ド・モアブル の 定理ていり (n 乗じょう根ね)

この 章しょう で 学まなぶ こと

数学すうがく C 最終さいしゅう章しょう は、 極形式きょくけいしき の 真価しんか が 発揮はっき さ れ る ド・モアブルの定理ド・モアブルのていり で す。 「複ふく素そ数すう の $n$乗」 が 角かく を $n$倍 す る だ け で 計けい算さん で き、 「$n$乗の根ね」 は 正$n$角形けい の 頂ちょう点てん と し て 視覚しかく化か で き ま す。

• ド・モアブルの定理ド・モアブルのていり $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$
• 複ふく素そ数すう の $n$乗 の 高速こうそく計けい算さん
• 1 の n 乗根1 の n じょうね と 正$n$角形けい
• 任にん意い の 複ふく素そ数すう の $n$乗の根ね
• オイラーの公式オイラーのこうしき と の 関係かんけい (大学だいがく へ の 橋渡わた し)

大事だいじ: ド・モアブルの定理ド・モアブルのていり は 「極形式きょくけいしき の 全ぜん て が 集しゅう約やく さ れ た 公式こうしき」 で、 大学だいがく数学すうがく・物理ぶつり で 何なん度ど も 使し い ま す。 「複ふく素そ数すう の 乗法じょうほう = 偏へん角かく の 足あし し 算さん」 を $n$回かい繰く り 返かえ す と 「$n$倍」 と い う、 当とう た り 前まえ の 観察かんさつ か ら 導しるべ か れ ま す。

1. ド ・ モアブル の 定理ていり

定理ていり

任にん意い の 整数せいすう$n$ と 実数じっすう$\theta$ に 対たい し て

$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$

証明しょうめい の 概要がいよう

$n=2$ の 場合ばあい: 第だい 9 章しょう の 乗法じょうほう公こう式しき よ り

$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^2=\cos 2\theta +i\sin 2\theta$

$n$ が 自然しぜん数すう の 場合ばあい は 数学的帰納法すうがくてききのうほう で 一いっ般ぱん化 で き ま す。 $n$ が 負まけ の 整数せいすう の と き は、 商しょう の 公こう式しき か ら 同どう じ 結論けつろん が 出で ま す ($n=0$ も 自じ明めい、 $1=\cos 0+i\sin 0$)。

例題れいだい 1

$(\cos 20°+i\sin 20°{)}^9$ を 計けい算さん せ よ。

解かい: $\cos 180°+i\sin 180°=-1$。

例題れいだい 2

$(1+i{)}^8$ を 計けい算さん せ よ。

解かい: $1+i=\sqrt{2}(\cos 45°+i\sin 45°)$。 ド・モアブル よ り

$(1+i{)}^8=(\sqrt{2}{)}^8(\cos 360°+i\sin 360°)=16\cdot 1=16$

直ちょっ交こう形 の ま ま $(1+i{)}^8$ を 展開てんかい す る と 大変たいへん で す が、 極形式きょくけいしき な ら 一行いっこう で 終おわり わ り ま す。

2. ド ・ モアブル を 使し った 三角さんかく関数かんすう の 公式こうしき

倍角ばいかく公式こうしき を 一気いっき に 出で す

ド・モアブル$(\cos \theta +i\sin \theta {)}^2=\cos 2\theta +i\sin 2\theta$ の 左辺さへん を 展開てんかい:

${\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta +2i\sin \theta \cos \theta =\cos 2\theta +i\sin 2\theta$

実み部ぶ・虚うろ部ぶ を 比較ひかく し て

$\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta ,\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

数学すうがく II の 倍角ばいかく公こう式しき が 自し然ぜん に 出で ま す。

3 倍角ばいかく

$n=3$ で 同どう じ こ と を す る と

$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$

$\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$

(実み部ぶ・虚うろ部ぶ比較ひかく と ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ で 整理せいり)

例題れいだい 3

$\cos 4\theta$ を $\cos \theta$ の 多項たこう式しき で 表ひょう せ。

方針ほうしん: $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^4$ を 二に項こう定理ていり で 展開てんかい し 実み部ぶ を 取と る。 結果けっか:

$\cos 4\theta =8{\cos }^4\theta -8{\cos }^2\theta +1$

3. 1 の n 乗じょう根ね

定義ていぎ と 公式こうしき

方程てい式$z^n=1$ の 解かい を 1 の n 乗根1 の n じょうね と 呼こ び ま す。 極形式きょくけいしき$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ で

