軌跡きせきと領域りょういき

この 章しょう で 学まなぶ こと

第だい 3 章しょう で は 「与あたえられた 図形づけい を 式しき で 表あらわす」 学まなび でした。 この 章しょう で は 逆ぎゃく に、 「条件じょうけん を 満みたす 点てん の 集あつまり が どんな 図形づけい か」 を 求もとめ ます。 これ が 軌跡きせき、 そして 不等式ふとうしき で 表あらわされる 領域りょういき に 進すすみ ます。

• 軌跡きせき の 方程式ほうていしき を 求もとめる 手順てじゅん (動どう点てん を $(x,y)$ と おく) を 身み に つける
• 二に直線ちょくせん や 円えん で 区切くぎられた 領域りょういき を 図示ずし できる
• 連立れんりつ不等式ふとうしき が 表あらわす 領域りょういき を 図ず で 表あらわせる
• 領域りょういき内ない で 一いち次じ式しき の 最大さいだい ・ 最小さいしょう を 求もとめられる (線形計画法せんけいけいかくほう の 入口いりぐち)

1. 軌跡きせき

軌跡きせき と は

ある 条件じょうけん を 満みたす 点てん全体ぜんたい の 集合しゅうごう を、 その 条件じょうけん の 軌跡きせき と いい ます。

基本きほん手順てじゅん:

1. 動どう点てん を $P(x,y)$ と おく
2. 与あたえられた 条件じょうけん を $x,y$ の 式しき に 直なおす
3. 整理せいり し、 図形づけい と し て 解釈かいしゃく する

例題れいだい: 二に定点ていてん から 等距離とうきょり の 点てん の 軌跡きせき

$A(-1,0)$、 $B(3,0)$ から 等距離とうきょり に ある 点$P$ の 軌跡きせき を 求もとめよ。

$P(x,y)$ と お く と、 ${AP}^2={BP}^2$:

$(x+1{)}^2+y^2=(x-3{)}^2+y^2$ $x^2+2x+1=x^2-6x+9$ $8x=8\Rightarrow x=1$

軌跡きせき は 直線ちょくせん$x=1$ (線分せんぶん$AB$ の 垂直すいちょく二に等分とうぶん線せん)。

アポロニウス の 円えん

二に定点ていてん$A,B$ から の 距離きょり の 比ひ が 一定いってい値$k$ ($k\ne 1$) で ある 点てん の 軌跡きせき は 円えん に なり ます (これ を アポロニウス の 円アポロニウス の えん と いう)。

例題れいだい

$A(0,0)$、 $B(3,0)$、 $AP:BP=1:2$ を 満みたす 点$P$ の 軌跡きせき。

${AP}^2:{BP}^2=1:4$ ⇒ $4{AP}^2={BP}^2$:

$4(x^2+y^2)=(x-3{)}^2+y^2$ $3x^2+3y^2+6x-9=0$ $x^2+y^2+2x-3=0$ $(x+1{)}^2+y^2=4$

中心ちゅうしん$(-1,0)$、 半径はんけい$2$ の 円えん。

2. 領域りょういき の 表あらわし 方かた

一いち つ の 不等式ふとうしき が 表あらわす 領域りょういき

不等式ふとうしき	領域りょういき
$y>mx+n$	直線ちょくせん$y=mx+n$ の 上側うわがわ
	[直線
$y\ge f\left(x\right)$	[上側
	[円
$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2>r^2$	円えん の 外部がいぶ

大事だいじ: 等号とうごう を 含ふくむ ($\le$、 $\ge$) なら 境界きょうかい の 線せん も 領域りょういき に 含ふくむ、 含ふくまない (、 $>$) なら 境界きょうかい は 含ふくめない。 図示ずし する とき、 含ふくむ 境界きょうかい は 実線じっせん、 含ふくまない 境界きょうかい は 点線てんせん (または 破線はせん) で 描えがく。

