極ごく形式けいしき と 幾何きか へ の 応用おうよう

この 章しょう で 学まなぶ こと

第だい 8 章しょう で 「複ふく素そ数すう の 乗法じょうほう = 回転かいてん + 拡大かくだい」 と 学がく び ま し た。 そ の 計けい算さん上じょう の 道どう具ぐ が 本章ほんしょう の 極形式きょくけいしき で す。 直ちょっ交こう形$a+bi$ で は 隠こも れ て し ま う 「角かく」 と 「大だい き さ」 を 表ひょう に 出で し、 図形づけい問もん題だい が 暗算あんざん級きゅう に 速はや く な り ま す。

• 極形式きょくけいしき$r(\cos \theta +i\sin \theta )$ の 表ひょう し 方かた
• 直ちょっ交こう形 ↔ 極形式きょくけいしき の 変へん換かん
• 回転かいてん公こう式しき と 三さん角かく形がた の 形けい状じょう判別はんべつ
• 中ちゅう心しん が 原げん点てん で な い 回かい転てん・相似そうじ移動いどう
• 図形づけい問もん題だい へ の 応用おうよう例れい題だい

覚さとし え 方かた: 極形式きょくけいしき は 「偏角へんかく と 絶対値ぜったいち を 言げん語ご に し た 表記ひょうき法ほう」。 直ちょっ交こう形$a+bi$ が 「番地ばんち」 な ら、 極形式きょくけいしき$r(\cos \theta +i\sin \theta )$ は 「方角ほうがく と 距きょ離り」。 回転かいてん や 相似そうじ を 扱 う 図形づけい問もん題だい で は、 極形式きょくけいしき が 圧あっ倒とう的 に 速はや い で す。

1. 極ごく形式けいしき の 復習ふくしゅう と 公式こうしき

直交ちょっこう形がた から 極ごく形式けいしき へ

$z=a+bi$ ($z\ne 0$) は

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

の 形かたち に 一いち意い (周期しゅうき を 除じょ く) に 表ひょう せ ま す。 $r=\mid z\mid =\sqrt{a^2+b^2}$、 $\theta =\arg z$。

例題れいだい 1

$z=-1+i$ を 極形式きょくけいしき で。

解かい: $\mid z\mid =\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$。 $z$ は 第だい 2 象限しょうげん ()、 $\tan \theta =-1$ よ り $\theta =3\pi /4$。

$z=\sqrt{2}(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4})$

例題れいだい 2

$z=-2$ を 極形式きょくけいしき で。

解かい: $\mid z\mid =2$, $\arg z=\pi$ ($x$軸 の 負まけ の 方ほう向こう)。 $z=2(\cos \pi +i\sin \pi )$。

2. 乗法じょうほう・除法じょほう の 公式こうしき

公式こうしき

$z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)$, $z_2=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$ ($z_2\ne 0$) に 対たい し

$z_1{z}_2=r_1{r}_2\{\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2\left)\right\}$

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\{\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1-{\theta }_2\left)\right\}$

大事だいじ な 結論けつろん

演えん算ざん	絶ぜっ対たい値ち	偏へん角かく
積つむ	か け 算さん	足あし し 算さん
商しょう	割わり り 算さん	引 き 算さん

例題れいだい 3

$z_1=2(\cos 30°+i\sin 30°)$, $z_2=3(\cos 60°+i\sin 60°)$ の 積つむ と 商しょう を 求もとめ め よ。

解かい:

$z_1{z}_2=6(\cos 90°+i\sin 90°)=6i$

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{2}{3}(\cos (-30°)+i\sin (-30°\left)\right)=\frac{2}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)=\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{3}i$

3. 中心ちゅうしん が 原点げんてん で ない 回転かいてん

公式こうしき

複素数ふくそすう$\alpha$ を 中ちゅう心しん と し て、 $z$ を 角$\theta$ だ け 回転かいてん し た 点$z^{\prime }$ は

$z^{\prime }-\alpha =(\cos \theta +i\sin \theta )(z-\alpha )$

つ ま り 「中ちゅう心しん$\alpha$ を 原げん点てん に 移うつり し て」 (差$z-\alpha$) → 「回転かいてん」 (× $\cos +i\sin$) → 「中ちゅう心しん を 戻もど す」 (+ $\alpha$) の 3 ス テ ッ プ で す。

例題れいだい 4

点$z=4+3i$ を、 中ちゅう心しん$\alpha =1+i$ の 周しゅう り に $90°$回かい転てん せ よ。

解かい: $z-\alpha =3+2i$。 $\cos 90°+i\sin 90°=i$ を か け る:

$i(3+2i)=3i-2=-2+3i$

中ちゅう心しん を 戻もど し て $z^{\prime }=-2+3i+(1+i)=-1+4i$。

4. 相似そうじ を 表あらわす 一般いっぱん公式こうしき

公式こうしき

中ちゅう心しん$\alpha$、 拡大かくだい率りつ$r$、 角$\theta$ の 相似そうじ変へん換かん で 点$z$ が 移うつり る 先さき は

$z^{\prime }=\alpha +r(\cos \theta +i\sin \theta )(z-\alpha )$

特 に $r=1$ で 純じゅん粋すい な 回転かいてん、 $\theta =0$ で 純じゅん粋すい な 拡大かくだい・縮小しゅくしょう。

例題れいだい 5

中ちゅう心しん$0$、 角$60°$、 拡かく大だい率りつ$2$ で $z=1$ が 移うつり る 先さき を 求もとめ め よ。

解かい: $z^{\prime }=2(\cos 60°+i\sin 60°)\cdot 1=1+\sqrt{3}i$。

5. 三角形さんかっけい の 形状けいじょう判別はんべつ

3 点てん が なす 三角形さんかっけい

3 つ の 複素数ふくそすう$\alpha ,\beta ,\gamma$ を 頂ちょう点てん と す る 三さん角かく形がた を 考こう え ま す。 $\alpha$ か ら $\beta$ へ の ベクトル を 「単位たんい」 と し て、 $\alpha$ か ら $\gamma$ へ の ベクトル を 表ひょう す と

