図形ずけい — 合同ごうどう・相似そうじ・円周えんしゅう角かく・角度かくど

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう2 の合同ごうどう、 中ちゅう3 の相似そうじと円周角えんしゅうかくを学まなびます。 図形ずけいの性質せいしつを使つかって長ながさや角度かくどを求もとめる問題もんだいが中心ちゅうしんです。

• 合同ごうどうの条件じょうけん
• 相似そうじの条件じょうけんと相似比そうじひ
• 相似そうじ比ひと面積めんせき比ひ・体積たいせき比ひ
• 円周角の定理えんしゅうかくのていり
• 角度かくどの計算けいさん

ポイント: 図形ずけいの問題もんだいは 「どの性質せいしつが使つかえるか」 を見みぬくことが大切たいせつ。 相似な三角形そうじなさんかっけいを見みつけられるかどうかが、 長ながさを求もとめるカギになります。

1. 合同ごうどうと相似そうじ

合同ごうどう は形かたちも大おおきさも同おなじ、 相似そうじ は形かたちは同おなじで大おおきさがちがう (拡大かくだい・縮小しゅくしょう) 関係かんけいです。

三角形さんかくけいの合同ごうどう条件じょうけん

• 3 組くみの辺へんがそれぞれ等ひとしい
• 2 組くみの辺へんとその間かんの角かくがそれぞれ等ひとしい
• 1 組くみの辺へんとその両端りょうたんの角かくがそれぞれ等ひとしい

三角形さんかくけいの相似そうじ条件じょうけん

• 3 組くみの辺へんの比ひがすべて等ひとしい
• 2 組くみの辺へんの比ひとその間かんの角かくが等ひとしい
• 2 組くみの角かくがそれぞれ等ひとしい

大事だいじ: 入試にゅうしでも数すう検けんでも、 相似そうじの証明しょうめいでいちばんよく使つかうのは 「2 組くみの角かくがそれぞれ等ひとしい」 です。 平行へいこう線せんの錯角さっかくや共通きょうつうの角かくを手てがかりにしましょう。

2. 相似そうじ比ひと面積めんせき比ひ・体積たいせき比ひ

相似そうじな図形ずけいで、 対応たいおうする辺へんの比ひを 相似比そうじひ といいます。 相似そうじ比ひが $m:n$ のとき、

	比ひ
長ながさ (周しゅうの長ながさなど)	$m:n$
面積めんせき	$m^2:n^2$
体積たいせき	$m^3:n^3$

例題れいだい: 2 つの相似な三角形そうじなさんかっけいの相似比そうじひが $2:3$ のとき、 面積めんせき比ひを求もとめよ。

$2^2:3^2=4:9$

検算けんざん: 相似そうじ比ひ$2:3$ なので、 たとえば底辺ていへん$2,3$、 高たかさも $2:3$ で $2,3$ とすると面積めんせきは $\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$ と $\frac{1}{2}\times 3\times 3=4.5$、 比ひは $2:4.5=4:9$。 一致いっちする。

大事だいじ: 面積めんせき比ひは相似そうじ比ひの 2 乗じょう、 体積たいせき比ひは 3 乗じょう です。 「相似そうじ比ひ$2:3$ だから面積めんせき比ひも $2:3$」 としてしまうのがよくあるミス。

3. 円周えんしゅう角かくの定理ていり

1 つの弧こに対たいする 円周角えんしゅうかく はつねに等ひとしく、 同おなじ弧こに対たいする 中心角ちゅうしんかく の半分はんぶんになります。

$\left(円周角\right)=\frac{1}{2}\times \left(中心角\right)$

また、 半円はんえん (直径ちょっけい) に対たいする円周えんしゅう角かくは $90°$ になります。

例題れいだい: 円えんで、 ある弧こに対たいする中心角ちゅうしんかくが $130°$ のとき、 その弧こに対たいする円周角えんしゅうかくを求もとめよ。

$130°÷2=65°$

検算けんざん: 円周えんしゅう角かく$65°$ を 2 倍ばいすると $130°$ で中心ちゅうしん角かくに戻もどる。 正ただしい。

ポイント: 「直径ちょっけいを見みたら $90°$」 はとてもよく使つかいます。 直径ちょっけいがひかれている図ずで直角ちょっかく三角形さんかくけいを見みつけ、 三平方の定理さんへいほうのていり (次じ章しょう) につなげるパターンが頻出ひんしゅつです。

4. 角度かくどの計算けいさん

三角形さんかくけいの内角ないかくの和わは $180°$、 多角形たかくけいの外角がいかくの和わはつねに $360°$。 これを組み合わせくみあわせて角度かくどを求もとめます。

例題れいだい: 三角形さんかくけいの 2 つの内角ないかくが $50°$ と $70°$ のとき、 残のこりの内角ないかくを求もとめよ。

$180°-50°-70°=60°$

検算けんざん: $50+70+60=180$。 内角ないかくの和わが $180°$ になる。 正ただしい。

例題れいだい (外角がいかく): 正五角形せいごかくけいの 1 つの外角がいかくを求もとめよ。

外角がいかくの和わは $360°$、 5 等分とうぶんして

$360°÷5=72°$

検算けんざん: 1 つの内角ないかくは $180°-72°=108°$、 五角形ごかくけいの内角ないかくの和わは $108°\times 5=540°$。 一方いっぽう$n$角形かくがたの内角ないかくの和わの公式こうしき$180°\times (5-2)=540°$ と一致いっち。 正ただしい。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「円周角えんしゅうかくや平行へいこう線せんを使つかった角度かくどの計算けいさん」 がよく出でます。
• 二に次じでは 「相似そうじを使つかって長ながさを求もとめる」 「相似比そうじひから面積めんせきを求もとめる」 など、 図形ずけいの性質せいしつを組くみ合あわせる問題もんだいが出でます。

