図形ずけい — 合同ごうどう・相似そうじ・円周えんしゅう角かく・角度かくど

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう2 の 合同ごうどう、 中ちゅう3 の 相似そうじ と 円周角えんしゅうかく を学まなびます。 図形ずけいの性質せいしつを使つかって長ながさや角度かくどを求もとめる問題もんだいが中心ちゅうしんです。

• 合同ごうどう の条件じょうけん
• 相似そうじ の条件じょうけんと 相似比そうじひ
• 相似そうじ比ひと面積めんせき比ひ・体積たいせき比ひ
• 円周角の定理えんしゅうかくのていり
• 角度かくどの計算けいさん

ポイント: 図形ずけいの問題もんだいは 「どの性質せいしつが使つかえるか」 を見みぬくことが大切たいせつ。 相似な三角形そうじなさんかっけいを見みつけられるかどうかが、 長ながさを求もとめるカギになります。

1. 合同ごうどうと相似そうじ

合同ごうどう は形かたちも大おおきさも同おなじ、 相似そうじ は形かたちは同おなじで大おおきさがちがう (拡大かくだい・縮小しゅくしょう) 関係かんけいです。

三角形さんかくけいの合同ごうどう条件じょうけん

• 3 組くみの辺あたりがそれぞれ等ひとしい
• 2 組くみの辺あたりとその間かんの角かくがそれぞれ等ひとしい
• 1 組くみの辺あたりとその両端りょうたんの角かくがそれぞれ等ひとしい

三角形さんかくけいの相似そうじ条件じょうけん

• 3 組くみの辺あたりの比ひがすべて等ひとしい
• 2 組くみの辺あたりの比ひとその間かんの角かくが等ひとしい
• 2 組くみの角かくがそれぞれ等ひとしい

大事だいじ: 入試にゅうしでも数すう検けんでも、 相似そうじ の証明しょうめいでいちばんよく使つかうのは 「2 組くみの角かくがそれぞれ等ひとしい」 です。 平行へいこう線せんの 錯角さっかく や共通きょうつうの角かくを手てがかりにしましょう。

2. 相似そうじ比ひと面積めんせき比ひ・体積たいせき比ひ

相似そうじ な図形ずけいで、 対応たいおうする辺あたりの比ひを 相似比そうじひ といいます。 相似そうじ比ひが $m:n$ のとき、

	比ひ
長ながさ (周しゅうの長ながさなど)	$m:n$
面積めんせき	$m^2:n^2$
体積たいせき	$m^3:n^3$

例題れいだい: 2 つの 相似な三角形そうじなさんかっけいの 相似比そうじひ が $2:3$ のとき、 面積めんせき比ひを求もとめよ。

$2^2:3^2=4:9$

検算けんざん: 相似そうじ比ひ$2:3$ なので、 たとえば底辺ていへん$2,3$、 高たかさも $2:3$ で $2,3$ とすると面積めんせきは $\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$ と $\frac{1}{2}\times 3\times 3=4.5$、 比ひは $2:4.5=4:9$。 一致いっちする。

大事だいじ: 面積めんせき比ひは相似そうじ比ひの 2 乗じょう、 体積たいせき比ひは 3 乗じょう です。 「相似そうじ比ひ$2:3$ だから面積めんせき比ひも $2:3$」 としてしまうのがよくあるミス。

3. 円周えんしゅう角かくの定理ていり

1 つの弧こに対たいする 円周角えんしゅうかく はつねに等ひとしく、 同おなじ弧こに対たいする 中心角ちゅうしんかく の半分はんぶんになります。

$\left(円周角\right)=\frac{1}{2}\times \left(中心角\right)$

また、 半円はんえん (直径ちょっけい) に対たいする円周えんしゅう角かくは $90°$ になります。

例題れいだい: 円えんで、 ある弧こに対たいする 中心角ちゅうしんかく が $130°$ のとき、 その弧こに対たいする 円周角えんしゅうかく を求もとめよ。

$130°÷2=65°$

検算けんざん: 円周えんしゅう角かく$65°$ を 2 倍ばいすると $130°$ で中心ちゅうしん角かくに戻もどる。 正ただしい。

ポイント: 「直径ちょっけいを見みたら $90°$」 はとてもよく使つかいます。 直径ちょっけいがひかれている図ずで直角ちょっかく三角形さんかくけいを見みつけ、 三平方の定理さんへいほうのていり (次じ章しょう) につなげるパターンが頻出ひんしゅつです。

4. 角度かくどの計算けいさん

三角形さんかくけいの内角ないかくの和わは $180°$、 多角たかく形がたの外角がいかくの和かずはつねに $360°$。 これを組み合わせくみあわせて角度かくどを求もとめます。

例題れいだい: 三角形さんかくけいの 2 つの内角ないかくが $50°$ と $70°$ のとき、 残のこりの内角ないかくを求もとめよ。

$180°-50°-70°=60°$

検算けんざん: $50+70+60=180$。 内角ないかくの和わが $180°$ になる。 正ただしい。

例題れいだい (外角がいかく): 正五角形せいごかっけいの 1 つの外角がいかくを求もとめよ。

外角がいかくの和わは $360°$、 5 等分とうぶんして

$360°÷5=72°$

検算けんざん: 1 つの内角ないかくは $180°-72°=108°$、 五角形ごかっけいの内角ないかくの和わは $108°\times 5=540°$。 一方いっぽう$n$角形かくがたの内角ないかくの和わの公式こうしき$180°\times (5-2)=540°$ と一致いっち。 正ただしい。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「円周角えんしゅうかく や平行へいこう線せんを使つかった角度かくどの計算けいさん」 がよく出でます。
• 二に次じでは 「相似そうじ を使つかって長ながさを求もとめる」 「相似比そうじひ から面積めんせきを求もとめる」 など、 図形ずけいの性質せいしつを組くみ合あわせる問題もんだいが出でます。

まとめ

• 合同ごうどう = 同おなじ形かたち・同おなじ大おおきさ、 相似そうじ = 同おなじ形かたち・ちがう大おおきさ
• 相似比そうじひ $m:n$ → 面積めんせき比ひ$m^2:n^2$、 体積たいせき比ひ$m^3:n^3$
• 円周角えんしゅうかく = 中心角ちゅうしんかく の半分はんぶん、 直径ちょっけいに対たいする円周えんしゅう角かくは $90°$
• 三角形さんかくけいの内角ないかくの和$180°$、 外角がいかくの和$360°$

次章しょうでは、 図形ずけいの強力きょうりょくな道具どうぐ 三平方の定理さんへいほうのていり を学まなびます。