この 章 で 学ぶ こと
数学 II で 学 ん だ 複素数 z=a+bi (i2=−1) を、 数学 C で は 「平面上 の 点」 と し て 図形的 に 扱 い ま す。 複素数 の 足 し 算 は 平行移動、 か け 算 は 回転 と 拡大 に 対応 し、 こ れ ま で の ベクトル や 1次変換 と は ま た 違 う 強力 な 道具 に な り ま す。
- 複素数 を 平面上 の 点 と し て 表 す 複素数平面
- 共役複素数 zˉ の 幾何的意味 (実軸対称)
- 複素数 の 絶対値 ∣z∣ と 偏角 argz
- 複素数 の 加法 = 平行移動、 乗法 = 回転 + 拡大
- 三角不等式∣z+w∣≤∣z∣+∣w∣
大事: 複素数 は 単 な る 「−1」 で は な く、 平面上 の 点 を 1 つ の 数 と し て 扱 う 言語 で す。 こ の 視点 は 電気回路 (交流 の フ ェ ー ザ 表示)、 量子力学 (波動関数)、 フラクタル (マ ン デ ル ブ ロ 集合) な ど、 現代数学・物理・工学 の 基盤 と な る 道具 で す。
1. 複素数平面
定義
複素数z=a+bi (a,b∈R) を、 平面上 の 点(a,b) に 対応 さ せ た も の を 複素数平面 (ガウス平面、 アルガン平面) と 呼 び ま す。
| 要素 | 対応 |
|---|
| 実軸 (x軸) | 実数a |
| 虚軸 (y軸) | 虚部b |
| 原点 | 0 |
| 1 | (1,0) |
| i | (0,1) |
例
| 複素数 | 平面上 の 点 |
|---|
| 3+2i | (3,2) |
| −1+4i | (−1,4) |
| −2i | (0,−2) |
2. 共役複素数
定義
z=a+bi の 共役複素数 は
zˉ=a−bi
複素数平面 で は 実軸 に 関 す る 対称移動 に 相当 し ま す。
性質
| 性質 | 式 |
|---|
| 和 | z+w=zˉ+wˉ |
| 積 | zw=zˉwˉ |
| 大 き さ | zzˉ=a2+b2=∣z∣2 |
| 実数条件 | z=zˉ⟺z∈R |
| 純虚数条件 | z=−zˉ⟺z は 純虚数 ま た は 0 |
3. 絶対値 と 偏角
絶対値
複素数z=a+bi の 絶対値 は、 原点 か ら の 距離
∣z∣=a2+b2
偏角
z=0 の と き、 実軸 か ら 反時計回 り に 測 っ た 角 を 偏角 argz=θ と 言 い ま す。
| 関係 | 式 |
|---|
| 直交形 → 三角 | a=∣z∣cosθ, b=∣z∣sinθ |
| 三角形 → 直交 | z=∣z∣(cosθ+isinθ) |
最後 の 形 を 極形式 と 呼 び、 第 9 章 で 詳 し く 学 び ま す。
例題 1
z=1+3i の 絶対値 と 偏角 を 求 め よ。
解: ∣z∣=1+3=2、 tanθ=3 で z が 第 1 象限 だ か ら θ=π/3。
4. 加法 = 平行移動
ベクトル と し て の 解釈
複素数z を 原点 を 始点 と す る ベクトル と 見 る と、 和z+w は ベクトル の 和 (平行四辺形 の 法則) と 一致 し ま す。
| 演算 | 幾何的意味 |
|---|
| z+w | z を w だ け 平行移動 |
| z−w | w か ら z へ の ベクトル |
| ∣z−w∣ | 2 点z,w間 の **[[距離 |
三角不等式
平面 ベクトル と 同 じ く
∣z+w∣≤∣z∣+∣w∣
(等号 は z,w が 同 じ 向 き の と き)
5. 乗法 = 回転 + 拡大
1 つ の 大事 な 定理
2 つ の 複素数 を 極形式z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2) で 表 す と、 積 は
z1z2=r1r2{cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)}
