式しきの展開てんかいと因数いんすう分解ぶんかい

この章しょうで学まなぶこと

展開てんかい (カッコをひらく) と、 その逆ぎゃくの因数分解いんすうぶんかい (積せきの形かたちにもどす) を学まなびます。 これは二次方程式にじほうていしきを解とくための大事だいじな準備じゅんびです。

• 乗法公式じょうほうこうしきを使つかった展開てんかい
• 共通きょうつう因数いんすうをくくり出だす
• 公式こうしきを使つかった因数分解いんすうぶんかい

ポイント: 展開てんかいは 「公式こうしきに当あてはめて一気いっきにひらく」、 因数分解いんすうぶんかいは 「展開てんかいの逆ぎゃくを想像そうぞうする」。 同おなじ公式こうしきを右みぎから左ひだりに読よむか、 左ひだりから右みぎに読よむかのちがいです。

1. 乗法じょうほう公式こうしき (展開てんかい)

つぎの 4 つが中ちゅう3 の乗法公式じょうほうこうしきです。

$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$ $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

例題れいだい: $(x+3)(x-5)$ を展開てんかいせよ。

$a=3, b=-5$ と見みて、

$(x+3)(x-5)=x^2+(3-5)x+3\times (-5)=x^2-2x-15$

検算けんざん: $x=1$ を代入だいにゅう。 もとの式$=(1+3)(1-5)=4\times (-4)=-16$、 答えこたえ $=1-2-15=-16$。 一致いっちする。

例題れいだい: $(2x-3{)}^2$ を展開てんかいせよ。

$a=2x, b=3$ と見みて、

$(2x-3{)}^2=(2x{)}^2-2\times 2x\times 3+3^2=4x^2-12x+9$

検算けんざん: $x=1$ でもと $=(2-3{)}^2=(-1{)}^2=1$、 答えこたえ $=4-12+9=1$。 一致いっち。

大事だいじ: $(a-b{)}^2$ の真まん中なかは $-2ab$ です。 最後さいごの $b^2$ はつねに $+$ ($(-3{)}^2=9$ だから)。 「真まん中なかだけマイナス」 と覚おぼえましょう。

2. 共通きょうつう因数いんすうをくくり出だす

すべての項こうに共通きょうつうしてかかっているものを前まえに出だします。 これが因数分解いんすうぶんかいの第一歩だいいっぽ。

例題れいだい: $3x^2-6x$ を因数分解いんすうぶんかいせよ。

$3x^2-6x=3x(x-2)$

検算けんざん: $3x(x-2)=3x^2-6x$。 展開てんかいするともとにもどる。 正ただしい。

3. 公式こうしきを使つかった因数いんすう分解ぶんかい

乗法公式じょうほうこうしきを逆ぎゃくに使つかいます。

$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$ $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$ $a^2-2ab+b^2=(a-b{)}^2$ $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

和わと積せきからさがす

例題れいだい: $x^2+7x+12$ を因数分解いんすうぶんかいせよ。

「たして $7$、 かけて $12$」 になる 2 数かずをさがすと $3$ と $4$。

$x^2+7x+12=(x+3)(x+4)$

検算けんざん: $(x+3)(x+4)=x^2+7x+12$。 一致いっちする。

差さの 2 乗じょうの形かたち

例題れいだい: $x^2-16$ を因数分解いんすうぶんかいせよ。

$16=4^2$ なので、

$x^2-16=x^2-4^2=(x+4)(x-4)$

検算けんざん: $(x+4)(x-4)=x^2-16$。 一致いっち。

くふうが必要ひつような例れい

例題れいだい: $2x^2-8$ を因数分解いんすうぶんかいせよ。

まず共通きょうつう因数いんすう$2$ をくくり出だしてから公式こうしきを使つかう。

$2x^2-8=2(x^2-4)=2(x+2)(x-2)$

検算けんざん: $2(x+2)(x-2)=2(x^2-4)=2x^2-8$。 一致いっちする。

ポイント: 因数分解いんすうぶんかいは まず共通きょうつう因数いんすうをさがす のが鉄則てっそく。 $2(x^2-4)$ のようにくくり出だしてから、 残のこりに公式こうしきが使つかえないかを考えかんがえます。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「$(x-4)(x+6)$ を展開てんかいせよ」 「$x^2-5x-14$ を因数いんすう分解ぶんかいせよ」 が定番ていばん。
• 因数分解いんすうぶんかいは第だい5章しょうの二次方程式にじほうていしきを解とくときに直接ちょくせつ使つかいます。
• 共通きょうつう因数いんすうの見落みおとしがミスのもと。 まず全体ぜんたいを見みて共通きょうつう因数いんすうがないか確認かくにんしましょう。