連立れんりつ不等式ふとうしき

連立れんりつ不等式ふとうしき が 表あらわす 領域りょういき は、 それぞれ の 不等式ふとうしき が 表あらわす 領域りょういき の 共通きょうつう部分ぶぶん。 すべて を 同おなじ 図ず に 描えがき、 重かさなる 部分ぶぶん が 答こたえ です。

例題れいだい

連立れんりつ不等式ふとうしき$\{y\ge xy\le -x+4y\ge 0$ が 表あらわす 領域りょういき を 図示ずし せよ。

直線ちょくせん$y=x$ の 上側うわがわ か つ 直線ちょくせん$y=-x+4$ の 下した側がわ か つ $x$軸 の 上側うわがわ。 重かさなる 部分ぶぶん は 三角形さんかっけい (頂点ちょうてん$(0,0)$、 $(4,0)$、 $(2,2)$、 境界きょうかい含ふくむ)。

3. 領域りょういき と 最大さいだい ・ 最小さいしょう (線形せんけい計画けいかく の 入口いりぐち)

一いち次じ式しき の 最大さいだい ・ 最小さいしょう

領域りょういき$D$ に お い て $k=ax+by$ の 最大さいだい ・ 最小さいしょう を 考かんがえ ます。 $k$ を 定数ていすう と 見みれ ば、 $y=-\frac{a}{b}x+\frac{k}{b}$ と いう 傾かたむき 一定いってい の 直線ちょくせん に なる ので、 この 直線ちょくせん を 平行へいこう に 動うごかし ながら 領域りょういき と の 接触せっしょく点てん を 探さがし ます。

大事だいじ: 領域りょういき が 多角たかく形がた で 区切くぎられて いる とき、 一いち次じ式しき の 最大さいだい ・ 最小さいしょう は 必かならず 頂点ちょうてん の どれ か で 起おこる (線形計画法せんけいけいかくほう の 基本きほん定理ていり)。 だから 頂点ちょうてん の 値ね を すべて 試ためせ ば よい。

例題れいだい

連立れんりつ不等式ふとうしき$\{x+y\le 42x+y\le 6x\ge 0,\hspace{0.25em} y\ge 0$ の 領域りょういき で、 $z=x+2y$ の 最大さいだい値ち を 求もとめよ。

領域りょういき の 頂点ちょうてん:

• $(0,0)$: $z=0$
• $(3,0)$ ($2x+y=6$ と $y=0$ の 交点こうてん): $z=3$
• $(0,4)$ ($x+y=4$ と $x=0$): $z=8$
• $(2,2)$ ($x+y=4$ と $2x+y=6$ の 交点こうてん): $z=6$

最大さいだい値ち は $z=8$ (点$(0,4)$ で)。

最大さいだい ・ 最小さいしょう を 求もとめる 手順てじゅん (整理せいり)

1. 連立れんりつ不等式ふとうしき が 表あらわす 領域りょういき $D$ を 図示ずし
2. 領域りょういき の 頂点ちょうてん を す べ て 求もとめる (境界きょうかい線せん ど う し の 交点こうてん)
3. $z=ax+by$ の 値ね を 各かく頂点ちょうてん で 計算けいさん
4. 最大さいだい値ち ・ 最小さいしょう値ち を 比較ひかく し て 決定けってい

二に次じ式しき の 場合ばあい

最大さいだい ・ 最小さいしょう を 求もとめ る 式しき が 二に次じ ($z=x^2+y^2$ な ど) の とき は 頂点ちょうてん で 起おこる と は 限きりら な い。 例たとえ ば $z=x^2+y^2$ (原点げんてん か ら の 距離きょり の 二乗にじょう) の 最小さいしょう は、 「原点げんてん か ら 領域りょういき へ の 最短さいたん距離きょり」 を 直接ちょくせつ図ず で 考かんがえ る。

例題れいだい

領域りょういき$x+y\ge 3$、 $x\ge 0$、 $y\ge 0$ で $z=x^2+y^2$ の 最小さいしょう値ち を 求もとめよ。

原点げんてん か ら 直線ちょくせん$x+y=3$ へ の 距離きょり が 最短さいたん で、 距離きょり = $\frac{3}{\sqrt{2}}$、 二乗にじょう し て $z_{\min }=\frac{9}{2}$。 接点せってん は $(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$。

