極形式きょくけいしき と 幾何きかへの応用おうよう一いち問もん一いち答とう

この一問一答で出る問題

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1. 複素数ふくそすう $z$ の 極形式きょくけいしき として正ただしいものはどれですか？
   • ・$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$
   • ・$z = a + bi$
   • ・$z = re^{r\theta}$
   • ・$z = a\cos\theta + b\sin\theta$
2. $z = -1 + i$ を 極形式きょくけいしき で 表ひょう せ。
   • ・$\sqrt{2}(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4})$
   • ・$2(\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2})$
   • ・$\sqrt{2}(\cos\pi+i\sin\pi)$
   • ・$\sqrt{2}(\cos\dfrac{3\pi}{4}+i\sin\dfrac{3\pi}{4})$
3. $z = -2$ を 極形式きょくけいしき で 表ひょう せ。
   • ・$2(\cos\pi + i\sin\pi)$
   • ・$2(\cos 0 + i\sin 0)$
   • ・$-2(\cos 0 + i\sin 0)$
   • ・$2(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2})$
4. $z_1 = 2(\cos 30°+i\sin 30°)$, $z_2 = 3(\cos 60°+i\sin 60°)$ の 積せき $z_1z_2$ を求もとめよ。
   • ・$5(\cos 90°+i\sin 90°)$
   • ・$6(\cos 30°+i\sin 30°)$
   • ・$5(\cos 1800°+i\sin 1800°)$
   • ・$6(\cos 90°+i\sin 90°) = 6i$
5. $z_1 = 2(\cos 30°+i\sin 30°)$, $z_2 = 3(\cos 60°+i\sin 60°)$ の 商しょう $\dfrac{z_1}{z_2}$ の 偏角へんかく を求もとめよ。
   • ・$-30°$
   • ・$30°$
   • ・$60°$
   • ・$90°$
6. 複素数ふくそすう $\alpha$ を中心ちゅうしん に $z$ を角$\theta$回転かいてんした点$z'$ の公こう式しき はどれですか？
   • ・$z' = \alpha + (\cos\theta + i\sin\theta)z$
   • ・$z' = z\cos\theta + i\alpha\sin\theta$
   • ・$z' - \alpha = (\cos\theta + i\sin\theta)(z - \alpha)$
   • ・$z' = \alpha z(\cos\theta + i\sin\theta)$
7. 点$z = 4 + 3i$ を中心ちゅうしん $\alpha = 1 + i$ の周まわりに $90°$回かい転てん した点てんを求もとめよ。
   • ・$1 + 4i$
   • ・$-2 + 3i$
   • ・$-1 + 4i$
   • ・$-1 - 4i$
8. 中心ちゅうしん $\alpha$、 拡かく大だい率りつ$r$、 角$\theta$ の 相似変換そうじへんかん で点$z$ が移うつる先$z'$ の公こう式しき はどれですか？
   • ・$z' = r(\cos\theta + i\sin\theta)(z + \alpha)$
   • ・$z' = \alpha r(\cos\theta + i\sin\theta) + z$
   • ・$z' = \alpha r z(\cos\theta + i\sin\theta)$
   • ・$z' = \alpha + r(\cos\theta + i\sin\theta)(z - \alpha)$
9. 3 点$\alpha, \beta, \gamma$ で三角形さんかくけいを作つくるとき、 $k = \dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ が 実数じっすう なら三角形さんかくけいはどうなりますか？
   • ・正 三角かく 形
   • ・3 点 が 一 直 線 上 (三角かく 形 で な い)
   • ・直 角 三角かく 形
   • ・二 等 辺 三角かく 形
10. $k = \dfrac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ が 純じゅん虚数きょすう な ら 三角形さんかくけい は どうなりますか？
