この 章 で 学ぶ こと
中学 で は 「正しい か どうか」 を 直感的 に 判断 して き ました が、 高校 では 論理 の 言葉 で きちんと 議論 し ます。 ここ が 数学 の 「証明」 の 入口 です。
- 集合 の 表し方 と 演算 (共通部分・和集合・補集合)
- ド・モルガンの法則
- 命題 と は 何 か、 真偽 を 判定 する
- 逆・裏・対偶 の 関係
- 必要条件・十分条件・必要十分条件
ポイント: 「x=2 なら x2=4」 は 正しい けれど、 「x2=4 なら x=2」 は 正しく ない (x=−2 も ある)。 こういう 「逆 が 成り立つ か」 を 正確 に 判定 する 力 を つけ ます。
1. 集合 の 基本
集合 と 要素
集合 と は 「ある 条件 を 満たす もの の 集まり」 です。 集合 を つくる ひとつ ひとつ を 要素 と いい ます。
| 記号 | 読み | 意味 |
|---|
| a∈A | a は A の 要素 | a が A に 属する |
| a∈/A | a は A の 要素 で ない | a が A に 属さ ない |
集合 の 表し方
| 表し方 | 例 |
|---|
| 要素列挙法 | A={1,2,3,4,5} |
| 条件提示法 | B={x∣x は 10 以下 の 自然数} |
部分集合
A の すべて の 要素 が B に 属す とき、 A は B の 部分集合 と いい、
A⊂B
と 書き ます。
大事: A=B と は 「A⊂B かつ B⊂A」 の こと。 等しい こと の 証明 では 両向き を 示し ます。
2. 集合 の 演算
共通部分・和集合・補集合
| 記号 | 名前 | 意味 |
|---|
| A∩B | **[[共通部分 | きょうつうぶぶん]]** |
| A∪B | **[[和集合 | わしゅうごう]]** |
| A | **[[補集合 | ほしゅうごう]]** |
| ∅ | **[[空集合 | くうしゅうごう]]** |
具体例
U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A={2,4,6,8}, B={1,2,3,4} の とき
| 演算 | 結果 |
|---|
| A∩B | {2,4} |
| A∪B | {1,2,3,4,6,8} |
| A | {1,3,5,7,9,10} |
| A∩B | {6,8} |
ド・モルガン の 法則
A∩B=A∪B
A∪B=A∩B
ポイント: 「∩ と ∪ が 入れ かわって、 個別 に バー が つく」 と 覚える。 集合 だけ で なく 命題 (and/or/not) でも 同じ 形 が 成り立ち ます。
3. 命題 と 条件
命題 と は
命題 と は 「真 か 偽 か が 判定 できる 文」 です。
| 文 | 命題 か | 真偽 |
|---|
| 「2+3=5」 | 命題 | 真 |
| 「1+1=3」 | 命題 | 偽 |
| 「x>0」 | (条件) | x に よる |
| 「明日 は 雨」 | 命題 で ない | (主観) |
条件 と 命題 「p⇒q」
x などの 変数 を 含む 文 を 条件 と いい、 「p ならば q」 を p⇒q と 書き ます。 これ も ひとつ の 命題 です。
例: p:「x=2」, q:「x2=4」 の とき、 p⇒q は 真。
反例
命題 が 偽 で ある こと を 示す に は 反例 を 1 つ 挙げ れば よい。
例: 「x2=4 ならば x=2」 は 偽。 反例 は x=−2。
大事: 真 を 示す に は すべて の 場合 で 成り立つ こと を 述べる、 偽 を 示す に は 反例 を 1 つ 出す。 この 非対称性 が 高校数学 の 鉄則。
4. 否定 と ド・モルガン
否定
条件p の 否定 を p と 書き ます。
| p | p |
|---|
| x=2 | x=2 |
| x>3 | x≤3 |
| すべて の x で p | ある x で p |
| ある x で p | すべて の x で p |
「かつ」 と 「または」 の 否定
p かつ q=p または q
p または q=p かつ q
ポイント: 「すべて」 の 否定 は 「ある」、 「ある」 の 否定 は 「すべて」。 「かつ」 と 「または」 は 否定 で 入れ かわる。 第 3 章以降 の 不等式 の 否定 でも 必須 です。
5. 逆・裏・対偶
命題 「p⇒q」 に 対し て、
| 名前 | 形 |
|---|
| 元 の 命題 | p⇒q |
| **[[逆 | ぎゃく]]** |
| **[[裏 | うら]]** |
| **[[対偶 | たいぐう]]** |
真偽 の 関係
- 元 の 命題 と 対偶 の 真偽 は 必ず 一致 する
- 元 の 命題 と 逆・裏 の 真偽 は 一致 する とは 限ら ない
例: 元: 「x=2⇒x2=4」 (真)
| 名前 | 命題 | 真偽 |
|---|
| 逆 | x2=4⇒x=2 | 偽 (x=−2 が 反例) |
| 裏 | x=2⇒x2=4 | 偽 (x=−2 が 反例) |
| 対偶 | x2=4⇒x=2 | 真 |
大事: 直接証明 が むずかしい 命題 は、 対偶 を 証明 する こと で 元 の 命題 を 示せ ます (対偶法)。
6. 必要条件・十分条件
「p⇒q」 が 真 の とき:
| 立場 | 名前 |
|---|
| p から 見る と | **p は q で ある ため の [[十分条件 |
| q から 見る と | **q は p で ある ため の [[必要条件 |
必要十分条件
p⇒q も q⇒p も 真 の とき、 p と q は 必要十分条件 と いい、
p⇔q
と 書き ます (p は q と 同値)。
例題
p:「x=2」, q:「x2=4」 の とき
- p⇒q: 真 (代入 すれば 4=4)
- q⇒p: 偽 (x=−2)
よって p は q で ある ため の 十分条件 だが 必要条件 では ない。
覚え方 の コツ
「矢 の 出発 が 十分、 矢 の 到着 が 必要」。 p⇒q なら p が 十分 (出発)、 q が 必要 (到着)。
ポイント: 試験 で よく 出る の が 「p は q の 何条件 か」 の 4 択。 p⇒q と q⇒p の 両方 を 確認 し て 必要 / 十分 / 必要十分 / どちら でも ない の どれ か を 答え ます。
まとめ
- 集合 の 演算 は ∩,∪, の 3 つ。 ド・モルガンの法則 が 万能
- 真 は 全場合 で、 偽 は 反例 1 つ で 示す
- 元 の 命題 と 対偶 の 真偽 は 一致
- 「p⇒q」 が 真 なら p は 十分、 q は 必要
次章 で は 第 1 章 で 学んだ 計算力 と この 章 の 場合分け を 使って 一次不等式・二次不等式 を 解き ます。