ド・モアブル の 定理ていり (n 乗根じょうこん) 一いち問もん一いち答とう

この一問一答で出る問題

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1. ド・モアブルの定理どもあぶるのていり として正ただしいものはどれですか？
   • ・$(\cos\theta+i\sin\theta)^{n} = \cos n\theta + i\sin n\theta$
   • ・$(\cos\theta+i\sin\theta)^{n} = n(\cos\theta+i\sin\theta)$
   • ・$(\cos\theta+i\sin\theta)^{n} = \cos^{n}\theta + i\sin^{n}\theta$
   • ・$(\cos\theta+i\sin\theta)^{n} = (\cos n\theta)(i\sin n\theta)$
2. ド・モアブルの定理どもあぶるのていり の直観ちょっかん的てきな意い味み として最もっとも適切てきせつなものはどれですか？
   • ・「複素そ 数 の 乗 法 = 偏角へんかく の 足 し 算」 を $n$ 回 繰 り 返 す と 「$n$ 倍」
   • ・$n$ 乗 す る と 絶対値ぜったいち が $n$ 倍 に な る
   • ・偏角へんかく が 常 に $0$ に な る
   • ・$n$ 乗 し て も 値 が 変 わ ら な い
3. $(\cos 20° + i\sin 20°)^{9}$ を 計けい算さん せ よ。
   • ・$1$
   • ・$i$
   • ・$\cos 180° + i\sin 20°$
   • ・$-1$
4. $(1 + i)^{8}$ を 計けい算さん せ よ。
   • ・$16$
   • ・$8i$
   • ・$256$
   • ・$0$
5. ド・モアブル $(\cos\theta+i\sin\theta)^{2} = \cos 2\theta + i\sin 2\theta$ の左辺さへんを展開てんかいし実部じつぶを比較ひかくすると何なにが導みちびけますか？
   • ・$\sin\theta + \cos\theta = 1$
   • ・$\cos\theta = -\sin\theta$
   • ・$\cos 2\theta = \cos^{2}\theta - \sin^{2}\theta$ (倍 角 公式しき)
   • ・$\sin 2\theta = \cos\theta\sin\theta$
6. ド・モアブル $n=3$ から導みちびかれる 3 倍角ばいかく $\cos 3\theta$ の公こう式しき はどれですか？
   • ・$\cos 3\theta = 3\cos\theta - 4\sin^{3}\theta$
   • ・$\cos 3\theta = 4\cos^{3}\theta - 3\cos\theta$
   • ・$\cos 3\theta = 3\cos^{2}\theta - 1$
   • ・$\cos 3\theta = 4\sin^{3}\theta - 3\sin\theta$
7. 方程てい式$z^{n} = 1$ の解かいを何なんと呼よぶでしょうか？
   • ・1 の n 乗根1 の n じょうこん
   • ・原始根げんしこん
   • ・1 の n 倍数1 の n ばいすう
   • ・ベキ根ベキこん
8. 1 の n 乗根1 の n じょうこん $z_k$ ($k=0,1,\ldots,n-1$) の 公こう式しき として正ただしいものはどれですか？
   • ・$z_k = \cos\dfrac{\pi k}{n} + i\sin\dfrac{\pi k}{n}$
   • ・$z_k = \cos\dfrac{2\pi k}{n} + i\sin\dfrac{2\pi k}{n}$
   • ・$z_k = k\cos\dfrac{2\pi}{n} + ki\sin\dfrac{2\pi}{n}$
   • ・$z_k = \dfrac{1}{n}(\cos k + i\sin k)$
9. $z^{3} = 1$ の解かいを全すべて求もとめよ。
   • ・$1$ の み
   • ・$1, -1, i$
   • ・$1, i, -i$
   • ・$1,\ -\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i,\ -\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$
10. $z^{4} = 1$ の解かいを全すべて求もとめよ。
    • ・$1, -1$
    • ・$1, i, -1, -i$
    • ・$1, 2, 3, 4$
    • ・$1, \omega, \omega^{2}, \omega^{3}$ ($\omega = e^{i\pi/3}$)
11. 1 の n 乗根1 の n じょうこん を 幾き何か的に 表あらわすとどうなりますか？