    • ・正 三角かく 形
    • ・$\alpha$ で 直 角 に な る 直 角 三角かく 形
    • ・$\beta$ で 直 角
    • ・一 直 線 上
11. $\alpha = 0$, $\beta = 1$, $\gamma = \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$ はどのような三角形さんかくけいですか？
    • ・正 三角かく 形
    • ・直 角 三角かく 形
    • ・二 等 辺 三角かく 形 (正 で な い)
    • ・一 直 線 上
12. 複素数平面ふくそすうへいめん上で 2 点$\alpha, \beta$ を通とおる直線ちょくせん上じょうの点$z$ が満みたす条件じょうけんはどれですか？
    • ・$\lvert z - \alpha\rvert = \lvert z - \beta\rvert$
    • ・$\dfrac{z - \alpha}{\beta - \alpha}$ が 純 虚 数
    • ・$\dfrac{z - \alpha}{\beta - \alpha}$ が 実 数
    • ・$z + \alpha + \beta = 0$
13. $\lvert z - 1\rvert = \lvert z + i\rvert$ はどのような図づ形けい を表あらわしますか？
    • ・中心しん $1$、 半径けい $\lvert i\rvert$ の 円
    • ・原点てん を 通 る 直 線 $y = x$
    • ・2 点 $1$ と $-i$ を 結 ぶ 線 分 の 垂直ちょく 二 等 分 線
    • ・アポロニウスの円アポロニウスのえん
14. 中心ちゅうしん $0$、 半はん径けい $1$ の 正せい 6 角形けい の 頂ちょう点てん $z_k$ ($k=0,1,\ldots,5$) はどれですか？
    • ・$z_k = \cos\dfrac{2\pi k}{6}+i\sin\dfrac{2\pi k}{6}$
    • ・$z_k = \cos\dfrac{\pi k}{6}+i\sin\dfrac{\pi k}{6}$
    • ・$z_k = 6(\cos k+i\sin k)$
    • ・$z_k = \cos\dfrac{\pi k}{3}+i\sin\dfrac{\pi k}{3}\cdot 6$
15. 3 点$\alpha=0, \beta=2, \gamma=?$ で $\beta$ を直角ちょっかく とする直角ちょっかく二に等辺とうへん三角形さんかくけいを作つくる $\gamma$ を 1 つ求もとめよ。
    • ・$\gamma = 2 - 2i$
    • ・$\gamma = 2 + 2i$
    • ・$\gamma = -2 + 2i$
    • ・$\gamma = 0 + 2i$
16. 複素数ふくそすう $z$ が純じゅん粋すい な 拡かく大だい・縮しゅく小しょう を起おこすとき、 かける数かずはどのような数かずですか？
    • ・純 虚 数
    • ・正 の 実 数 (角 $\theta = 0$)
    • ・絶対値ぜったいち $1$ の 複素数ふくそすう
    • ・$i$ ($90°$ 回 転)
17. 中心ちゅうしん $0$、 角$60°$、 拡かく大だい率りつ$2$ で $z = 1$ が移うつる先さきを求もとめよ。
    • ・$2 + 2i$
    • ・$\sqrt{3} + i$
    • ・$1 + \sqrt{3}i$
    • ・$2(\sqrt{3}+i)$
18. オイラーの公式おいらーのこうしき を使つかうと 極形式きょくけいしき はどの形かたちになりますか？
    • ・$z = r\sin\theta$
    • ・$z = r + e^{\theta}$
    • ・$z = e^{r\theta}$
    • ・$z = re^{i\theta}$
19. $z = re^{i\theta}$形で表あらわしたとき、 $z^{n}$ はどう書かけますか？
    • ・$r^{n}e^{i\theta}$
    • ・$re^{in\theta}$
    • ・$r^{n}e^{in\theta}$
    • ・$nre^{i\theta}$
20. 直ちょっ交こう形$a+bi$ と 極形式きょくけいしき $r(\cos\theta+i\sin\theta)$ の使つかい分わけとして適切てきせつなものはどれですか？
    • ・加 法・減 法 → 極形式きょくけいしき が 圧倒とう 的 に 速 い
    • ・極形式きょくけいしき は 使 わ な い 方 が よ い
    • ・両 方 同 じ 速 さ
    • ・乗 法・除 法・累 乗・回 転 → 極形式きょくけいしき が 圧倒とう 的 に 速 い