図形ずけい — 合同ごうどう・相似そうじ・円周えんしゅう角かく・角度かくど

この 章しょう で 学まなぶ こと

中ちゅう2 の 合同ごうどう、 中ちゅう3 の 相似そうじ と 円周角えんしゅうかく を 学まなび ます。 図形ずけい の 性質せいしつ を 使つかって 長ながさ や 角度かくど を 求もとめる 問題もんだい が 中心ちゅうしん です。

• 合同ごうどう の 条件じょうけん
• 相似そうじ の 条件じょうけん と 相似比そうじひ
• 相似そうじ比ひ と 面積めんせき比ひ・体積たいせき比ひ
• 円周角の定理えんしゅうかくのていり
• 角度かくど の 計算けいさん

ポイント: 図形ずけい の 問題もんだい は 「どの 性質せいしつ が 使つかえる か」 を 見みぬく こと が 大切たいせつ。 相似そうじ な 三角形さんかっけい を 見みつけられる か どう か が、 長ながさ を 求もとめる カギ に なり ます。

1. 合同ごうどう と 相似そうじ

合同ごうどう は 形かたち も 大おおきさ も 同おなじ、 相似そうじ は 形かたち は 同おなじ で 大おおきさ が ちがう (拡大かくだい・縮小しゅくしょう) 関係かんけい です。

三角形さんかっけい の 合同ごうどう条件じょうけん

• 3 組くみ の 辺あたり が それぞれ 等ひとしい
• 2 組くみ の 辺あたり と その 間ま の 角かく が それぞれ 等ひとしい
• 1 組くみ の 辺あたり と その 両端りょうたん の 角かく が それぞれ 等ひとしい

三角形さんかっけい の 相似そうじ条件じょうけん

• 3 組くみ の 辺あたり の 比ひ が すべて 等ひとしい
• 2 組くみ の 辺あたり の 比ひ と その 間ま の 角かく が 等ひとしい
• 2 組くみ の 角かく が それぞれ 等ひとしい

大事だいじ: 入試にゅうし でも 数かず検けん でも、 相似そうじ の 証明しょうめい で いちばん よく 使つかう のは 「2 組くみ の 角かく が それぞれ 等ひとしい」 です。 平行へいこう線せん の 錯角さっかく や 共通きょうつう の 角かく を 手てがかり に し ましょう。

2. 相似そうじ比ひと面積めんせき比ひ・体積たいせき比ひ

相似そうじ な 図形ずけい で、 対応たいおう する 辺あたり の 比ひ を 相似比そうじひ と いい ます。 相似そうじ比ひ が $m:n$ の とき、

	比ひ
長ながさ (周しゅう の 長ながさ など)	$m:n$
面積めんせき	$m^2:n^2$
体積たいせき	$m^3:n^3$

例題れいだい: 2 つ の 相似そうじ な 三角形さんかっけい の 相似比そうじひ が $2:3$ の とき、 面積めんせき比ひ を 求もとめよ。

$2^2:3^2=4:9$

検算けんざん: 相似そうじ比ひ$2:3$ なので、 たとえば 底辺ていへん$2,3$、 高たかさ も $2:3$ で $2,3$ と する と 面積めんせき は $\frac{1}{2}\times 2\times 2=2$ と $\frac{1}{2}\times 3\times 3=4.5$、 比ひ は $2:4.5=4:9$。 一致いっち する。

大事だいじ: 面積めんせき比ひ は 相似そうじ比ひ の 2 乗じょう、 体積たいせき比ひ は 3 乗じょう です。 「相似そうじ比ひ$2:3$ だ から 面積めんせき比ひ も $2:3$」 と して しまう のが よく ある ミス。

3. 円周えんしゅう角かくの定理ていり

1 つ の 弧こ に 対たいする 円周角えんしゅうかく は つねに 等ひとしく、 同おなじ 弧こ に 対たいする 中心角ちゅうしんかく の 半分はんぶん に なり ます。

$\left(円周角\right)=\frac{1}{2}\times \left(中心角\right)$

また、 半円はんえん (直径ちょっけい) に 対たいする 円周えんしゅう角かく は $90°$ に なり ます。

例題れいだい: 円えん で、 ある 弧こ に 対たいする 中心角ちゅうしんかく が $130°$ の とき、 その 弧こ に 対たいする 円周角えんしゅうかく を 求もとめよ。

$130°÷2=65°$

検算けんざん: 円周えんしゅう角かく$65°$ を 2 倍ばい すると $130°$ で 中心ちゅうしん角かく に 戻もどる。 正ただしい。

ポイント: 「直径ちょっけい を 見みたら $90°$」 は とても よく 使つかい ます。 直径ちょっけい が ひかれて いる 図ず で 直角ちょっかく三角形さんかっけい を 見みつけ、 三平方の定理さんへいほうのていり (次じ章しょう) に つなげる パターン が 頻出ひんしゅつ です。

4. 角度かくど の 計算けいさん

三角形さんかっけい の 内角ないかく の 和わ は $180°$、 多角たかく形がた の 外角がいかく の 和わ は つねに $360°$。 これ を 組くみ合あわせ て 角度かくど を 求もとめ ます。

例題れいだい: 三角形さんかっけい の 2 つ の 内角ないかく が $50°$ と $70°$ の とき、 残のこり の 内角ないかく を 求もとめよ。

$180°-50°-70°=60°$

検算けんざん: $50+70+60=180$。 内角ないかく の 和わ が $180°$ に なる。 正ただしい。

例題れいだい (外角がいかく): 正五角形せいごかっけい の 1 つ の 外角がいかく を 求もとめよ。

外角がいかく の 和わ は $360°$、 5 等分とうぶん して

$360°÷5=72°$

検算けんざん: 1 つ の 内角ないかく は $180°-72°=108°$、 五角形ごかっけい の 内角ないかく の 和わ は $108°\times 5=540°$。 一方いっぽう$n$角形かくがた の 内角ないかく の 和わ の 公式こうしき$180°\times (5-2)=540°$ と 一致いっち。 正ただしい。

どう 問とわれる か

• 一いち次じ で は 「円周角えんしゅうかく や 平行へいこう線せん を 使つかった 角度かくど の 計算けいさん」 が よく 出で ます。
• 二に次じ で は 「相似そうじ を 使つかって 長ながさ を 求もとめる」 「相似比そうじひ から 面積めんせき を 求もとめる」 など、 図形ずけい の 性質せいしつ を 組くみ合あわせる 問題もんだい が 出で ます。

まとめ

• 合同ごうどう = 同おなじ 形かたち・同おなじ 大おおきさ、 相似そうじ = 同おなじ 形かたち・ちがう 大おおきさ
• 相似比そうじひ $m:n$ → 面積めんせき比ひ$m^2:n^2$、 体積たいせき比ひ$m^3:n^3$
• 円周角えんしゅうかく = 中心角ちゅうしんかく の 半分はんぶん、 直径ちょっけい に 対たいする 円周えんしゅう角かく は $90°$
• 三角形さんかっけい の 内角ないかく の 和$180°$、 外角がいかく の 和$360°$

次じ章しょう で は、 図形ずけい の 強力きょうりょく な 道具どうぐ 三平方の定理さんへいほうのていり を 学まなび ます。