$z^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )=1=\cos 0+i\sin 0$

両辺りょうへん比較ひかく で $r^n=1$ よ り $r=1$、 $n\theta =2\pi k$ ($k\in Z$) よ り $\theta =\frac{2\pi k}{n}$。

$z_k=\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n}(k=0,1,\dots ,n-1)$

幾何きか的てき意味いみ

1 の n 乗根1 の n じょうね は、 単位たんい円上えんじょう を $n$等分とうぶん し た 点てん = 正$n$角形けい の 頂ちょう点てん で す。 1 つ は 必 ず $z_0=1$。

例題れいだい 4

$z^3=1$ の 解かい を 求もとめ め よ。

解かい: 公こう式しき よ り

$k$	$z_k$
0	$1$
1	$\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
2	$\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

3 解かい が 単位たんい円上えんじょう で 正三しょうさん角かく形がた を 作さく り ま す。

例題れいだい 5

$z^4=1$ の 解かい を 求もとめ め よ。

解かい: $z_k=\cos \frac{\pi k}{2}+i\sin \frac{\pi k}{2}$ ($k=0,1,2,3$)、 す な わ ち $1,i,-1,-i$。 単位たんい円上えんじょう で 正方形せいほうけい の 頂ちょう点てん。

4. 一般いっぱん の 複素数ふくそすう の n 乗じょう根ね

公式こうしき

$z^n=w$ ($w=\rho (\cos \varphi +i\sin \varphi )$、 $\rho >0$) の 解かい は

$z_k={\rho }^{1/n}(\cos \frac{\varphi +2\pi k}{n}+i\sin \frac{\varphi +2\pi k}{n})(k=0,1,\dots ,n-1)$

ち ょ う ど $n$個 の 解かい が、 半はん径けい${\rho }^{1/n}$ の 円上えんじょう に 等間隔とうかんかく に 並なみ び ま す。

例題れいだい 6

$z^3=-8i$ の 解かい を 求もとめ め よ。

解かい: $-8i=8(\cos (-\pi /2)+i\sin (-\pi /2\left)\right)$。 $\rho =8$, $\varphi =-\pi /2$, $n=3$ で

$z_k=2(\cos \frac{-\pi /2+2\pi k}{3}+i\sin \frac{-\pi /2+2\pi k}{3})(k=0,1,2)$

各$k$ で:

$k$	角かく	$z_k$
0	$-\pi /6$	$2(\cos (-\pi /6)+i\sin (-\pi /6\left)\right)=\sqrt{3}-i$
1	$\pi /2$	$2(0+i)=2i$
2	$7\pi /6$	$2(\cos (7\pi /6)+i\sin (7\pi /6\left)\right)=-\sqrt{3}-i$

3 解かい が 半はん径けい 2 の 円上えんじょう で 正三しょうさん角かく形がた を 作さく り ま す。

5. 1 の n 乗じょう根ね の 性質せいしつ

1 の 原始げんし n 乗じょう根

$z=\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$ (1 の 原始 n 乗根1 の げんし n じょうね) を $\omega$ と 書しょ く と、 1 の n 乗根1 の n じょうね は $1,\omega ,{\omega }^2,\dots ,{\omega }^{n-1}$。

和わ の 公式こうしき

$z\ne 1$ の と き、 等比とうひ数列すうれつ の 和かず公こう式しき よ り

$1+\omega +{\omega }^2+\cdots +{\omega }^{n-1}=\frac{{\omega }^n-1}{\omega -1}=0$

つ ま り 1 の n 乗根1 の n じょうね の 総和そうわ は 0 ($n\ge 2$)。 単位たんい円上えんじょう で 等間隔とうかんかく な の で 「重心じゅうしん が 原げん点てん = 0」 と い う 直感ちょっかん と 一いっ致ち。

1 の 3 乗じょう根ね の 特別とくべつ な 関係かんけい

$\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ と す る と

$1+\omega +{\omega }^2=0,{\omega }^3=1$

こ れ は 高校こうこう数学すうがく II 「整せい式しき の 計けい算さん」 で よ く 出で て く る $\omega$ で、 ド・モアブル か ら 自し然ぜん に 導しるべ か れ ま す。

6. オイラー の 公式こうしき と の 関係かんけい

大学だいがく数学すうがく へ

ベ キ 級数きゅうすう (テイラー展開テイラーてんかい) を 使し う と

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \left(\right[\left[オイラーの公式\mid オイラーのこうしき\right]\left]\right)$