よくまちがえるところ

図形ずけいは、 比ひの乗のり方かた と 円周角えんしゅうかくの向むき の取とりちがえがよく起おきます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
相似比そうじひをそのまま面積めんせき比ひにする	相似そうじ比ひ 2 : 3 の三角形さんかくけいの面積めんせき比ひを 2 : 3 とする	面積めんせき比ひは 2 乗じょうして 4 : 9
体積たいせき比ひを 2 乗じょうにする	相似そうじ比ひ 2 : 3 の立体りったいの体積たいせき比ひを 4 : 9 とする	体積たいせき比ひは 3 乗じょうして 8 : 27
円周角えんしゅうかくと中心角ちゅうしんかくを逆ぎゃくにする	中心ちゅうしん角かく 130° の弧こに対たいする円周えんしゅう角かくを 260° とする	円周えんしゅう角かくは中心ちゅうしん角かくの半分はんぶん。 130° ÷ 2 = 65°
相似そうじを書かくとき対応たいおうの順じゅんをそろえない	対応たいおうが A-D、 B-E、 C-F なのに 三角形さんかくけい ABC ∽ 三角形さんかくけい EDF と書かく	三角形さんかくけい ABC ∽ 三角形さんかくけい DEF と対応たいおうの順じゅんに書かく

いちばん多おおいのは 相似そうじ比ひと面積めんせき比ひの取とりちがえ です。 相似そうじ比ひ m : n のとき、 長ながさは m : n、 面積めんせきは m² : n²、 体積たいせきは m³ : n³ になります。 相似そうじ比ひ 2 : 3 の三角形さんかくけいで底辺ていへんも高たかさも 2 : 3 だと考かんがえると、 面積めんせきは (1/2) × 2 × 2 = 2 と (1/2) × 3 × 3 = 4.5 で、 比ひは 4 : 9 になります。 このように 「長ながさが 2 か所しょかかるから 2 乗じょう」 と理由りゆうごと覚おぼえると、 体積たいせきが 3 乗じょうになることも自然しぜんに出でてきます。

相似そうじ比ひから求もとめる手順てじゅん

順番じゅんばん	やること	例れい (相似そうじ比ひ 3 : 5、 小ちいさいほうの面積めんせき 18)
1	相似そうじ比ひを m : n の形かたちで書かく	3 : 5
2	求もとめるものが長ながさか面積めんせきか体積たいせきかを見分みわける	面積めんせき
3	長ながさなら m : n、 面積めんせきなら m² : n²、 体積たいせきなら m³ : n³ にする	9 : 25
4	分わかっている値あたいを比ひにあてはめて式しきを立たてる	9 : 25 = 18 : x
5	比ひの計算けいさんで求もとめる	9x = 450 より x = 50
6	大小だいしょうの関係かんけいが自然しぜんか確たしかめる	大おおきいほうが 50 で正ただしい

手順てじゅん 6 を飛とばさないでください。 相似そうじ比ひの大おおきいほうと小ちいさいほうを取とりちがえると、 大おおきい図形ずけいの面積めんせきが小ちいさくなるという答えこたえが出でます。 数値すうちが出でたら 「大おおきい図形ずけいのほうが大おおきい値あたいになっているか」 を必かならず見みましょう。

ポイント: 円えんの問題もんだいで直径ちょっけいがひかれていたら、 直径ちょっけいに対たいする円周角えんしゅうかくが 90° であることをまず疑うたがいます。 直角ちょっかく三角形さんかくけいが見みつかれば、 次じ章しょうの三平方の定理さんへいほうのていりにつなげられます。

自分じぶんでチェック

• 相似そうじの条件じょうけんを 3 つ挙あげられる
• 相似比そうじひ m : n から面積めんせき比ひ m² : n²、 体積たいせき比ひ m³ : n³ を出だせる
• 円周角えんしゅうかくが中心角ちゅうしんかくの半分はんぶんだと言いえる
• 直径ちょっけいに対たいする円周えんしゅう角かくが 90° だと言いえる
• 相似そうじ・合同ごうどうを対応たいおうする頂点ちょうてんの順じゅんに書かける

まとめ

• 合同ごうどう = 同おなじ形かたち・同おなじ大おおきさ、 相似そうじ = 同おなじ形かたち・ちがう大おおきさ
• 相似比そうじひ $m:n$ → 面積めんせき比ひ$m^2:n^2$、 体積たいせき比ひ$m^3:n^3$
• 円周角えんしゅうかく = 中心角ちゅうしんかくの半分はんぶん、 直径ちょっけいに対たいする円周えんしゅう角かくは $90°$
• 三角形さんかくけいの内角ないかくの和$180°$、 外角がいかくの和$360°$

次章しょうでは、 図形ずけいの強力きょうりょくな道具どうぐ 三平方の定理さんへいほうのていり を学まなびます。