オイラーの公式おいらーのこうしき

オイラーの公式こうしきとは、任意にんいの実数じっすう$\theta$ に対たいして $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ が成なり立たつ公式こうしきです。指数しすう関数かんすうと三角さんかく関数かんすうという一見いっけん無関係むかんけいな 2 つを結むすびつける、数学すうがくでも屈指くっしの重要じゅうよう式しきです。（発展はってん）

$\theta$	$e^{i\theta }$	意味いみ
$0$	$1$	単位たんい円上えんじょうの出発しゅっぱつ点てん
$\frac{\pi }{2}$	$i$	$90°$回転かいてん
$\pi$	$-1$	$e^{i\pi }+1=0$

この公式こうしきで極ごく形式けいしきを $z=r{e}^{i\theta }$ と書かき換かえると、ド・モアブルの定理ていり$(e^{i\theta }{)}^n=e^{in\theta }$ が指数しすう法則ほうそくそのものとして自然しぜんに出でてきます。$\theta =\pi$ を代入だいにゅうすると $e^{i\pi }=-1$、すなわち $e^{i\pi }+1=0$。$e,i,\pi ,1,0$ という基本きほん定数ていすうが 1 本ほんの式しきに集つどう、数学すうがく史上しじょうもっとも美うつくしいとされる等式とうしきです。

ポイント 高校こうこうでは名前なまえと式しきに触ふれる程度ていどだが、極ごく形式けいしき・ド・モアブルの定理ていりの背景はいけいとして知しっておくと理解りかいが深ふかまる。