が 示 さ れ ま す。 こ の 視点してん か ら、 ド・モアブルの定理ド・モアブルのていり は 単たん に 指し数すう法ほう則そく

$(e^{i\theta }{)}^n=e^{in\theta }$

の 言げん い 換 え に 過か ぎ ま せ ん。 「複ふく素そ数すう と 三さん角かく関数かんすう と 指し数すう関数かんすう が 1 つ の 言げん語ご」 で 結むすぶ ば れ る、 数学すうがく で 最さい も 美よし し い 公式こうしき の ひ と つ で す。

神かみ の 公式こうしき

$\theta =\pi$ を 代入だいにゅう す る と

$e^{i\pi }+1=0$

数学すうがく で 最さい も 重要じゅうよう な 5 つ の 数かず ($0,1,\pi ,e,i$) が ひ と つ の 等とう式しき に 集あつまり ま り ま す。 こ の 「オイラー の 等とう式しき」 こ そ が、 高校こうこう数学すうがく で 学がく ん だ あ ら ゆ る 量りょう が 同どう じ 世界せかい に 住じゅう ん で い る こ と の 究きゅう極きょく の 表ひょう れ で す。

7. 応用おうよう — フラクタル と 信号しんごう処理しょり

マンデルブロ 集合しゅうごう

$c\in C$ に 対たい し て、 数列すうれつ$z_0=0,z_{n+1}=zn2+c$ が 発散はっさん し な い $c$ の 集しゅう合ごう を マンデルブロ集合マンデルブロしゅうごう と 呼こ び ま す。 こ の 集しゅう合ごう の 境きょう界かい が 無限むげん に 細ほそ か い フラクタル構造こうぞう を 持じ ち、 こ こ に は ド・モアブル や 正せい多角たかく形けい の 角度かくど が 隠こも れ て い ま す。

離散りさん フーリエ 変換へんかん

1 の n 乗根1 の n じょうね$\omega =e^{2\pi i/n}$ を 使し っ て 表ひょう さ れ る 離散フーリエ変換りさんフーリエへんかん (DFT、 FFT) は、 音声おんせい圧あっ縮しゅく (MP3)、 画像がぞう圧あっ縮しゅく (JPEG)、 通信つうしん (4G/5G) な ど 現代げんだい IT の 心しん臓ぞう部 で 動どう い て い ま す。

8. 数学すうがく C を 修おさむ え て

高校こうこう数学すうがく全体ぜんたい の 締しめ め くくり

数学すうがく C で 学がく ん だ こ と は、 一言ひとこと で 言げん え ば 「2 次元じげん・3 次元じげん の 図形づけい を 数かず で 表ひょう し、 数かず で 操みさお る」 で す。

内容ないよう	中心ちゅうしん概念がいねん
Ch1	空間くうかんベクトル、 [[行列
Ch2	[[媒介変数
Ch3	[[極座標
Ch4-7	[[円錐曲線
Ch8-10	[[複素数平面

大学だいがく へ の 橋渡はしわたし

大学だいがく で 学がく ぶ 科目かもく	数学すうがく C と の 接続せつぞく
[[線形代数	せんけいだいすう]]
[[微分積分	びぶんせきぶん]] (多た変数へんすう)
[[微分幾何	びぶんきか]]
[[複素関数論	ふくそかんすうろん]]
[[フーリエ解析	フーリエかいせき]]
[[量子力学	りょうしりきがく]]

おつ か れ さ ま で し た: 数学すうがく C は 「高校こうこう数学すうがく と 大学だいがく数学すうがく を つ な ぐ 架か け 橋はし」 で す。 こ の 章しょう ま で 来き れ ば、 大学だいがく で 出会であい う 線形代数せんけいだいすう や 複素関数論ふくそかんすうろん の 多おお く が 「あ、 高校こうこう で 見み た こ と あ る」 と 感かん じ ら れ る は ず で す。 数学すうがく が 現代げんだい社会しゃかい (GPS、 通信つうしん、 画像がぞう処理しょり、 量子りょうし計けい算さん) を 支 え て い る こ と を 体感たいかん し な が ら、 さ ら に 学がく び を 続ぞく け て く だ さ い。

章しょう末まつ まとめ

• ド・モアブルの定理ド・モアブルのていり: $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$
• $z^n=w$ の 解かい は $n$個、 円上えんじょう で 等間隔とうかんかく (正$n$角形けい)
• 1 の n 乗根1 の n じょうね の 総和そうわ は 0 ($n\ge 2$)
• 倍角ばいかく公こう式しき ($\cos 2\theta ,\sin 2\theta ,\cos 3\theta$等) が 自動的じどうてき に 出で る
• オイラーの公式オイラーのこうしき$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ で 大学だいがく へ
• $e^{i\pi }+1=0$ — 数学すうがく の 最さい も 美よし し い 等式とうしき