反例はんれい

反例はんれいとは、「いつでも成なり立たつ」とされた主張しゅちょうがまちがっていることを示しめす、成なり立たない具体ぐたい例れいのことです。反例はんれいが 1 つでもあれば、その主張しゅちょうは正ただしくないと言いえます。

主張しゅちょう	反例はんれい	結論けつろん
「素数そすうはすべて奇数きすう」	$2$（偶数ぐうすうの素数そすう）	まちがい
「$x^2>x$ がいつも成なり立たつ」	$x=1$（$1>1$ は偽にせ）	まちがい

たとえば「素数そすうはすべて奇数きすう」に対たいし、$2$ は偶数ぐうすうの素数そすうなので反例はんれいになります。たった 1 つの反例はんれいで、主張しゅちょう全体ぜんたいをくずせるのが特とくちょうです。

ポイント 正ただしいことを示しめすには証明しょうめいが必要ひつようだが、まちがいを示しめすには反例はんれい 1 つで十分じゅうぶん。「成なり立たない例れいはないか」と探さがす習慣しゅうかんが、逆ぎゃくや命題めいだいの真偽しんぎを判断はんだんする力ちからになる。

反例はんれいとは、命題めいだい「$p\Rightarrow q$」を否定ひていする具体ぐたい例れい、つまり$p$ を満みたすが $q$ を満みたさない例れいのことです。

命題めいだい	反例はんれい
素数そすうは奇数きすうである	$2$（素数そすうだが偶数ぐうすう）
$x>1\Rightarrow x>2$	$x=1.5$
4 の倍数ばいすうは 8 の倍数ばいすう	$4$（4 の倍数ばいすうだが 8 の倍数ばいすうでない）

反例はんれいが 1 つでもあれば、その命題めいだいは偽にせと判定はんていできます。たとえば「素数そすうは奇数きすうである」に対たいしては $2$（唯一ゆいいつの偶数ぐうすうの素数そすう）が反例はんれいになります。

覚おぼえ方かた 反例はんれいは「$p$ ○、$q$ ✕」の例れい。$p$ を満みたすことと $q$ を満みたさないことの両方りょうほうを確認かくにんしないと反例はんれいにならない。