複素数ふくそすう平面へいめん発展はってん (回転かいてん と 拡大かくだい)

この 章しょう で 学まなぶ こと

数学すうがく II で 学がく ん だ 複素数ふくそすう $z=a+bi$ ($i^2=-1$) を、 数学すうがく C で は 「平へい面めん上じょう の 点てん」 と し て 図づ形けい的 に 扱 い ま す。 複素数ふくそすう の 足あし し 算さん は 平行へいこう移動いどう、 か け 算さん は 回転かいてん と 拡大かくだい に 対たい応おう し、 こ れ ま で の ベクトル や 1次変換1じへんかん と は ま た 違 う 強力きょうりょく な 道どう具ぐ に な り ま す。

• 複素数ふくそすう を 平へい面めん上じょう の 点てん と し て 表ひょう す 複素数平面ふくそすうへいめん
• 共役複素数きょうやくふくそすう $zˉ$ の 幾き何か的意味み (実じつ軸じく対たい称しょう)
• 複素数ふくそすう の 絶対値ぜったいち $\mid z\mid$ と 偏角へんかく $\arg z$
• 複素数ふくそすう の 加法かほう = 平行へいこう移動いどう、 乗法じょうほう = 回転かいてん + 拡大かくだい
• 三さん角かく不等ふとう式しき$\mid z+w\mid \le \mid z\mid +\mid w\mid$

大事だいじ: 複素数ふくそすう は 単たん な る 「$\sqrt{-1}$」 で は な く、 平へい面めん上じょう の 点てん を 1 つ の 数かず と し て 扱 う 言げん語ご で す。 こ の 視点してん は 電気回路でんきかいろ (交流こうりゅう の フ ェ ー ザ 表示ひょうじ)、 量子力学りょうしりきがく (波動関数はどうかんすう)、 フラクタル (マ ン デ ル ブ ロ 集合しゅうごう) な ど、 現代げんだい数学すうがく・物理ぶつり・工学こうがく の 基き盤ばん と な る 道どう具ぐ で す。

1. 複素数ふくそすう平面へいめん

定義ていぎ

複素数ふくそすう$z=a+bi$ ($a,b\in R$) を、 平へい面めん上じょう の 点$(a,b)$ に 対たい応おう さ せ た も の を 複素数平面ふくそすうへいめん (ガウス平面ガウスへいめん、 アルガン平面アルガンへいめん) と 呼こ び ま す。

要よう素そ	対たい応おう
実じつ軸じく ($x$軸)	実数じっすう$a$
虚うろ軸じく ($y$軸)	虚うろ部ぶ$b$
原げん点てん	$0$
$1$	$(1,0)$
$i$	$(0,1)$

例れい

複素数ふくそすう	平へい面めん上じょう の 点てん
$3+2i$	$(3,2)$
$-1+4i$	$(-1,4)$
$-2i$	$(0,-2)$

2. 共役きょうやく複素数ふくそすう

定義ていぎ

$z=a+bi$ の 共役複素数きょうやくふくそすう は

$zˉ=a-bi$

複素数平面ふくそすうへいめん で は 実じつ軸じく に 関せき す る 対たい称しょう移動いどう に 相そう当とう し ま す。

性質せいしつ

性せい質しつ	式しき
和わ	$z+w‾=zˉ+wˉ$
積つむ	$zw‾=zˉwˉ$
大だい き さ	$zzˉ=a^2+b^2=\mid z{\mid }^2$
実数じっすう条件じょうけん	$z=zˉ\hspace{0.25em} ⟺\hspace{0.25em} z\in R$
純じゅん虚数きょすう条件じょうけん	$z=-zˉ\hspace{0.25em} ⟺\hspace{0.25em} z$ は 純じゅん虚数きょすう ま た は $0$

3. 絶対ぜったい値ち と 偏へん角かく

絶対ぜったい値ち

複素数ふくそすう$z=a+bi$ の 絶対値ぜったいち は、 原げん点てん か ら の 距きょ離り

$\mid z\mid =\sqrt{a^2+b^2}$

偏へん角かく

$z\ne 0$ の と き、 実じつ軸じく か ら 反はん時計とけい回かい り に 測はか っ た 角かく を 偏角へんかく $\arg z=\theta$ と 言げん い ま す。

