軌跡きせき と 領域りょういき一いち問もん一いち答とう

この一問一答で出る問題

全20問。答えと解説は「スタート」を押すと1問ずつ表示されます。

1. 軌跡きせき を求もとめる標準ひょうじゅん的てきな手順てじゅんとして正ただしいものはどれですか？
   • ・動 点 を $\mathrm{P}(x, y)$ と お き、 条件 を $x, y$ の 式 に 直 し て 整 理 す る
   • ・動 点 の 軌 跡 は 必 ず 直 線 で あ る と 仮 定 す る
   • ・条件 を 図 で 描 く だ け で 方程式 は 求 め な い
   • ・動 点 を $\mathrm{P}(a, b)$ と お き、 $a, b$ の 関 係 を 求 め る (整 理 し な い)
2. 2 定点ていてん$\mathrm{A}(-1, 0)$、 $\mathrm{B}(3, 0)$ から 等距離とうきょり にある点$\mathrm{P}$ の 軌跡きせき はどれですか？
   • ・直 線 $x = 1$
   • ・原 点 を 中 心 と す る 円
   • ・直 線 $y = 0$
   • ・$x$ 軸 と $y$ 軸
3. 2 定点ていてん$\mathrm{A}(0, 0)$、 $\mathrm{B}(3, 0)$ からの距離きょりの比ひが $\mathrm{AP} : \mathrm{BP} = 1 : 2$ である点$\mathrm{P}$ の 軌跡きせき はどれですか？
   • ・直 線 $x = 1$
   • ・中 心 $(-1, 0)$、 半 径 $2$ の 円
   • ・中 心 $(1, 0)$、 半 径 $2$ の 円
   • ・中 心 $(0, 0)$、 半 径 $3$ の 円
4. 不等式ふとうしき$y > 2x + 1$ が 表ひょう す 領域りょういき はどれですか？
   • ・直 線 $y = 2x + 1$ の 上 側 (境 界 を 含 ま な い)
   • ・直 線 $y = 2x + 1$ の 下 側 (境 界 を 含 ま な い)
   • ・直 線 $y = 2x + 1$ の 上 側 (境 界 を 含 む)
   • ・直 線 $y = 2x + 1$ そ の も の
5. 不等式ふとうしき$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 < 9$ が 表ひょう す 領域りょういき はどれですか？
   • ・中 心 $(2, -1)$、 半 径 $3$ の 円 の 外 部
   • ・中 心 $(2, -1)$、 半 径 $3$ の 円 の 内 部 (境 界 含 ま な い)
   • ・中 心 $(2, -1)$、 半 径 $9$ の 円 の 内 部
   • ・中 心 $(-2, 1)$、 半 径 $3$ の 円 の 内 部
6. 連立れんりつ不等式ふとうしき$\begin{cases} y \geq x \\ y \leq -x + 4 \\ y \geq 0 \end{cases}$ が表あらわす 領域りょういき の 形がた はどれですか？
   • ・中 心 $(2, 1)$、 半 径 $1$ の 円 板
   • ・上 下 が $x$ 軸 ・ 直 線 $y = 4$ に 挟 ま れ た 帯
   • ・頂 点 $(0, 0)$、 $(4, 0)$、 $(2, 2)$ の 三 角 形 (境 界 含 む)
   • ・領 域 は 存 在 し な い (3 不 等 式 の 共 通 部 分 が 空)
7. 線形計画法せんけいけいかくほう の 基本きほん定理ていり として正ただしいものはどれですか？
   • ・領 域 が 多 角 形 の と き、 一 次 式 の 最 大 ・ 最 小 は 必 ず 領 域 の 内 部 で 起 こ る
   • ・領 域 が 多 角 形 の と き、 一 次 式 の 最 大 ・ 最 小 は 必 ず 頂 点 の ど れ か で 起 こ る
   • ・一 次 式 で あ っ て も 最 大 値 ・ 最 小 値 は 存 在 し な い こ と が 多 い
   • ・二 次 式 の 最 大 ・ 最 小 も 必 ず 頂 点 で 起 こ る
8. 連立れんりつ不等式ふとうしき$\begin{cases} x + y \leq 4 \\ 2x + y \leq 6 \\ x \geq 0, \; y \geq 0 \end{cases}$ の領域りょういきで $z = x + 2y$ の 最大値さいだいち はいくつですか？
   • ・$8$
   • ・$6$
   • ・$10$
   • ・$12$
9. 領域りょういき$x + y \geq 3$、 $x \geq 0$、 $y \geq 0$ で $z = x^2 + y^2$ の最小値さいしょうちはいくつですか？
   • ・$3$
   • ・$9$
   • ・$\dfrac{9}{2}$
   • ・$18$
10. $y \geq f(x)$ と $y > f(x)$ の 図示ずし の違ちがいは何なにですか？
    • ・前 者 は 境 界 を 含 む (実 線)、 後 者 は 境 界 を 含 ま な い (点 線 / 破 線)
    • ・前 者 は 上 側、 後 者 は 下 側
