この 章 で 学ぶ こと
展開 (カッコ を ひらく) と、 その 逆 の 因数分解 (積 の 形 に もどす) を 学び ます。 これ は 二次方程式 を 解く ため の 大事 な 準備 です。
- 乗法公式 を 使った 展開
- 共通因数 を くくり出す
- 公式 を 使った 因数分解
ポイント: 展開 は 「公式 に 当てはめて 一気 に ひらく」、 因数分解 は 「展開 の 逆 を 想像 する」。 同じ 公式 を 右 から 左 に 読む か、 左 から 右 に 読む か の ちがい です。
1. 乗法公式 (展開)
つぎ の 4 つ が 中3 の 乗法公式 です。
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
(a+b)(a−b)=a2−b2
例題: (x+3)(x−5) を 展開 せよ。
a=3, b=−5 と 見て、
(x+3)(x−5)=x2+(3−5)x+3×(−5)=x2−2x−15
検算: x=1 を 代入。 もと の 式=(1+3)(1−5)=4×(−4)=−16、 答え =1−2−15=−16。 一致 する。
例題: (2x−3)2 を 展開 せよ。
a=2x, b=3 と 見て、
(2x−3)2=(2x)2−2×2x×3+32=4x2−12x+9
検算: x=1 で もと =(2−3)2=(−1)2=1、 答え =4−12+9=1。 一致。
大事: (a−b)2 の 真ん中 は −2ab です。 最後 の b2 は つねに + ((−3)2=9 だ から)。 「真ん中 だけ マイナス」 と 覚え ましょう。
2. 共通因数 を くくり出す
すべて の 項 に 共通 して かかって いる もの を 前 に 出し ます。 これ が 因数分解 の 第一歩。
例題: 3x2−6x を 因数分解 せよ。
3x2−6x=3x(x−2)
検算: 3x(x−2)=3x2−6x。 展開 する と もと に もどる。 正しい。
3. 公式 を 使った 因数分解
乗法公式 を 逆 に 使い ます。
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2−2ab+b2=(a−b)2
a2−b2=(a+b)(a−b)
和 と 積 から さがす
例題: x2+7x+12 を 因数分解 せよ。
「たして 7、 かけて 12」 に なる 2 数 を さがす と 3 と 4。
x2+7x+12=(x+3)(x+4)
検算: (x+3)(x+4)=x2+7x+12。 一致 する。
差 の 2 乗 の 形
例題: x2−16 を 因数分解 せよ。
16=42 なので、
x2−16=x2−42=(x+4)(x−4)
検算: (x+4)(x−4)=x2−16。 一致。
くふう が 必要 な 例
例題: 2x2−8 を 因数分解 せよ。
まず 共通因数2 を くくり出して から 公式 を 使う。
2x2−8=2(x2−4)=2(x+2)(x−2)
検算: 2(x+2)(x−2)=2(x2−4)=2x2−8。 一致 する。
ポイント: 因数分解 は まず 共通因数 を さがす のが 鉄則。 2(x2−4) の よう に くくり出して から、 残り に 公式 が 使え ない か を 考え ます。
どう 問われる か
- 一次 で は 「(x−4)(x+6) を 展開 せよ」 「x2−5x−14 を 因数分解 せよ」 が 定番。
- 因数分解 は 第5章 の 二次方程式 を 解く とき に 直接使い ます。
- 共通因数 の 見落とし が ミス の もと。 まず 全体 を 見て 共通因数 が ない か 確認 し ましょう。
まとめ
- 展開 は 乗法公式 で 一気 に
- (a−b)2=a2−2ab+b2 (真ん中 だけ マイナス)
- 因数分解 は まず 共通因数、 つぎ に 公式
- 「たして b、 かけて c」 で x2+bx+c を 分解
次章 で は、 これ を 使って 方程式 (一次・連立・二次方程式) を 解き ます。
