メインコンテンツへスキップ
Studia
用語集

共役複素数きょうやくふくそすう

z=a+biz=a+bi に 対たい し zˉ=a−bi\bar z=a-bi。 複素数ふくそすう平面へいめん で は 実じつ軸じく に 関かんする 対称たいしょう移動いどう。

数学

共役きょうやく複素数ふくそすうとは、z=a+biz=a+bi に対たいして虚うろ部ぶの符号ふごうを反転はんてんさせた zˉ=a−bi\bar z=a-bi です。複素数ふくそすう平面へいめん上じょうでは実じつ軸じくに関かんする線せん対称たいしょう移動いどうになります。

公式こうしき内容ないよう
zzˉ=∣z∣2z\bar z=\lvert z\rvert^2共役きょうやくどうしの積せきは絶対ぜったい値ちの 2 乗じょう
z1±z2‾=zˉ1±zˉ2\overline{z_1\pm z_2}=\bar z_1\pm\bar z_2和わ差さの共役きょうやくは共役きょうやくの和わ差さ
z1z2‾=zˉ1 zˉ2\overline{z_1 z_2}=\bar z_1\,\bar z_2積せきの共役きょうやくは共役きょうやくの積せき

たとえば z=3+4iz=3+4i なら zˉ=3−4i\bar z=3-4i で、zzˉ=9+16=25=∣z∣2z\bar z=9+16=25=\lvert z\rvert^2 です。実数じっすう係数けいすうの多項式たこうしきの虚数きょすう解かいは、必かならず共役きょうやくとセット（a±bia\pm bi）で現あらわれます。

試験しけんでは 複素数ふくそすうの割わり算ざんは分母ぶんぼの共役きょうやくをかけて実数じっすう化かする（分母ぶんぼの有理ゆうり化かと同おなじ要領ようりょう）。zz が実数じっすう ⇔ z=zˉz=\bar z、純じゅん虚数きょすう ⇔ z=−zˉz=-\bar z も頻出ひんしゅつ。