極形式きょくけいしきと幾何きかへの応用おうよう

この章しょうで学まなぶこと

第だい 8 章しょうで 「複ふく素そ数すうの乗法じょうほう = 回転かいてん + 拡大かくだい」 と学まなびました。 その 計けい算さん上じょうの道どう具ぐ が本章ほんしょうの 極形式きょくけいしき です。 直ちょっ交こう形$a+bi$ では隠かくれてしまう 「角かく」 と 「大おおきさ」 を表ひょうに出だし、 図形ずけい問もん題だいが 暗算あんざん級きゅうに速はやく なります。

• 極形式きょくけいしき $r(\cos \theta +i\sin \theta )$ の表あらわし方かた
• 直ちょっ交こう形 ↔ 極形式きょくけいしきの変へん換かん
• 回転かいてん公こう式しきと三角形さんかくけいの形けい状じょう判別はんべつ
• 中心ちゅうしんが原げん点てんでない回かい転てん・相似そうじ移動いどう
• 図形ずけい問もん題だいへの応用おうよう例れい題だい

覚おぼえ方かた: 極形式きょくけいしきは 「偏角へんかくと絶対値ぜったいちを言げん語ごにした表記ひょうき法ほう」。 直ちょっ交こう形$a+bi$ が 「番地ばんち」 なら、 極形式きょくけいしき $r(\cos \theta +i\sin \theta )$ は 「方角ほうがくと距きょ離り」。 回転かいてんや相似そうじを扱あつかう図形ずけい問もん題だいでは、 極形式きょくけいしきが圧あっ倒とう的に速はやいです。

1. 極形式きょくけいしきの復習ふくしゅうと公式こうしき

直交ちょっこう形がたから極形式きょくけいしきへ

$z=a+bi$ ($z\ne 0$) は

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

の形かたちに一いち意い (周期しゅうきを除のぞく) に表あらわせます。 $r=\mid z\mid =\sqrt{a^2+b^2}$、 $\theta =\arg z$。

例題れいだい 1

$z=-1+i$ を極形式きょくけいしきで。

解かい: $\mid z\mid =\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$。 $z$ は第だい 2 象限しょうげん ()、 $\tan \theta =-1$ より $\theta =3\pi /4$。

$z=\sqrt{2}(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4})$

例題れいだい 2

$z=-2$ を極形式きょくけいしきで。

解かい: $\mid z\mid =2$, $\arg z=\pi$ ($x$軸の負ふの方ほう向こう)。 $z=2(\cos \pi +i\sin \pi )$。

2. 乗法じょうほう・除法じょほうの公式こうしき

公式こうしき

$z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)$, $z_2=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$ ($z_2\ne 0$) に対たいし

$z_1{z}_2=r_1{r}_2\{\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2\left)\right\}$

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\{\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1-{\theta }_2\left)\right\}$

大事だいじな結論けつろん

演えん算ざん	絶ぜっ対たい値あたい	偏へん角かく
積つむ	かけ算ざん	足たし算ざん
商しょう	割わり算ざん	引ひき算ざん

例題れいだい 3

$z_1=2(\cos 30°+i\sin 30°)$, $z_2=3(\cos 60°+i\sin 60°)$ の積せきと商しょうを求もとめよ。

解かい:

$z_1{z}_2=6(\cos 90°+i\sin 90°)=6i$

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{2}{3}(\cos (-30°)+i\sin (-30°\left)\right)=\frac{2}{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)=\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{3}i$

3. 中心ちゅうしんが原点げんてんでない回転かいてん

公式こうしき

複素数ふくそすう $\alpha$ を中心ちゅうしんとして、 $z$ を角$\theta$ だけ回転かいてんした点$z^{\prime }$ は

$z^{\prime }-\alpha =(\cos \theta +i\sin \theta )(z-\alpha )$

つまり 「中心ちゅうしん $\alpha$ を原げん点てんに移うつして」 (差$z-\alpha$) → 「回転かいてん」 (× $\cos +i\sin$) → 「中心ちゅうしんを戻もどす」 (+ $\alpha$) の 3 ステップです。

例題れいだい 4

点$z=4+3i$ を、 中心ちゅうしん $\alpha =1+i$ の周まわりに $90°$回かい転てんせよ。

解かい: $z-\alpha =3+2i$。 $\cos 90°+i\sin 90°=i$ をかける:

$i(3+2i)=3i-2=-2+3i$

中心ちゅうしんを戻もどして $z^{\prime }=-2+3i+(1+i)=-1+4i$。

4. 相似そうじを表あらわす一般いっぱん公式こうしき

公式こうしき

中心ちゅうしん $\alpha$、 拡大かくだい率りつ$r$、 角$\theta$ の 相似変換そうじへんかん で点$z$ が移うつる先さきは

$z^{\prime }=\alpha +r(\cos \theta +i\sin \theta )(z-\alpha )$

特とくに $r=1$ で純じゅん粋すいな回転かいてん、 $\theta =0$ で純じゅん粋すいな拡大かくだい・縮小しゅくしょう。

例題れいだい 5

中心ちゅうしん $0$、 角$60°$、 拡かく大だい率りつ$2$ で $z=1$ が移うつる先さきを求もとめよ。

解かい: $z^{\prime }=2(\cos 60°+i\sin 60°)\cdot 1=1+\sqrt{3}i$。

5. 三角形さんかくけいの形状けいじょう判別はんべつ

3 点てんがなす三角形さんかくけい

3 つの複素数ふくそすう $\alpha ,\beta ,\gamma$ を頂ちょう点てんとする三角形さんかくけいを考えかんがえます。 $\alpha$ から $\beta$ へのベクトルを 「単位たんい」 として、 $\alpha$ から $\gamma$ へのベクトルを表あらわすと

