複素数ふくそすう平面へいめん発展はってん (回転かいてんと拡大かくだい)

この章しょうで学まなぶこと

数学すうがく II で学まなんだ 複素数ふくそすう $z=a+bi$ ($i^2=-1$) を、 数学すうがく C では 「平へい面めん上じょうの点てん」 として図づ形けい的に扱あつかいます。 複素数ふくそすうの 足たし算ざん は平行へいこう移動いどう、 かけ算ざん は 回転かいてんと拡大かくだい に対たい応おうし、 これまでの ベクトルべくとる や 1次変換いちじへんかん とはまた違ちがう強力きょうりょくな道どう具ぐになります。

• 複素数ふくそすうを平へい面めん上じょうの点てんとして表あらわす 複素数平面ふくそすうへいめん
• 共役複素数きょうやくふくそすう $zˉ$ の幾き何か的意味み (実じつ軸じく対たい称しょう)
• 複素数ふくそすうの 絶対値ぜったいち $\mid z\mid$ と 偏角へんかく $\arg z$
• 複素数ふくそすうの 加法かほう = 平行へいこう移動いどう、 乗法じょうほう = 回転かいてん + 拡大かくだい
• 三さん角かく不等ふとう式しき $\mid z+w\mid \le \mid z\mid +\mid w\mid$

大事だいじ: 複素数ふくそすうは単たんなる 「$\sqrt{-1}$」 ではなく、 平へい面めん上じょうの点てんを 1 つの数かずとして扱あつかう言げん語ご です。 この視点してんは 電気回路でんきかいろ (交流こうりゅうのフェーザ表示ひょうじ)、 量子力学りょうしりきがく (波動関数はどうかんすう)、 フラクタルふらくたる (マンデルブロ集合しゅうごう) など、 現代げんだい数学すうがく・物理ぶつり・工学こうがくの基き盤ばんとなる道どう具ぐです。

1. 複素数ふくそすう平面へいめん

定義ていぎ

複素数ふくそすう $z=a+bi$ ($a,b\in R$) を、 平へい面めん上じょうの点$(a,b)$ に対たい応おうさせたものを 複素数平面ふくそすうへいめん (ガウス平面がうすへいめん、 アルガン平面アルガンへいめん) と呼よびます。

要よう素そ	対たい応おう
実じつ軸じく ($x$軸)	実数じっすう$a$
虚うろ軸じく ($y$軸)	虚部きょぶ$b$
原げん点てん	$0$
$1$	$(1,0)$
$i$	$(0,1)$

例れい

複素数ふくそすう	平へい面めん上じょうの点てん
$3+2i$	$(3,2)$
$-1+4i$	$(-1,4)$
$-2i$	$(0,-2)$

2. 共役きょうやく複素数ふくそすう

定義ていぎ

$z=a+bi$ の 共役複素数きょうやくふくそすう は

$zˉ=a-bi$

複素数平面ふくそすうへいめんでは 実じつ軸じくに関かんする対たい称しょう移動いどう に相そう当とうします。

性質せいしつ

性せい質しつ	式しき
和わ	$z+w‾=zˉ+wˉ$
積つむ	$zw‾=zˉwˉ$
大おおきさ	$zzˉ=a^2+b^2=\mid z{\mid }^2$
実数じっすう条件じょうけん	$z=zˉ\hspace{0.25em} ⟺\hspace{0.25em} z\in R$
純じゅん虚数きょすう条件じょうけん	$z=-zˉ\hspace{0.25em} ⟺\hspace{0.25em} z$ は純じゅん虚数きょすうまたは $0$

3. 絶対ぜったい値ちと偏へん角かく

絶対ぜったい値ち

複素数ふくそすう $z=a+bi$ の 絶対値ぜったいち は、 原げん点てんからの距きょ離り

$\mid z\mid =\sqrt{a^2+b^2}$

偏へん角かく

$z\ne 0$ のとき、 実じつ軸じくから反はん時計とけい回まわりに測はかった角かくを 偏角へんかく $\arg z=\theta$ と言いいます。

関係かんけい	式しき
直ちょっ交こう形 → 三さん角かく	$a=\mid z\mid \cos \theta , b=\mid z\mid \sin \theta$
三角形さんかくけい → 直ちょっ交こう	$z=\mid z\mid (\cos \theta +i\sin \theta )$