関係かんけい	式しき
直ちょっ交こう形 → 三さん角かく	$a=\mid z\mid \cos \theta , b=\mid z\mid \sin \theta$
三さん角かく形がた → 直ちょっ交こう	$z=\mid z\mid (\cos \theta +i\sin \theta )$

最後さいご の 形かたち を 極形式きょくけいしき と 呼こ び、 第だい 9 章しょう で 詳 し く 学がく び ま す。

例題れいだい 1

$z=1+\sqrt{3}i$ の 絶対値ぜったいち と 偏角へんかく を 求もとめ め よ。

解かい: $\mid z\mid =\sqrt{1+3}=2$、 $\tan \theta =\sqrt{3}$ で $z$ が 第だい 1 象限しょうげん だ か ら $\theta =\pi /3$。

4. 加法かほう = 平行へいこう移動いどう

ベクトル と し て の 解釈かいしゃく

複素数ふくそすう$z$ を 原げん点てん を 始し点てん と す る ベクトル と 見み る と、 和$z+w$ は ベクトル の 和わ (平行四辺形へいこうしへんけい の 法ほう則そく) と 一いっ致ち し ま す。

演えん算ざん	幾き何か的意味み
$z+w$	$z$ を $w$ だ け 平行へいこう移動いどう
$z-w$	$w$ か ら $z$ へ の ベクトル
$\mid z-w\mid$	2 点$z,w$間 の **[[距離

三角さんかく不等式ふとうしき

平面へいめん ベクトル と 同どう じ く

$\mid z+w\mid \le \mid z\mid +\mid w\mid$

(等号とうごう は $z,w$ が 同どう じ 向むこう き の と き)

5. 乗法じょうほう = 回転かいてん + 拡大かくだい

1 つ の 大事だいじ な 定理ていり

2 つ の 複素数ふくそすう を 極形式きょくけいしき$z_1=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)$, $z_2=r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)$ で 表ひょう す と、 積つむ は

$z_1{z}_2=r_1{r}_2\{\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2\left)\right\}$

つ ま り

要よう素そ	結けっ果か
[[絶対値	ぜったいち]]
[[偏角	へんかく]]

幾何きか的てき解釈かいしゃく

$z$ に $w=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ を か け る と、 $z$ は 角$\theta$ だ け 原げん点てん を 中ちゅう心しん に 回転かいてん し、 さ ら に $r$倍 に 拡大かくだい さ れ ま す。

特とく に、

乗数じょうすう	操そう作さ
$i$	$90°$[[回転
$-1$	$180°$[[回転
$-i$	$-90°$[[回転
$\cos \theta +i\sin \theta$	角$\theta$[[回転
$r$ (実数じっすう)	$r$倍ばい拡大かくだい

例題れいだい 2

$z=2+3i$ を 原げん点てん中ちゅう心しん に $90°$回かい転てん せ よ。

解かい: $i$ を か け る だ け。 $iz=i(2+3i)=-3+2i$。

例題れいだい 3

$z=1+i$ を 原げん点てん中ちゅう心しん に $60°$回かい転てん し、 さ ら に 2 倍ばい拡かく大だい せ よ。

解かい: 乗じょう ず る 数かず は $w=2(\cos 60°+i\sin 60°)=1+\sqrt{3}i$。

$wz=(1+\sqrt{3}i)(1+i)=1+i+\sqrt{3}i+\sqrt{3}{i}^2=(1-\sqrt{3})+(1+\sqrt{3})i$

6. 商しょう と 共役きょうやく

除法じょほう の 偏へん角かく・絶対ぜったい値ち

$\frac{z_1}{z_2}$ ($z_2\ne 0$) で は

要よう素そ	結けっ果か
[[絶対値	ぜったいち]]
[[偏角	へんかく]]

つ ま り 「偏角へんかく の 引 き 算さん」 「絶対値ぜったいち の 割わり り 算さん」。

計算けいさん ルール (共役きょうやく を 使し う)

