集合しゅうごうと命題めいだい

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがくでは 「正ただしいかどうか」 を直感ちょっかん的てきに判断はんだんしてきましたが、 高校こうこうでは 論理ろんり の言葉ことばできちんと議論ぎろんします。 ここが数学すうがくの 「証明しょうめい」 の入口いりぐちです。

• 集合しゅうごう の表あらわし方かたと演算えんざん (共通部分きょうつうぶぶん・和集合わしゅうごう・補集合ほしゅうごう)
• ド・モルガンの法則ド・モルガンのほうそく
• 命題めいだい とは何なにか、 真偽しんぎを判定はんていする
• 逆ぎゃく・裏うら・対偶たいぐう の関係かんけい
• 必要条件ひつようじょうけん・十分条件じゅうぶんじょうけん・必要十分条件ひつようじゅうぶんじょうけん

ポイント: 「$x=2$ なら $x^2=4$」 は正ただしいけれど、 「$x^2=4$ なら $x=2$」 は正ただしくない ($x=-2$ もある)。 こういう 「逆ぎゃくが成なり立たつか」 を正確せいかくに判定はんていする力ちからをつけます。

1. 集合しゅうごうの基本きほん

集合しゅうごうと要素ようそ

集合しゅうごう とは 「ある条件じょうけんを満みたすものの集あつまり」 です。 集合しゅうごうをつくるひとつひとつを 要素ようそ といいます。

記号きごう	読よみ	意味いみ
$a\in A$	$a$ は $A$ の要素ようそ	$a$ が $A$ に属ぞくする
$a\notin A$	$a$ は $A$ の要素ようそでない	$a$ が $A$ に属ぞくさない

集合しゅうごうの表あらわし方かた

表あらわし方かた	例れい
要素ようそ列挙れっきょ法ほう	$A=\{1,2,3,4,5\}$
条件じょうけん提示ていじ法ほう	$B=\{x\mid x は 10 以下の自然数\}$

部分ぶぶん集合しゅうごう

$A$ のすべての要素ようそが $B$ に属ぞくすとき、 $A$ は $B$ の 部分集合ぶぶんしゅうごう といい、

$A\subset B$

と書かきます。

大事だいじ: $A=B$ とは 「$A\subset B$ かつ $B\subset A$」 のこと。 等しいひとしい ことの証明しょうめいでは両りょう向むきを示しめします。

2. 集合しゅうごうの演算えんざん

共通きょうつう部分ぶぶん・和かず集合しゅうごう・補ほ集合しゅうごう

記号きごう	名前なまえ	意味いみ
$A\cap B$	共通部分きょうつうぶぶん	$A$ と $B$ のどちらにも属ぞくする
$A\cup B$	和集合わしゅうごう	$A$ か $B$ の少すくなくとも一方いっぽうに属ぞくする
$A‾$	補集合ほしゅうごう	全体集合ぜんたいしゅうごう $U$ の中なかで $A$ に属ぞくさない
$\varnothing$	空集合くうしゅうごう	要素ようそがひとつもない

具体ぐたい例れい

$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, $A=\{2,4,6,8\}$, $B=\{1,2,3,4\}$ のとき

演算えんざん	結果けっか
$A\cap B$	$\{2,4\}$
$A\cup B$	$\{1,2,3,4,6,8\}$
$A‾$	$\{1,3,5,7,9,10\}$
$A\cap B‾$	$\{6,8\}$

ド・モルガンの法則ほうそく

$A\cap B‾=A‾\cup B‾$ $A\cup B‾=A‾\cap B‾$

ポイント: 「$\cap$ と $\cup$ が入いれかわって、 個別こべつにバーがつく」 と覚おぼえる。 集合しゅうごうだけでなく命題めいだい (and/or/not) でも同おなじ形かたちが成なり立たちます。

3. 命題めいだいと条件じょうけん

命題めいだいとは

命題めいだい とは 「真しんか偽にせかが判定はんていできる文ぶん」 です。

文ぶん	命題めいだいか	真偽しんぎ
「$2+3=5$」	命題めいだい	真しん
「$1+1=3$」	命題めいだい	偽にせ
「$x>0$」	(条件じょうけん)	$x$ による
「明日あしたは雨あめ」	命題めいだいでない	(主観しゅかん)

条件じょうけんと命題めいだい 「$p\Rightarrow q$」

$x$ などの変数へんすうを含ふくむ文ぶんを 条件じょうけん といい、 「$p$ ならば $q$」 を $p\Rightarrow q$ と書かきます。 これもひとつの命題めいだいです。

例れい: $p:$「$x=2$」, $q:$「$x^2=4$」 のとき、 $p\Rightarrow q$ は 真ま。

反例はんれい

命題めいだいが 偽にせ であることを示しめすには 反例はんれい を 1 つ挙あげればよい。

例れい: 「$x^2=4$ ならば $x=2$」 は偽にせ。 反例はんれいは $x=-2$。

大事だいじ: 真しんを示しめすには すべての場合ばあいで成なり立たつこと を述のべる、 偽にせを示しめすには 反例はんれいを 1 つ 出だす。 この非対称ひたいしょう性せいが高校こうこう数学すうがくの鉄則てっそく。