$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }=k$

$k$ の性せい質しつから三角形さんかくけいの 形けい状じょう が決きまります。

形状けいじょう表ひょう

$k$ の値あたい	三角形さんかくけいの形かたち
$k$ が実数じっすう	3 点てんが 一いち直ちょく線せん上じょう
$k$ が純じゅん虚数きょすう	$\alpha$ で 直角ちょっかく
$\mid k\mid =1,k\ne \pm 1$	$\alpha$ を頂ちょう点てんとする 二に等辺とうへん三角形さんかくけい
$k=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$	正三しょうさん角かく形がた ($\alpha$ で $60°$、 等辺とうへん)

例題れいだい 6

$\alpha =0$, $\beta =1$, $\gamma =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ はどのような三角形さんかくけいか。

解かい: $k=(\gamma -\alpha )/(\beta -\alpha )=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$。 表ひょうに該がい当とうして 正三しょうさん角かく形がた。

6. 直線ちょくせん・円えんの方程式ほうていしき

直線ちょくせん

複素数平面ふくそすうへいめん上で、 異ことなる 2 点$\alpha ,\beta$ を通とおる直ちょく線せん上じょうの点$z$ は

$\frac{z-\alpha }{\beta -\alpha } が 実 数$

を満みたします。

円えん

中心ちゅうしん $\alpha$、 半はん径けい $r$ の円上えんじょうの点$z$ は $\mid z-\alpha \mid =r$。 または同値どうちに

$(z-\alpha )(z-\alpha )‾=r^2$

例題れいだい 7

$\mid z-1\mid =\mid z+i\mid$ はどのような図づ形けいか。

解かい: 2 点$1$ と $-i$ から等とう距きょ離りな点てん、 すなわち 2 点てんを結むすぶ線分せんぶんの垂直すいちょく二に等分とうぶん線せん。

7. 図形ずけい問題もんだいへの応用おうよう (実例じつれい)

例題れいだい 8: 正多角形せいたかっけいの頂点ちょうてん

正せい$n$角形けいの頂ちょう点てんは、 中心ちゅうしんからの距きょ離りが等ひとしく、 隣となり同士どうしの角かくが $2\pi /n$。 中心ちゅうしん $0$、 半はん径けい $1$ の正せい 6 角形かくがたの頂ちょう点てんを求もとめよ。

解かい: $z_k=\cos \frac{2\pi k}{6}+i\sin \frac{2\pi k}{6}$ ($k=0,1,\dots ,5$)。

$k$	頂ちょう点てん
0	$1$
1	$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
2	$-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
3	$-1$
4	$-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$
5	$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

(第だい 10 章しょうの $n$乗根じょうこん と直結ちょっけつする視点してんです)

例題れいだい 9: 直角ちょっかく二等辺三角形にとうへんさんかくけい

3 点$\alpha =0$, $\beta =2$, $\gamma =?$ で $\beta$ を直角ちょっかくとする直角ちょっかく二に等辺とうへん三角形さんかくけいになる $\gamma$ を 1 つ求もとめよ。

解かい: $\beta$ を中心ちゅうしんに $90°$回転かいてん、 $\alpha$ → $\gamma$。 $\gamma -\beta =i(\alpha -\beta )=i(-2)=-2i$。 $\gamma =2-2i$。

8. 極形式きょくけいしきの強つよさ — 大学だいがく数学すうがくへ

極形式きょくけいしきは オイラーの公式おいらーのこうしき $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ (テイラー展開テイラーてんかいから導出どうしゅつ、 大学だいがく 1 年ねん) を使つかうと

$z=r{e}^{i\theta }$

と 1 文字もじで書かけます。 これにより

演えん算ざん	直ちょっ交こう形	$r{e}^{i\theta }$形
積$z_1{z}_2$	展開てんかいが必要ひつよう	$r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$
商$z_1/z_2$	共きょう役やくかけ算ざん	$\frac{r_1}{r_2}{e}^{i({\theta }_1-{\theta }_2)}$
$n$乗	展開てんかいが大変たいへん	$r^n{e}^{in\theta }$

「$e$ の肩かたに角かくが乗のる」 という直感ちょっかんが、 大学だいがくでの フーリエ解析フーリエかいせき・微分方程式びぶんほうていしき・量子力学りょうしりきがく の基本きほん言語げんごになります。

章しょう末まつまとめ

• 極形式きょくけいしき $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$
• 積つむ = 絶ぜっ対たい値あたいかけ算ざん + 偏へん角かく足たし算ざん
• 中心ちゅうしん $\alpha$ の回転かいてん: $z^{\prime }-\alpha =(\cos \theta +i\sin \theta )(z-\alpha )$
• 三角形さんかくけいの形けい状じょう = $\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$ で判定はんてい
• 大学だいがくでは $z=r{e}^{i\theta }$ と書かいて一行いっこう計けい算さんへ