ch1 ベクトル・行列ぎょうれつ が直結ちょっけつ
微分積分びぶんせきぶん (多た変数へんすう)	Ch2 媒ばい介かい変へん数すう・Ch3 極ごく座ざ標ひょう
微分幾何びぶんきか	Ch4-7 円えん錐すい曲きょく線せん
複素関数論ふくそかんすうろん	Ch8-10 複素数平面ふくそすうへいめん
フーリエ解析フーリエかいせき	Ch10 1 の n 乗じょう根ね
量子力学りょうしりきがく	全ちょん章しょう (ベクトル・複素数ふくそすう・行列ぎょうれつ)

おつかれさまでした: 数学すうがく C は 「高校こうこう数学すうがくと大学だいがく数学すうがくをつなぐ架かけ橋はし」 です。 この章しょうまで来くれば、 大学だいがくで出会であう 線形代数せんけいだいすう や 複素関数論ふくそかんすうろん の多おおくが 「あ、 高校こうこうで見みたことある」 と感かんじられるはずです。 数学すうがくが現代げんだい社会しゃかい (GPS、 通信つうしん、 画像がぞう処理しょり、 量子りょうし計けい算さん) を支ささえていることを体感たいかんしながら、 さらに学まなびを続つづけてください。

章しょう末まつまとめ

• ド・モアブルの定理どもあぶるのていり: $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$
• $z^n=w$ の解かいは $n$個、 円上えんじょうで等間隔とうかんかく (正$n$角形けい)
• 1 の n 乗根いちのえぬじょうこん の総和そうわは 0 ($n\ge 2$)
• 倍角ばいかく公こう式しき ($\cos 2\theta ,\sin 2\theta ,\cos 3\theta$等) が自動的じどうてきに出でる
• オイラーの公式おいらーのこうしき $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ で大学だいがくへ
• $e^{i\pi }+1=0$ — 数学すうがくの最もっとも美うつくしい等式とうしき