    • ・前 者 は 直 線、 後 者 は 曲 線
    • ・違 い は な い (同 じ 領 域)
11. 原点げんてん$\mathrm{O}$ と点$\mathrm{A}(4, 0)$ からの距離きょりの 2 乗じょうの 和わ が $20$ である点$\mathrm{P}$ の 軌跡きせき はどんな図形ずけいですか？
    • ・中 心 $(2, 0)$、 半 径 $\sqrt{6}$ の 円
    • ・直 線 $x = 2$
    • ・中 心 $(2, 0)$、 半 径 $2$ の 円
    • ・中 心 $(0, 0)$、 半 径 $\sqrt{20}$ の 円
12. 領域りょういき$\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 4 \\ y \geq x \end{cases}$ の 形がた はどんな図形ずけいですか？
    • ・中 心 $\mathrm{O}$ 半 径 $2$ の 円 を 直 径 で 切 っ た 半 円 板 (境 界 含 む)
    • ・三 角 形
    • ・円 の 全 体
    • ・二 重 円 環
13. 連立れんりつ不等式ふとうしき$\begin{cases} x + y \leq 6 \\ x + 2y \leq 8 \\ x \geq 0, \; y \geq 0 \end{cases}$ の領域りょういきで $z = 3x + 2y$ の 最大値さいだいち はいくつですか？
    • ・$8$
    • ・$14$
    • ・$20$
    • ・$18$
14. 領域りょういき$x^2 + y^2 \leq 25$ で $y - x$ の 最大値さいだいち はいくつですか？
    • ・$5$
    • ・$5\sqrt{2}$
    • ・$10$
    • ・$25$
15. 領域りょういき$x \geq 0$ か つ $y \geq 0$ か つ $x + y \leq 1$ で $z = 2x + 3y$ の 最大値さいだいち はいくつですか？
    • ・$2$
    • ・$3$
    • ・$5$
    • ・$6$
16. 「2 定点ていてん$\mathrm{A}, \mathrm{B}$ からの距離きょりの比ひが $1 : 1$」 (= 等ひとしい) である点てんの 軌跡きせき はどの図形ずけいですか？
    • ・アポロニウス の 円アポロニウス の えん
    • ・線 分 $\mathrm{AB}$ の 垂 直 二 等 分 線
    • ・$\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ を 結 ぶ 直 線
    • ・$\mathrm{A}$ を 中 心 と す る 円
17. 工場こうじょうが製品せいひん$\mathrm{X}$ ・ $\mathrm{Y}$ を作つくる。 1 個こあたり利益りえきは $\mathrm{X}$ が $3$万まん円えん、 $\mathrm{Y}$ が $5$万まん円えん。 制約せいやく$x + y \leq 4$、 $x + 2y \leq 6$、 $x, y \geq 0$ のもとで 利益りえきを最大さいだい化か する生産せいさん量りょう$(x, y)$ はどれですか？
    • ・$(0, 0)$
    • ・$(4, 0)$
    • ・$(2, 2)$
    • ・$(0, 3)$
18. 実数じっすう$x, y$ が $x^2 + y^2 \leq 1$ を満みたすとき、 $y - x$ の 最小値さいしょうち はいくつですか？
    • ・$-1$
    • ・$-2$
    • ・存 在 し な い
    • ・$-\sqrt{2}$
19. 連立れんりつ不等式ふとうしき$\begin{cases} x^2 + y^2 < 9 \\ x + y > 1 \end{cases}$ が表あらわす領域りょういきの説明せつめいとして正ただしいものはどれですか？
    • ・円 の 外 部 と 直 線 の 上 側 の 共 通 部 分
    • ・境 界 を 含 む 円 板 全 体
    • ・中 心 $\mathrm{O}$ 半 径 $3$ の 円 の 内 部 を 直 線 $x + y = 1$ で 切 っ た 「弓 形」 の 一 方 (境 界 含 ま な い)
    • ・領 域 は 存 在 し な い (空)
20. 点$\mathrm{P}(x, y)$ が円$x^2 + y^2 = 1$上を動うごくとき、 線分せんぶん$\mathrm{AP}$ の中点ちゅうてん$\mathrm{M}$ (ただし $\mathrm{A}(3, 0)$) の 軌跡きせき はどんな図形ずけいですか？
    • ・中 心 $\left(\dfrac{3}{2}, 0\right)$、 半 径 $\dfrac{1}{2}$ の 円
    • ・中 心 $(3, 0)$、 半 径 $\dfrac{1}{2}$ の 円
    • ・中 心 $\left(\dfrac{3}{2}, 0\right)$、 半 径 $1$ の 円
    • ・直 線 $x = \dfrac{3}{2}$