    • ・実 軸 上 に 等 間 隔 に 並 ぶ
    • ・単 位 円 を $n$ 等 分 し た 点 = 正 $n$ 角形けい の 頂点てん
    • ・原点てん か ら 半 径 $n$ の 円 上 に 並 ぶ
    • ・漸近線ぜんきんせん 上 に 並 ぶ
12. $z^{n} = w$ ($w = \rho(\cos\phi+i\sin\phi)$、 $\rho>0$) の 解$z_k$ の 公こう式しき はどれですか？
    • ・$z_k = \rho^{n}(\cos n\phi + i\sin n\phi)$
    • ・$z_k = \rho\left(\cos\dfrac{\phi}{n} + i\sin\dfrac{\phi}{n}\right)$
    • ・$z_k = n\rho(\cos\phi + i\sin\phi)$
    • ・$z_k = \rho^{1/n}\left(\cos\dfrac{\phi + 2\pi k}{n} + i\sin\dfrac{\phi + 2\pi k}{n}\right)$
13. $z^{3} = -8i$ の 解かい を 1 つ挙あげよ。
    • ・$-2i$
    • ・$2i$
    • ・$8 - i$
    • ・$\sqrt{3} + i$ (こ れ は $z^{3}=-8i$ の 解 で は な い)
14. 1 の n 乗根1 の n じょうこん $1, \omega, \omega^{2}, \ldots, \omega^{n-1}$ の 総和そうわ ($n\ge 2$) はいくらですか？
    • ・$1$
    • ・$n$
    • ・$0$
    • ・$\omega^{n}$
15. 1 の 3 乗根1 の 3 じょうこん の虚数きょすう解かい$\omega = -\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ について成なり立たつ関係かんけいはどれですか？
    • ・$\omega^{3} = 1,\ 1 + \omega + \omega^{2} = 0$
    • ・$\omega^{2} = 1,\ \omega + \omega^{3} = 0$
    • ・$\omega = \omega^{2}$
    • ・$\omega^{3} = 0$
16. オイラーの公式おいらーのこうしき として正ただしいものはどれですか？
    • ・$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$
    • ・$e^{\theta} = \cos\theta + \sin\theta$
    • ・$e^{i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$
    • ・$e^{i\theta} = \theta + i\theta$
17. オイラーの公式おいらーのこうしき に $\theta = \pi$ を代入だいにゅうして得えられる オイラーの等とう式しき はどれですか？
    • ・$e^{i\pi} + 1 = 0$
    • ・$e^{\pi} + 1 = 0$
    • ・$e^{i\pi} = 1$
    • ・$e^{i\pi} = \pi$
18. ド・モアブルの定理どもあぶるのていり $(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}=\cos n\theta + i\sin n\theta$ は、 オイラーの公式おいらーのこうしき を使つかうと何なにに化かしますか？
    • ・$n$ 次 方程てい 式
    • ・三 角 不 等式しき
    • ・単 な る 指数すう 法則そく $(e^{i\theta})^{n} = e^{in\theta}$
    • ・意味み を 失 う
19. 数列すうれつ$z_0 = 0,\ z_{n+1} = z_n^{2} + c$ が 発散はっさんしない $c\in\mathbb{C}$ の集しゅう合ごう を何なんと呼よぶでしょうか？
    • ・ジュリア集合ジュリアしゅうごう
    • ・マンデルブロ集合マンデルブロしゅうごう
    • ・カントール集合カントールしゅうごう
    • ・シェルピンスキー三角形シェルピンスキーさんかっけい
20. 1 の n 乗根1 の n じょうこん $\omega = e^{2\pi i/n}$ を 使し う 離散フーリエ変換りさんふーりえへんかん (DFT、 FFT) は現代げんだいの何なにで動うごいていますか？
    • ・数 学 の 純粋すい 理論ろん の み (実 用 な し)
    • ・音 声 圧縮しゅく (MP3)、 画 像 圧縮しゅく (JPEG)、 通 信 (4G/5G) な ど 現 代 IT の 心臓ぞう 部
    • ・建築ちく の 設 計
    • ・気象しょう 予 報 の み