アポロニウスの円あぽろにうすのえん

アポロニウスの円えんとは、2 つの定点ていてん$A,B$ からの距離きょりの比ひが一いち定値ていち$k$（$k\ne 1$） となる点$P$ の軌跡きせきで、必かならず円えんになります。「比ひが一定いっていなのに直線ちょくせんではなく円えんになる」のが意外いがいで面白おもしろい点てんです。

距離きょりの比$AP:BP=k$	軌跡きせき
$k\ne 1$	円えん（アポロニウスの円えん）
$k=1$	線分せんぶん$AB$ の垂直すいちょく二に等分とうぶん線せん（退化たいか）

たとえば $A(0,0), B(3,0)$ で $AP:BP=2:1$ なら、$x^2+y^2=4\left\{\right(x-3{)}^2+y^2\}$ を整理せいりして円えんの方程式ほうていしきが得えられます。複素数ふくそすう平面へいめんでは $\mid \frac{z-\alpha }{z-\beta }\mid =k$ と書かくと、距離きょりの比ひが一定いっていという定義ていぎがそのまま式しきに現あらわれて鮮あざやかです。

試験しけんでは 「$AP:BP=k$ を満みたす点てんの軌跡きせきを求もとめよ」が定番ていばん。距離きょりの式しきを立たてて 2 乗のし整理せいりする流ながれと、$k=1$ なら垂直すいちょく二に等分とうぶん線せんになる例外れいがいをおさえよう。