つ ま り
| 要素 | 結果 |
|---|
| [[絶対値 | ぜったいち]] |
| [[偏角 | へんかく]] |
幾何的解釈
z に w=r(cosθ+isinθ) を か け る と、 z は 角θ だ け 原点 を 中心 に 回転 し、 さ ら に r倍 に 拡大 さ れ ま す。
特 に、
| 乗数 | 操作 |
|---|
| i | 90°[[回転 |
| −1 | 180°[[回転 |
| −i | −90°[[回転 |
| cosθ+isinθ | 角θ[[回転 |
| r (実数) | r倍拡大 |
例題 2
z=2+3i を 原点中心 に 90°回転 せ よ。
解: i を か け る だ け。 iz=i(2+3i)=−3+2i。
例題 3
z=1+i を 原点中心 に 60°回転 し、 さ ら に 2 倍拡大 せ よ。
解: 乗 ず る 数 は w=2(cos60°+isin60°)=1+3i。
wz=(1+3i)(1+i)=1+i+3i+3i2=(1−3)+(1+3)i
6. 商 と 共役
除法 の 偏角・絶対値
z2z1 (z2=0) で は
| 要素 | 結果 |
|---|
| [[絶対値 | ぜったいち]] |
| [[偏角 | へんかく]] |
つ ま り 「偏角 の 引 き 算」 「絶対値 の 割 り 算」。
計算 ルール (共役 を 使 う)
z2z1 は 分母・分子 に z2 を か け て、 分母 を 実数化 し ま す。
z2z1=z2z2z1z2=∣z2∣2z1z2
例題 4
3−i1+2i を a+bi の 形 で 表 せ。
解: 分母分子 に 3+i を か け る:
(3−i)(3+i)(1+2i)(3+i)=9+13+i+6i+2i2=101+7i=101+107i
7. 図形 と の 結 び つき
円・直線 を 複素数 で 表 す
| 図形 | 複素数表示 |
|---|
| 中心α、 半径r の 円 | ∣z−α∣=r |
| α,β を 結 ぶ 線分 の 垂直二等分線 | ∣z−α∣=∣z−β∣ |
| α か ら の 距離 と β か ら の 距離 の 比 が k:1 の 軌跡 | ∣z−α∣=k∣z−β∣ ([[アポロニウスの円 |
例題 5
∣z−2∣=3 は ど の よ う な 図形 か。
解: 中心2 (= 実軸上 の 点(2,0))、 半径3 の 円。
8. 複素数 の 力 — なぜ 強力 か
1 つ の 数 で 「向き と 大きさ」 を 持 つ
実数 や ベクトル と 比 べ た 複素数 の 強 み を 並 べ ま す。
| 道具 | 向 き | 大 き さ | 演算 |
|---|
| 実数 | な し | あ り (絶対値) | 加減乗除 |
| 平面ベクトル | あ り | あ り | 加減、 内積・外積 (積 は ない) |
| **[[複素数 | ふくそすう]]** | あ り (偏角) | あ り (絶対値) |
ベクトル に 「か け 算」 を 自然 な 形 で 入 れ た の が 複素数、 と 言 え ま す。
物理 と 工学 で の 使 い 方
| 分野 | 複素数 の 役割 |
|---|
| [[電気回路 | でんきかいろ]] (交流) |
| [[量子力学 | りょうしりきがく]] |
| [[信号処理 | しんごうしょり]] |
| フラクタル | マ ン デ ル ブ ロ 集合z→z2+c |
次 の 章 へ: 第 9 章 で 極形式 を 集中学習、 第 10 章 で ド・モアブルの定理 (zn の 計算) と n乗根 を 学 び ま す。
章末 まとめ
- 複素数平面: z=a+bi↔点(a,b)
- 共役zˉ = 実軸対称、 zzˉ=∣z∣2
- 絶対値∣z∣=a2+b2、 偏角argz
- 加法 = 平行移動、 乗法 = 回転 + 拡大
- i を か け る = 90°回転
- 円∣z−α∣=r、 垂直二等分線∣z−α∣=∣z−β∣