最後さいごの形かたちを 極形式きょくけいしき と呼よび、 第だい 9 章しょうで詳くわしく学まなびます。

例題れいだい 1

$z=1+\sqrt{3}i$ の絶対値ぜったいちと偏角へんかくを求もとめよ。

解かい: $\mid z\mid =\sqrt{1+3}=2$、 $\tan \theta =\sqrt{3}$ で $z$ が第だい 1 象限しょうげんだから $\theta =\pi /3$。

4. 加法かほう = 平行へいこう移動いどう

ベクトルとしての解釈かいしゃく

複素数ふくそすう$z$ を 原げん点てんを始し点てんとするベクトル と見みると、 和$z+w$ はベクトルの和わ (平行四辺形へいこうしへんけいの法ほう則そく) と一いっ致ちします。

演えん算ざん	幾き何か的意味み
$z+w$	$z$ を $w$ だけ 平行へいこう移動いどう
$z-w$	$w$ から $z$ へのベクトル
$\mid z-w\mid$	2 点$z,w$間の 距離きょり

三角さんかく不等式ふとうしき

平面へいめんベクトルと同おなじく

$\mid z+w\mid \le \mid z\mid +\mid w\mid$

(等号とうごうは $z,w$ が同おなじ向むきのとき)

5. 乗法じょうほう = 回転かいてん + 拡大かくだい

1 つの大事だいじな定理ていり

2 つの複素数ふくそすうを極形式きょくけいしき $z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)$, $z_2=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$ で表あらわすと、 積せきは

$z_1{z}_2=r_1{r}_2\{\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2\left)\right\}$

つまり

要よう素そ	結けっ果か
絶対値ぜったいち	かけ算ざん ($r_1\cdot r_2$)
偏角へんかく	足たし算ざん (${\theta }_1+{\theta }_2$)

幾何きか的てき解釈かいしゃく

$z$ に $w=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ をかけると、 $z$ は 角$\theta$ だけ原げん点てんを中心ちゅうしんに回転かいてん し、 さらに $r$倍に拡大かくだい されます。

特とくに、

乗数じょうすう	操そう作さ
$i$	$90°$ 回転かいてん
$-1$	$180°$ 回転かいてん
$-i$	$-90°$ 回転かいてん (時計とけい回まわり $90°$)
$\cos \theta +i\sin \theta$	角$\theta$ 回転かいてん
$r$ (実数じっすう)	$r$倍ばい拡大かくだい

例題れいだい 2

$z=2+3i$ を原げん点てん中心ちゅうしんに $90°$回かい転てんせよ。

解かい: $i$ をかけるだけ。 $iz=i(2+3i)=-3+2i$。

例題れいだい 3

$z=1+i$ を原げん点てん中心ちゅうしんに $60°$回かい転てんし、 さらに 2 倍ばい拡かく大だいせよ。

解かい: 乗じょうずる数かずは $w=2(\cos 60°+i\sin 60°)=1+\sqrt{3}i$。

$wz=(1+\sqrt{3}i)(1+i)=1+i+\sqrt{3}i+\sqrt{3}{i}^2=(1-\sqrt{3})+(1+\sqrt{3})i$

6. 商しょうと共役きょうやく

除法じょほうの偏へん角かく・絶対ぜったい値ち

$\frac{z_1}{z_2}$ ($z_2\ne 0$) では

要よう素そ	結けっ果か
絶対値ぜったいち	$r_1/r_2$
偏角へんかく	${\theta }_1-{\theta }_2$

つまり 「偏角へんかくの引ひき算ざん」 「絶対値ぜったいちの割わり算ざん」。

計算けいさんルール (共役きょうやくを使つかう)

$\frac{z_1}{z_2}$ は分母ぶんぼ・分子ぶんしに $z_2‾$ をかけて、 分母ぶんぼを実数じっすう化かします。

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1{z}_2‾}{z_2{z}_2‾}=\frac{z_1{z}_2‾}{\mid z_2{\mid }^2}$

