代数学の基本定理（だいすうがくのきほんていり）とは｜意味・使い方・読み方解説

高校こうこう数学すうがく

代数だいすう学がくの基本きほん定理ていりとは、「 $n$ 次（ $n \geq 1$ ）方程式ほうていしきは、複素数ふくそすうの範囲はんいで重複じゅうふくを込こめてちょうど $n$ 個の解かいをもつ」という定理ていりです。ガウスが 1799 年ねんの学位がくい論文ろんぶんで証明しょうめいしました。

方程式ほうていしき	実数じっすう解かい	複素数ふくそすうの範囲はんいでの解かいの個数こすう
$x^{2} - 1 = 0$	$\pm 1$ （2 個こ）	2
$x^{2} + 1 = 0$	なし	2（ $\pm i$ ）
$x^{3} = 1$	$1$ （1 個こ）	3（1 と 1 の 3 乗根じょうこん）

たとえば $x^{2} + 1 = 0$ は実数じっすう解かいをもちませんが、複素数ふくそすうまで広ひろげれば $x = \pm i$ の 2 個この解かいをもちます。この定理ていりがあるから「複素数ふくそすうを導入どうにゅうすれば、すべての多項式たこうしき方程式ほうていしきが解とける」と言いえ、数かずの体系たいけいが複素数ふくそすうで完成かんせいしたとみなせます。

ポイント 「 $n$ 次じ方程式ほうていしきは複素数ふくそすうで必かならず $n$ 個の解かいをもつ（重じゅう解かいは重複じゅうふくして数かぞえる）」が結論けつろん。実数じっすうでは解とけない方程式ほうていしきも複素数ふくそすうなら必かならず解とける、という保証ほしょう。

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方程式ほうていしき	実数じっすう解かい	複素数ふくそすうの範囲はんいでの解かいの個数こすう
$x^{2} - 1 = 0$	$\pm 1$ （2 個こ）	2
$x^{2} + 1 = 0$	なし	2（ $\pm i$ ）
$x^{3} = 1$	$1$ （1 個こ）	3（1 と 1 の 3 乗根じょうこん）

ポイント 「 $n$ 次じ方程式ほうていしきは複素数ふくそすうで必かならず $n$ 個の解かいをもつ（重じゅう解かいは重複じゅうふくして数かぞえる）」が結論けつろん。実数じっすうでは解とけない方程式ほうていしきも複素数ふくそすうなら必かならず解とける、という保証ほしょう。

代数学の基本定理だいすうがくのきほんていり

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