集合しゅうごうと命題めいだい

この 章しょう で 学まなぶ こと

中学ちゅうがく で は 「正ただしい か どうか」 を 直感ちょっかん的てき に 判断はんだん して き ました が、 高校こうこう では 論理ろんり の 言葉ことば で きちんと 議論ぎろん し ます。 ここ が 数学すうがく の 「証明しょうめい」 の 入口いりぐち です。

• 集合しゅうごう の 表あらわし方かた と 演算えんざん (共通部分きょうつうぶぶん・和集合わしゅうごう・補集合ほしゅうごう)
• ド・モルガンの法則ド・モルガンのほうそく
• 命題めいだい と は 何なに か、 真偽しんぎ を 判定はんてい する
• 逆ぎゃく・裏うら・対偶たいぐう の 関係かんけい
• 必要条件ひつようじょうけん・十分条件じゅうぶんじょうけん・必要十分条件ひつようじゅうぶんじょうけん

ポイント: 「$x=2$ なら $x^2=4$」 は 正ただしい けれど、 「$x^2=4$ なら $x=2$」 は 正まさしく ない ($x=-2$ も ある)。 こういう 「逆ぎゃく が 成なり立たつ か」 を 正確せいかく に 判定はんてい する 力ちから を つけ ます。

1. 集合しゅうごう の 基本きほん

集合しゅうごう と 要素ようそ

集合しゅうごう と は 「ある 条件じょうけん を 満みたす もの の 集あつまり」 です。 集合しゅうごう を つくる ひとつ ひとつ を 要素ようそ と いい ます。

記号きごう	読よみ	意味いみ
$a\in A$	$a$ は $A$ の 要素ようそ	$a$ が $A$ に 属ぞくする
$a\notin A$	$a$ は $A$ の 要素ようそ で ない	$a$ が $A$ に 属ぞくさ ない

集合しゅうごう の 表あらわし方かた

表あらわし方かた	例れい
要素ようそ列挙れっきょ法ほう	$A=\{1,2,3,4,5\}$
条件じょうけん提示ていじ法ほう	$B=\{x\mid x は 10 以下 の 自然数\}$

部分ぶぶん集合しゅうごう

$A$ の すべて の 要素ようそ が $B$ に 属ぞくす とき、 $A$ は $B$ の 部分集合ぶぶんしゅうごう と いい、

$A\subset B$

と 書かき ます。

大事だいじ: $A=B$ と は 「$A\subset B$ かつ $B\subset A$」 の こと。 等しいひとしい こと の 証明しょうめい では 両りょう向むき を 示しめし ます。

2. 集合しゅうごう の 演算えんざん

共通きょうつう部分ぶぶん・和かず集合しゅうごう・補ほ集合しゅうごう

記号きごう	名前なまえ	意味いみ
$A\cap B$	**[[共通部分	きょうつうぶぶん]]**
$A\cup B$	**[[和集合	わしゅうごう]]**
$A‾$	**[[補集合	ほしゅうごう]]**
$\varnothing$	**[[空集合	くうしゅうごう]]**

具体ぐたい例れい

$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $A=\{2,4,6,8\}$, $B=\{1,2,3,4\}$ の とき

演算えんざん	結果けっか
$A\cap B$	$\{2,4\}$
$A\cup B$	$\{1,2,3,4,6,8\}$
$A‾$	$\{1,3,5,7,9,10\}$
$A\cap B‾$	$\{6,8\}$

ド・モルガン の 法則ほうそく

$A\cap B‾=A‾\cup B‾$ $A\cup B‾=A‾\cap B‾$

ポイント: 「$\cap$ と $\cup$ が 入いれ かわって、 個別こべつ に バー が つく」 と 覚おぼえる。 集合しゅうごう だけ で なく 命題めいだい (and/or/not) でも 同おなじ 形かたち が 成なり立たち ます。

3. 命題めいだい と 条件じょうけん

命題めいだい と は

命題めいだい と は 「真しん か 偽にせ か が 判定はんてい できる 文ぶん」 です。

文ぶん	命題めいだい か	真偽しんぎ
「$2+3=5$」	命題めいだい	真しん
「$1+1=3$」	命題めいだい	偽にせ
「$x>0$」	(条件じょうけん)	$x$ に よる
「明日あした は 雨あめ」	命題めいだい で ない	(主観しゅかん)

条件じょうけん と 命題めいだい 「$p\Rightarrow q$」

$x$ などの 変数へんすう を 含ふくむ 文ぶん を 条件じょうけん と いい、 「$p$ ならば $q$」 を $p\Rightarrow q$ と 書かき ます。 これ も ひとつ の 命題めいだい です。

例れい: $p:$「$x=2$」, $q:$「$x^2=4$」 の とき、 $p\Rightarrow q$ は 真ま。

反例はんれい

命題めいだい が 偽にせ で ある こと を 示しめす に は 反例はんれい を 1 つ 挙あげ れば よい。

例れい: 「$x^2=4$ ならば $x=2$」 は 偽にせ。 反例はんれい は $x=-2$。

大事だいじ: 真しん を 示しめす に は すべて の 場合ばあい で 成なり立たつ こと を 述のべる、 偽にせ を 示しめす に は 反例はんれい を 1 つ 出だす。 この 非対称ひたいしょう性せい が 高校こうこう数学すうがく の 鉄則てっそく。