例題れいだい 4

$\frac{1+2i}{3-i}$ を $a+bi$ の形かたちで表あらわせ。

解かい: 分母ぶんぼ分子ぶんしに $3+i$ をかける:

$\frac{(1+2i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}=\frac{3+i+6i+2i^2}{9+1}=\frac{1+7i}{10}=\frac{1}{10}+\frac{7}{10}i$

7. 図形ずけいとの結むすびつき

円えん・直線ちょくせんを複素数ふくそすうで表あらわす

図づ形けい	複素数ふくそすう表示ひょうじ
中心ちゅうしん $\alpha$、 半はん径けい $r$ の円えん	$\mid z-\alpha \mid =r$
$\alpha ,\beta$ を結むすぶ線分せんぶんの 垂直すいちょく二に等分とうぶん線せん	$\mid z-\alpha \mid =\mid z-\beta \mid$
$\alpha$ からの距きょ離りと $\beta$ からの距きょ離りの比ひが $k:1$ の軌き跡せき	$\mid z-\alpha \mid =k\mid z-\beta \mid$ (アポロニウスの円あぽろにうすのえん)

例題れいだい 5

$\mid z-2\mid =3$ はどのような図づ形けいか。

解かい: 中心ちゅうしん $2$ (= 実じつ軸じく上じょうの点$(2,0)$)、 半はん径けい $3$ の円えん。

8. 複素数ふくそすうの力ちから — なぜ強力きょうりょくか

1 つの数かずで 「向むきと大おおきさ」 を持もつ

実数じっすうやベクトルと比くらべた複素数ふくそすうの強つよみを並ならべます。

道どう具ぐ	向むき	大おおきさ	演えん算ざん
実数じっすう	なし	あり (絶ぜっ対たい値あたい)	加減乗除かげんじょうじょ
平へい面めんベクトルべくとる	あり	あり	加減かげん、 内ない積せき・外がい積せき (積せきはない)
複素数ふくそすう	あり (偏へん角かく)	あり (絶対ぜったい値ち)	加減乗除かげんじょうじょが全部ぜんぶできる

ベクトルに 「かけ算ざん」 を自し然ぜんな形がたで入いれたのが複素数ふくそすう、 と言いえます。

物理ぶつりと工学こうがくでの使つかい方かた

分野ぶんや	複素数ふくそすうの役やく割わり
電気回路でんきかいろ (交流こうりゅう)	電圧でんあつ・電流でんりゅうをフェーザ ($V{e}^{j\omega t}$) で表あらわし、 微び分ぶんを かけ算ざん に化かす
量子力学りょうしりきがく	波動関数はどうかんすう $\psi$ は複素ふくそ値ち、 確率かくりつが $\mid \psi {\mid }^2$
信号処理しんごうしょり	フーリエ変換ふーりえへんかんが複素数ふくそすうを必須ひっすとする
フラクタルふらくたる	マンデルブロ集合しゅうごう$z\to z^2+c$

次じの章しょうへ: 第だい 9 章しょうで 極形式きょくけいしき を集中しゅうちゅう学がく習しゅう、 第だい 10 章しょうで ド・モアブルの定理どもあぶるのていり ($z^n$ の計けい算さん) と $n$乗根じょうこんを学まなびます。

章しょう末まつまとめ

• 複素数平面ふくそすうへいめん: $z=a+bi\leftrightarrow$点$(a,b)$
• 共役きょうやく $zˉ$ = 実じつ軸じく対たい称しょう、 $zzˉ=\mid z{\mid }^2$
• 絶対値ぜったいち $\mid z\mid =\sqrt{a^2+b^2}$、 偏角へんかく $\arg z$
• 加法かほう = 平行へいこう移動いどう、 乗法じょうほう = 回転かいてん + 拡大かくだい
• $i$ をかける = $90°$ 回転かいてん
• 円$\mid z-\alpha \mid =r$、 垂直すいちょく二に等分とうぶん線せん$\mid z-\alpha \mid =\mid z-\beta \mid$