図示ずし の コツ

領域りょういき を 求もとめる 問題もんだい で は、 必かならず 境界きょうかい の 直線ちょくせん ・ 円えん を 描えがき、 それぞれ の 不等式ふとうしき で どちら 側がわ か を 矢印やじるし や 斜線しゃせん で 示しめし、 最後さいご に 重かさなる 部分ぶぶん を 強つよく ぬる の が 標準ひょうじゅん的てき な 解答かいとう形式けいしき です。

4. 円えん と 領域りょういき

円えん が 関与かんよ す る 領域りょういき

不等式ふとうしき が 円えん の 内部ないぶ ・ 外部がいぶ を 含 む と き、 円えん と 直線ちょくせん の 共有きょうゆう部分ぶぶん を 図ず で 把握はあく す る こと が 大事だいじ で す。

例題れいだい

連立れんりつ不等式ふとうしき$\{x^2+y^2\le 4y\ge x$ が 表あらわす 領域りょういき を 図示ずし せ よ。

円$x^2+y^2=4$ (中心ちゅうしん$O$、 半径はんけい$2$) の 内部ないぶ (境界きょうかい含 む) か つ 直線ちょくせん$y=x$ の 上側うわがわ (境界きょうかい含 む) の 共通きょうつう部分ぶぶん。 形かたち は 円えん を 直径ちょっけい で 切せつ っ た 半円はんえん板いた (上側うわがわ) に な り ま す。

軌跡きせき と 領域りょういき を 組くみ み 合ごうわ せ た 問題もんだい

「2 点$A,B$ か ら の 距離きょり の 和わ が $r$以下いか」 「2 点てん か ら の 距離きょり の 差さ が $r$以上いじょう」 な ど は、 楕円だえん ・ 双曲線そうきょくせん と い っ た 数学すうがく C 内容ないよう に 接続せつぞく し ま す が、 数学すうがく II の 範囲はんい で も 「距離きょり の 二乗にじょう の 関係かんけい」 で 円えん と し て 表あらわせ る 場合ばあい が 多おお い。

やって みよう: 連立れんりつ不等式ふとうしき の 領域りょういき は ど ん な 形かたち? (答こたえ: 半径はんけい$3$ の 円えん の 内部ないぶ を 直線ちょくせん で 切せつ っ た 弓形きゅうけい の 一方いっぽう、 境界きょうかい線せん は 含 ま な い)

まとめ

• 軌跡きせき は 動どう点てん$(x,y)$ と お い て 条件じょうけん を 式しき化か し、 整理せいり する
• 二に定点ていてん から 等距離とうきょり → 垂直すいちょく二に等分とうぶん線せん
• 二に定点ていてん から の 距離きょり比ひ が 一定いってい ($\ne 1$) → 円えん (アポロニウス の 円アポロニウス の えん)
• 不等式ふとうしき$y>f\left(x\right)$ は 上側うわがわ、 は 下した側がわ、 等号とうごう を 含ふくむ か で 境界きょうかい を 実線じっせん か 点線てんせん か 描えがき 分わける
• 連立れんりつ不等式ふとうしき の 領域りょういき は 共通きょうつう部分ぶぶん (重かさなる ところ)
• 領域りょういき内ない の 一いち次じ式しき の 最大さいだい最小さいしょう は 必かならず 頂点ちょうてん で 起おこる

次じの 章しょう: 第だい 5 章しょう で は 三角関数さんかくかんすう に 入いり ます。 中学ちゅうがく ・ 高校こうこう I の 三角さんかく比ひ ($0°\le \theta \le 180°$) を 任意にんい の 角かく に 拡張かくちょう し、 弧こ度ど法ほう と 加法かほう定理ていり で 道具どうぐ を 完成かんせい させ ます。