4. 否定ひてい と ド・モルガン

否定ひてい

条件じょうけん$p$ の 否定ひてい を $p‾$ と 書かき ます。

$p$	$p‾$
$x=2$	$x\ne 2$
$x>3$	$x\le 3$
すべて の $x$ で $p$	ある $x$ で $p‾$
ある $x$ で $p$	すべて の $x$ で $p‾$

「かつ」 と 「または」 の 否定ひてい

$p かつ q‾=p‾ または q‾$ $p または q‾=p‾ かつ q‾$

ポイント: 「すべて」 の 否定ひてい は 「ある」、 「ある」 の 否定ひてい は 「すべて」。 「かつ」 と 「または」 は 否定ひてい で 入いれ かわる。 第だい 3 章しょう以降いこう の 不等式ふとうしき の 否定ひてい でも 必須ひっす です。

5. 逆ぎゃく・裏うら・対偶たいぐう

命題めいだい 「$p\Rightarrow q$」 に 対たいし て、

名前なまえ	形かたち
元もと の 命題めいだい	$p\Rightarrow q$
**[[逆	ぎゃく]]**
**[[裏	うら]]**
**[[対偶	たいぐう]]**

真偽しんぎ の 関係かんけい

• 元もと の 命題めいだい と 対偶たいぐう の 真偽しんぎ は 必かならず 一致いっち する
• 元もと の 命題めいだい と 逆ぎゃく・裏うら の 真偽しんぎ は 一致いっち する とは 限きりら ない

例れい: 元もと: 「$x=2\Rightarrow x^2=4$」 (真ま)

名前なまえ	命題めいだい	真偽しんぎ
逆ぎゃく	$x^2=4\Rightarrow x=2$	偽にせ ($x=-2$ が 反例はんれい)
裏うら	$x\ne 2\Rightarrow x^2\ne 4$	偽にせ ($x=-2$ が 反例はんれい)
対偶たいぐう	$x^2\ne 4\Rightarrow x\ne 2$	真しん

大事だいじ: 直接ちょくせつ証明しょうめい が むずかしい 命題めいだい は、 対偶たいぐう を 証明しょうめい する こと で 元もと の 命題めいだい を 示しめせ ます (対偶たいぐう法ほう)。

6. 必要ひつよう条件じょうけん・十分じゅうぶん条件じょうけん

「$p\Rightarrow q$」 が 真しん の とき:

立場たちば	名前なまえ
$p$ から 見みる と	**$p$ は $q$ で ある ため の [[十分条件
$q$ から 見みる と	**$q$ は $p$ で ある ため の [[必要条件

必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけん

$p\Rightarrow q$ も $q\Rightarrow p$ も 真しん の とき、 $p$ と $q$ は 必要十分条件ひつようじゅうぶんじょうけん と いい、

$p\iff q$

と 書かき ます ($p$ は $q$ と 同値どうち)。

例題れいだい

$p:$「$x=2$」, $q:$「$x^2=4$」 の とき

• $p\Rightarrow q$: 真しん (代入だいにゅう すれば $4=4$)
• $q\Rightarrow p$: 偽にせ ($x=-2$)

よって $p$ は $q$ で ある ため の 十分条件じゅうぶんじょうけん だが 必要条件ひつようじょうけん では ない。

覚おぼえ方かた の コツ

「矢や の 出発しゅっぱつ が 十分じゅうぶん、 矢や の 到着とうちゃく が 必要ひつよう」。 $p\Rightarrow q$ なら $p$ が 十じゅう分ふん (出発しゅっぱつ)、 $q$ が 必要ひつよう (到着とうちゃく)。

ポイント: 試験しけん で よく 出でる の が 「$p$ は $q$ の 何なに条件じょうけん か」 の 4 択。 $p\Rightarrow q$ と $q\Rightarrow p$ の 両方りょうほう を 確認かくにん し て 必要ひつよう / 十分じゅうぶん / 必要ひつよう十じゅう分ふん / どちら でも ない の どれ か を 答こたえ ます。

まとめ

• 集合しゅうごう の 演算えんざん は $\cap ,\cup ,\hspace{0.25em} ‾$ の 3 つ。 ド・モルガンの法則ド・モルガンのほうそく が 万能ばんのう
• 真しん は 全ぜん場合ばあい で、 偽にせ は 反例はんれい 1 つ で 示しめす
• 元もと の 命題めいだい と 対偶たいぐう の 真偽しんぎ は 一致いっち
• 「$p\Rightarrow q$」 が 真しん なら $p$ は 十分じゅうぶん、 $q$ は 必要ひつよう

次じ章しょう で は 第だい 1 章しょう で 学まなんだ 計算けいさん力りょく と この 章しょう の 場合ばあい分わけ を 使つかって 一次不等式いちじふとうしき・二次不等式にじふとうしき を 解とき ます。