よくまちがえるところ

展開てんかいと因数分解いんすうぶんかいは、 公式こうしきの細こまかい符号ふごう と 共通きょうつう因数いんすうの見落みおとし が二に大だいミスです。

まちがい	例れい	直なおし方かた
共通きょうつう因数いんすうを見落みおとして公式こうしきに飛とびつく	2x² - 8 を (x + 2)(x - 2) だけで答こたえる	まず 2 をくくり出だして 2(x + 2)(x - 2)
(a - b)² の真まん中なかの符号ふごうをまちがえる	(2x - 3)² = 4x² + 12x + 9 とする	真まん中なかだけマイナス。 4x² - 12x + 9
2 乗じょうの展開てんかいで真まん中なかの項こうを書かき忘わすれる	(a + b)² = a² + b² とする	2ab を必かならず入いれて a² + 2ab + b²
たして・かけての符号ふごうの組み合わせくみあわせをまちがえる	x² - 5x - 14 を (x - 2)(x + 7) とする	かけて -14、 たして -5 は 2 と -7。 (x + 2)(x - 7)

いちばん多おおいのは 共通きょうつう因数いんすうの見落みおとし です。 2x² - 8 のように全部ぜんぶの項こうが同おなじ数かずで割われるとき、 先さきにくくり出ださないと公式こうしきの形かたちが見みえません。 逆ぎゃくに、 くくり出だしさえすれば残のこりは x² - 4 という見みなれた形かたちになります。 因数分解いんすうぶんかいの第一歩だいいっぽはいつも 「全部ぜんぶの項こうに共通きょうつうなものはないか」 を見みることです。

因数いんすう分解ぶんかいの手順てじゅん

順番じゅんばん	やること	例れい (3x² - 27)
1	全部ぜんぶの項こうに共通きょうつうな数かず・文字もじをさがしてくくり出だす	3(x² - 9)
2	残のこった式しきが 2 乗じょうの差さの形かたちか見みる	x² - 9 = x² - 3²
3	差さの形かたちなら (和わ) × (差さ) にする	3(x + 3)(x - 3)
4	3 項こうなら 「かけて定数ていすう項こう、 たして x の係数けいすう」 の 2 数かずをさがす	この例れいでは不要ふよう
5	(a + b)² や (a - b)² の形かたちになっていないかも見みる	該当がいとうなし
6	展開てんかいしてもとの式しきに戻もどるか確たしかめる	3(x² - 9) = 3x² - 27 で一致いっち

手順てじゅん 4 では 符号ふごうから先さきに決きめる と速はやく終おわります。 かけて負ふなら 2 数かずの符号ふごうは反対はんたい、 かけて正せいでたして負ふなら 2 数かずとも負ふです。 x² - 5x - 14 は、 かけて -14 なので符号ふごうは反対はんたい、 たして -5 なので絶対ぜったい値ちの大おおきいほうが負ふとなり、 2 と -7 に決きまります。

ポイント: 展開てんかいと因数分解いんすうぶんかいはたがいに逆ぎゃくの操作そうさなので、 答えこたえを展開てんかいして戻もどせば必かならず検算けんざんできます。 時間じかんがないときでも、 この確認かくにんだけはしましょう。

自分じぶんでチェック

• 因数分解いんすうぶんかいでまず共通きょうつう因数いんすうをさがせる
• (a - b)² の真まん中なかが -2ab だと言いえる
• (a + b)(a - b) = a² - b² を使つかえる
• 「かけて c、 たして b」 の 2 数かずを符号ふごうから決きめられる
• 答えこたえを展開てんかいしてもとの式しきに戻もどして検算けんざんできる

まとめ

• 展開てんかいは乗法公式じょうほうこうしきで一気いっきに
• $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ (真まん中なかだけマイナス)
• 因数分解いんすうぶんかいはまず 共通きょうつう因数いんすう、 つぎに公式こうしき
• 「たして $b$、 かけて $c$」 で $x^2+bx+c$ を分解ぶんかい

次じ章しょうでは、 これを使つかって 方程式ほうていしき (一いち次じ・連立れんりつ・二次方程式にじほうていしき) を解ときます。