複素数ふくそすう平面へいめん発展はってん (回転かいてん と 拡大かくだい) 一いち問もん一いち答とう

この一問一答で出る問題

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1. 複素数ふくそすう $z = a + bi$ を平へい面めん上じょうの点てんとして表あらわす平へい面めん を何なんと呼よぶでしょうか？
   • ・複素数平面ふくそすうへいめん (ガウス平面ガウスへいめん)
   • ・ユークリッド平面ユークリッドへいめん
   • ・直交座標平面ちょっこうざひょうへいめん
   • ・極平面きょくへいめん
2. 複素数ふくそすう $3 + 2i$ は 複素数平面ふくそすうへいめん上のどの点てんに対たい応おう しますか？
   • ・$(2, 3)$
   • ・$(-3, 2)$
   • ・$(3, -2)$
   • ・$(3, 2)$
3. $z = a + bi$ の 共役複素数きょうやくふくそすう $\bar{z}$ はどれですか？
   • ・$\bar{z} = a + bi$ (同 じ)
   • ・$\bar{z} = -a + bi$
   • ・$\bar{z} = -a - bi$
   • ・$\bar{z} = a - bi$
4. 複素数ふくそすう $z = a + bi$ の 絶対値ぜったいち $\lvert z\rvert$ はどれですか？
   • ・$\lvert z\rvert = a + b$
   • ・$\lvert z\rvert = a^{2}+b^{2}$
   • ・$\lvert z\rvert = \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
   • ・$\lvert z\rvert = \lvert a\rvert + \lvert b\rvert$
5. $z\bar{z}$ の値あたいとして正ただしいものはどれですか？
   • ・$z\bar{z} = z + \bar{z}$
   • ・$z\bar{z} = 0$ (常 に)
   • ・$z\bar{z} = \lvert z\rvert^{2}$
   • ・$z\bar{z} = 2\mathrm{Re}(z)$
6. $z = 1 + \sqrt{3}i$ の 絶対値ぜったいち と 偏角へんかく を求もとめよ。
   • ・$\lvert z\rvert = 2,\ \arg z = \pi/6$
   • ・$\lvert z\rvert = 4,\ \arg z = \pi/3$
   • ・$\lvert z\rvert = 2,\ \arg z = \pi/3$
   • ・$\lvert z\rvert = \sqrt{2},\ \arg z = \pi/4$
7. 複素数平面ふくそすうへいめん上 で 複素数ふくそすう の 足あし し 算さん $z + w$ は 幾き何か的に何なにを意味いみしますか？
   • ・原点てん を 中心しん に 回転かいてん
   • ・拡大かくだい・縮小しゅくしょう
   • ・$w$ だ け 平行移動へいこういどう
   • ・実軸じく 対称しょう
8. 複素数平面ふくそすうへいめん上 で 2 点$z, w$ の 距きょ離り を表あらわす式しきはどれですか？
   • ・$z + w$
   • ・$\lvert z - w\rvert$
   • ・$zw$
   • ・$\lvert z\rvert + \lvert w\rvert$
9. 複素数ふくそすう の 三さん角かく不等ふとう式しき として正ただしいものはどれですか？
   • ・$\lvert z + w\rvert = \lvert z\rvert + \lvert w\rvert$ (常 に)
   • ・$\lvert z + w\rvert \le \lvert z\rvert + \lvert w\rvert$
   • ・$\lvert z + w\rvert \ge \lvert z\rvert + \lvert w\rvert$
   • ・$\lvert z + w\rvert = \lvert z\rvert\lvert w\rvert$
10. 複素数ふくそすう の 乗法じょうほう で起おこることとして正ただしい組み合わせくみあわせはどれですか？
    • ・絶対値ぜったいち = 足 し 算、 偏角へんかく = か け 算
    • ・絶対値ぜったいち = か け 算、 偏角へんかく = 足 し 算
    • ・絶対値ぜったいち = 引 き 算、 偏角へんかく = 割 り 算
    • ・絶対値ぜったいち = か け 算、 偏角へんかく = か け 算
11. 複素数平面ふくそすうへいめん上で $i$ をかける ことは幾き何か的に何なにを意味いみしますか？
    • ・$45°$ 回転かいてん
    • ・$90°$ 回転かいてん
    • ・$180°$ 回転かいてん
    • ・実軸じく 対称しょう
12. $z = 2 + 3i$ を 原げん点てん中心ちゅうしん に $90°$回かい転てん せ よ。
    • ・$-3 + 2i$
    • ・$3 + 2i$
    • ・$3 - 2i$
    • ・$2 - 3i$
13. $\dfrac{1+2i}{3-i}$ を $a+bi$ の形かたちで表あらわせ。
    • ・$\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{5}i$
    • ・$\dfrac{1}{10}+\dfrac{7}{10}i$
    • ・$\dfrac{1}{10}-\dfrac{7}{10}i$
    • ・$3+2i$
14. 複素数平面ふくそすうへいめん上で 「中心ちゅうしん $\alpha$、 半はん径けい $r$ の円えん」 を表あらわす方程てい式はどれですか？
    • ・$z + \alpha = r$
    • ・$\lvert z\rvert + \lvert\alpha\rvert = r$
    • ・$z\bar{\alpha} = r$
    • ・$\lvert z - \alpha\rvert = r$
15. $\lvert z - 2\rvert = 3$ はどのような図づ形けい を表あらわしますか？
    • ・中心しん $(0, 0)$、 半径けい $2$ の 円
    • ・直 線 $x = 2$
    • ・中心しん $(2, 0)$、 半径けい $3$ の 円
    • ・双曲線そうきょくせん
16. $\lvert z - \alpha\rvert = \lvert z - \beta\rvert$ はどういう図づ形けい を表あらわしますか？
    • ・$\alpha, \beta$ を 中心しん と す る 円
    • ・原点てん を 通 る 直 線
    • ・$\alpha, \beta$ を 結 ぶ 線 分 の 垂直ちょく 二 等 分 線
    • ・アポロニウスの円アポロニウスのえん
17. 「$\alpha$ からの距きょ離り と $\beta$ からの距きょ離り の比ひが $k:1$ ($k\neq 1$) の軌き跡せき」 を何なんと呼よぶでしょうか？
    • ・垂直ちょく 二 等 分 線
    • ・アポロニウスの円アポロニウスのえん
    • ・双曲線そうきょくせん
    • ・楕円えん
18. $z = 1 + i$ を 原げん点てん中心ちゅうしん に $60°$回かい転てん し、 さ ら に 2 倍ばい拡かく大だい した点てんを求もとめよ。
    • ・$(1+\sqrt{3}) + (1-\sqrt{3})i$
    • ・$2 + 2i$
    • ・$2(1+i)$
    • ・$(1-\sqrt{3}) + (1+\sqrt{3})i$
19. 次つぎのうち、 複素数ふくそすう が実数じっすうである条件じょうけんとして正ただしいものはどれですか？
    • ・$z = -\bar{z}$
    • ・$z = 0$
    • ・$z\bar{z} = 1$
    • ・$z = \bar{z}$
20. 複素数ふくそすう が 物理ぶつり・工学こうがくで強力きょうりょくな理由りゆうとして最もっとも適切てきせつなものはどれですか？
    • ・計算さん が 必 ず 整 数 に な る か ら
    • ・ベクトル よ り 簡 単 だ か ら
    • ・「向 き と 大 き さ」 を 1 つ の 数 と し て 持 ち、 加 減 乗 除 が 全 部 で き る か ら
    • ・実 数 と 同 じ で 扱 い が 楽 だ か ら