$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }=k$

$k$ の 性せい質しつ か ら 三さん角かく形がた の 形けい状じょう が 決けつ ま り ま す。

形状けいじょう表ひょう

$k$ の 値ね	三さん角かく形がた の 形かたち
$k$ が 実数じっすう	3 点てん が 一いち直ちょく線せん上じょう
$k$ が 純じゅん虚数きょすう	$\alpha$ で 直角ちょっかく
$\mid k\mid =1,k\ne \pm 1$	$\alpha$ を 頂ちょう点てん と す る 二に等辺とうへん三さん角かく形がた
$k=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$	正三しょうさん角かく形がた ($\alpha$ で $60°$、 等辺とうへん)

例題れいだい 6

$\alpha =0$, $\beta =1$, $\gamma =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ は ど の よ う な 三さん角かく形がた か。

解かい: $k=(\gamma -\alpha )/(\beta -\alpha )=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$。 表ひょう に 該がい当とう し て 正三しょうさん角かく形がた。

6. 直線ちょくせん・円えん の 方程式ほうていしき

直線ちょくせん

複素数平面ふくそすうへいめん上 で、 異こと な る 2 点$\alpha ,\beta$ を 通つう る 直ちょく線せん上じょう の 点$z$ は

$\frac{z-\alpha }{\beta -\alpha } が 実 数$

を 満みつる た し ま す。

円えん

中ちゅう心しん$\alpha$、 半はん径けい$r$ の 円上えんじょう の 点$z$ は $\mid z-\alpha \mid =r$。 ま た は 同値どうち に

$(z-\alpha )(z-\alpha )‾=r^2$

例題れいだい 7

$\mid z-1\mid =\mid z+i\mid$ は ど の よ う な 図づ形けい か。

解かい: 2 点$1$ と $-i$ か ら 等とう距きょ離り な 点てん、 す な わ ち 2 点てん を 結むすぶ ぶ 線分せんぶん の 垂すい直ちょく二に等分とうぶん線せん。

7. 図形づけい問題もんだい へ の 応用おうよう (実例じつれい)

例題れいだい 8: 正多角形せいたかっけい の 頂点ちょうてん

正$n$角形けい の 頂ちょう点てん は、 中ちゅう心しん か ら の 距きょ離り が 等ひとし し く、 隣となり同士どうし の 角かく が $2\pi /n$。 中ちゅう心しん$0$、 半はん径けい$1$ の 正ただし 6 角形かくがた の 頂ちょう点てん を 求もとめ め よ。

解かい: $z_k=\cos \frac{2\pi k}{6}+i\sin \frac{2\pi k}{6}$ ($k=0,1,\dots ,5$)。

$k$	頂ちょう点てん
0	$1$
1	$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
2	$-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
3	$-1$
4	$-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$
5	$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

(第だい 10 章しょう の $n$乗の根ね と 直結ちょっけつ す る 視点してん で す)

例題れいだい 9: 直角ちょっかく二等辺三角形にとうへんさんかっけい

3 点$\alpha =0$, $\beta =2$, $\gamma =?$ で $\beta$ を 直角ちょっかく と す る 直角ちょっかく二に等辺とうへん三さん角かく形がた に な る $\gamma$ を 1 つ 求もとめ め よ。

解かい: $\beta$ を 中ちゅう心しん に $90°$回転かいてん、 $\alpha$ → $\gamma$。 $\gamma -\beta =i(\alpha -\beta )=i(-2)=-2i$。 $\gamma =2-2i$。

8. 極ごく形式けいしき の 強つよさ — 大学だいがく数学すうがく へ

極形式きょくけいしき は オイラーの公式オイラーのこうしき $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ (テイラー展開テイラーてんかい か ら 導出どうしゅつ、 大学だいがく 1 年ねん) を 使し う と

$z=r{e}^{i\theta }$

と 1 文字もじ で 書しょ け ま す。 こ れ に よ り

演えん算ざん	直ちょっ交こう形	$r{e}^{i\theta }$形
積$z_1{z}_2$	展開てんかい が 必要ひつよう	$r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$
商$z_1/z_2$	共きょう役やく か け 算さん	$\frac{r_1}{r_2}{e}^{i({\theta }_1-{\theta }_2)}$
$n$乗	展開てんかい が 大変たいへん	$r^n{e}^{in\theta }$

「$e$ の 肩かた に 角かく が 乗じょう る」 と い う 直感ちょっかん が、 大学だいがく で の フーリエ解析フーリエかいせき・微分方程式びぶんほうていしき・量子力学りょうしりきがく の 基本きほん言語げんご に な り ま す。

章しょう末まつ まとめ

• 極形式きょくけいしき$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$
• 積つむ = 絶ぜっ対たい値ち か け 算さん + 偏へん角かく足あし し 算さん
• 中ちゅう心しん$\alpha$ の 回転かいてん: $z^{\prime }-\alpha =(\cos \theta +i\sin \theta )(z-\alpha )$
• 三さん角かく形がた の 形けい状じょう = $\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$ で 判定はんてい
• 大学だいがく で は $z=r{e}^{i\theta }$ と 書しょ い て 一行いっこう計けい算さん へ