$\frac{z_1}{z_2}$ は 分母ぶんぼ・分子ぶんし に $z_2‾$ を か け て、 分母ぶんぼ を 実数じっすう化か し ま す。

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1{z}_2‾}{z_2{z}_2‾}=\frac{z_1{z}_2‾}{\mid z_2{\mid }^2}$

例題れいだい 4

$\frac{1+2i}{3-i}$ を $a+bi$ の 形かたち で 表ひょう せ。

解かい: 分母ぶんぼ分子ぶんし に $3+i$ を か け る:

$\frac{(1+2i)(3+i)}{(3-i)(3+i)}=\frac{3+i+6i+2i^2}{9+1}=\frac{1+7i}{10}=\frac{1}{10}+\frac{7}{10}i$

7. 図形づけい と の 結むすぶ び つき

円えん・直線ちょくせん を 複素数ふくそすう で 表ひょう す

図づ形けい	複素数ふくそすう表示ひょうじ
中ちゅう心しん$\alpha$、 半はん径けい$r$ の 円えん	$\mid z-\alpha \mid =r$
$\alpha ,\beta$ を 結むすぶ ぶ 線分せんぶん の 垂すい直ちょく二に等分とうぶん線せん	$\mid z-\alpha \mid =\mid z-\beta \mid$
$\alpha$ か ら の 距きょ離り と $\beta$ か ら の 距きょ離り の 比ひ が $k:1$ の 軌き跡せき	$\mid z-\alpha \mid =k\mid z-\beta \mid$ ([[アポロニウスの円

例題れいだい 5

$\mid z-2\mid =3$ は ど の よ う な 図づ形けい か。

解かい: 中ちゅう心しん$2$ (= 実じつ軸じく上じょう の 点$(2,0)$)、 半はん径けい$3$ の 円えん。

8. 複素数ふくそすう の 力ちから — なぜ 強力きょうりょく か

1 つ の 数かず で 「向むき と 大おおきさ」 を 持じ つ

実数じっすう や ベクトル と 比ひ べ た 複素数ふくそすう の 強つよ み を 並なみ べ ま す。

道どう具ぐ	向むこう き	大だい き さ	演えん算ざん
実数じっすう	な し	あ り (絶ぜっ対たい値ち)	加減乗除かげんじょうじょ
平へい面めんベクトル	あ り	あ り	加減かげん、 内ない積せき・外がい積せき (積せき は ない)
**[[複素数	ふくそすう]]**	あ り (偏へん角かく)	あ り (絶対ぜったい値ち)

ベクトル に 「か け 算さん」 を 自し然ぜん な 形かたち で 入いり れ た の が 複素数ふくそすう、 と 言げん え ま す。

物理ぶつり と 工学こうがく で の 使し い 方かた

分野ぶんや	複素数ふくそすう の 役やく割わり
[[電気回路	でんきかいろ]] (交流こうりゅう)
[[量子力学	りょうしりきがく]]
[[信号処理	しんごうしょり]]
フラクタル	マ ン デ ル ブ ロ 集合しゅうごう$z\to z^2+c$

次じ の 章しょう へ: 第だい 9 章しょう で 極形式きょくけいしき を 集中しゅうちゅう学がく習しゅう、 第だい 10 章しょう で ド・モアブルの定理ド・モアブルのていり ($z^n$ の 計けい算さん) と $n$乗の根ね を 学がく び ま す。

章しょう末まつ まとめ

• 複素数平面ふくそすうへいめん: $z=a+bi\leftrightarrow$点$(a,b)$
• 共役きょうやく$zˉ$ = 実じつ軸じく対たい称しょう、 $zzˉ=\mid z{\mid }^2$
• 絶対値ぜったいち$\mid z\mid =\sqrt{a^2+b^2}$、 偏角へんかく$\arg z$
• 加法かほう = 平行へいこう移動いどう、 乗法じょうほう = 回転かいてん + 拡大かくだい
• $i$ を か け る = $90°$回転かいてん
• 円$\mid z-\alpha \mid =r$、 垂すい直ちょく二に等分とうぶん線せん$\mid z-\alpha \mid =\mid z-\beta \mid$