4. 否定ひていとド・モルガン

否定ひてい

条件じょうけん$p$ の 否定ひてい を $p‾$ と書かきます。

$p$	$p‾$
$x=2$	$x\ne 2$
$x>3$	$x\le 3$
すべての $x$ で $p$	ある $x$ で $p‾$
ある $x$ で $p$	すべての $x$ で $p‾$

「かつ」 と 「または」 の否定ひてい

$p かつ q‾=p‾ または q‾$ $p または q‾=p‾ かつ q‾$

ポイント: 「すべて」 の否定ひていは 「ある」、 「ある」 の否定ひていは 「すべて」。 「かつ」 と 「または」 は否定ひていで入いれかわる。 第だい 3 章しょう以降いこうの不等式ふとうしきの否定ひていでも必須ひっすです。

5. 逆ぎゃく・裏うら・対偶たいぐう

命題めいだい 「$p\Rightarrow q$」 に対たいして、

名前なまえ	形かたち
元もとの命題めいだい	$p\Rightarrow q$
逆ぎゃく	$q\Rightarrow p$
裏うら	$p‾\Rightarrow q‾$
対偶たいぐう	$q‾\Rightarrow p‾$

真偽しんぎの関係かんけい

• 元もとの命題めいだいと 対偶たいぐう の真偽しんぎは必かならず一致いっちする
• 元もとの命題めいだいと逆ぎゃく・裏うらの真偽しんぎは一致いっちするとは限かぎらない

例れい: 元もと: 「$x=2\Rightarrow x^2=4$」 (真ま)

名前なまえ	命題めいだい	真偽しんぎ
逆ぎゃく	$x^2=4\Rightarrow x=2$	偽にせ ($x=-2$ が反例はんれい)
裏うら	$x\ne 2\Rightarrow x^2\ne 4$	偽にせ ($x=-2$ が反例はんれい)
対偶たいぐう	$x^2\ne 4\Rightarrow x\ne 2$	真しん

大事だいじ: 直接ちょくせつ証明しょうめいがむずかしい命題めいだいは、 対偶たいぐうを証明しょうめいする ことで元もとの命題めいだいを示しめせます (対偶たいぐう法ほう)。

6. 必要ひつよう条件じょうけん・十分じゅうぶん条件じょうけん

「$p\Rightarrow q$」 が真しんのとき:

立場たちば	名前なまえ
$p$ から見みると	$p$ は $q$ であるための 十分条件じゅうぶんじょうけん
$q$ から見みると	$q$ は $p$ であるための 必要条件ひつようじょうけん

必要ひつよう十じゅう分ふん条件じょうけん

$p\Rightarrow q$ も $q\Rightarrow p$ も真しんのとき、 $p$ と $q$ は 必要十分条件ひつようじゅうぶんじょうけん といい、

$p\iff q$

と書かきます ($p$ は $q$ と同値どうち)。

例題れいだい

$p:$「$x=2$」, $q:$「$x^2=4$」 のとき

• $p\Rightarrow q$: 真しん (代入だいにゅうすれば $4=4$)
• $q\Rightarrow p$: 偽にせ ($x=-2$)

よって $p$ は $q$ であるための 十分条件じゅうぶんじょうけん だが 必要条件ひつようじょうけん ではない。

覚おぼえ方かたのコツ

「矢やの出発しゅっぱつが十分じゅうぶん、 矢やの到着とうちゃくが必要ひつよう」。 $p\Rightarrow q$ なら $p$ が 十じゅう分ふん (出発しゅっぱつ)、 $q$ が 必要ひつよう (到着とうちゃく)。

ポイント: 試験しけんでよく出でるのが 「$p$ は $q$ の何なん条件じょうけんか」 の 4 択。 $p\Rightarrow q$ と $q\Rightarrow p$ の両方りょうほうを確認かくにんして必要ひつよう / 十分じゅうぶん / 必要ひつよう十じゅう分ふん / どちらでもないのどれかを答えこたえます。

まとめ

• 集合しゅうごう の演算えんざんは $\cap ,\cup ,\hspace{0.25em} ‾$ の 3 つ。 ド・モルガンの法則ド・モルガンのほうそく が万能ばんのう
• 真しんは全ぜん場合ばあいで、 偽にせは 反例はんれい 1 つ で示しめす
• 元もとの命題めいだいと 対偶たいぐう の真偽しんぎは一致いっち
• 「$p\Rightarrow q$」 が真しんなら $p$ は十分じゅうぶん、 $q$ は必要ひつよう

次じ章しょうでは第だい 1 章しょうで学まなんだ計算けいさん力りょくとこの章しょうの場合ばあい分わけを使つかって 一次不等式いちじふとうしき・二次不等式にじふとうしき を解ときます。