この章で学ぶこと
展開 (カッコをひらく) と、 その逆の 因数分解 (積の形にもどす) を学びます。 これは 二次方程式 を解くための大事な準備です。
- 乗法公式 を使った 展開
- 共通因数をくくり出す
- 公式を使った 因数分解
ポイント: 展開 は 「公式に当てはめて一気にひらく」、 因数分解 は 「展開の逆を想像する」。 同じ公式を右から左に読むか、 左から右に読むかのちがいです。
1. 乗法公式 (展開)
つぎの 4 つが中3 の 乗法公式 です。
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a−b)2=a2−2ab+b2
(a+b)(a−b)=a2−b2
例題: (x+3)(x−5) を 展開 せよ。
a=3, b=−5 と見て、
(x+3)(x−5)=x2+(3−5)x+3×(−5)=x2−2x−15
検算: x=1 を代入。 もとの式=(1+3)(1−5)=4×(−4)=−16、 答え =1−2−15=−16。 一致する。
例題: (2x−3)2 を 展開 せよ。
a=2x, b=3 と見て、
(2x−3)2=(2x)2−2×2x×3+32=4x2−12x+9
検算: x=1 でもと =(2−3)2=(−1)2=1、 答え =4−12+9=1。 一致。
大事: (a−b)2 の真ん中は −2ab です。 最後の b2 はつねに + ((−3)2=9 だから)。 「真ん中だけマイナス」 と覚えましょう。
2. 共通因数をくくり出す
すべての項に共通してかかっているものを前に出します。 これが 因数分解 の第一歩。
例題: 3x2−6x を 因数分解 せよ。
3x2−6x=3x(x−2)
検算: 3x(x−2)=3x2−6x。 展開するともとにもどる。 正しい。
3. 公式を使った因数分解
乗法公式 を逆に使います。
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2−2ab+b2=(a−b)2
a2−b2=(a+b)(a−b)
和と積からさがす
例題: x2+7x+12 を 因数分解 せよ。
「たして 7、 かけて 12」 になる 2 数をさがすと 3 と 4。
x2+7x+12=(x+3)(x+4)
検算: (x+3)(x+4)=x2+7x+12。 一致する。
差の 2 乗の形
例題: x2−16 を 因数分解 せよ。
16=42 なので、
x2−16=x2−42=(x+4)(x−4)
検算: (x+4)(x−4)=x2−16。 一致。
くふうが必要な例
例題: 2x2−8 を 因数分解 せよ。
まず共通因数2 をくくり出してから公式を使う。
2x2−8=2(x2−4)=2(x+2)(x−2)
検算: 2(x+2)(x−2)=2(x2−4)=2x2−8。 一致する。
ポイント: 因数分解 は まず共通因数をさがす のが鉄則。 2(x2−4) のようにくくり出してから、 残りに公式が使えないかを考えます。
どう問われるか
- 一次では 「(x−4)(x+6) を展開せよ」 「x2−5x−14 を因数分解せよ」 が定番。
- 因数分解 は第5章の 二次方程式 を解くときに直接使います。
- 共通因数の見落としがミスのもと。 まず全体を見て共通因数がないか確認しましょう。
まとめ
- 展開 は 乗法公式 で一気に
- (a−b)2=a2−2ab+b2 (真ん中だけマイナス)
- 因数分解 はまず 共通因数、 つぎに公式
- 「たして b、 かけて c」 で x2+bx+c を分解
次章では、 これを使って 方程式 (一次・連立・二次方程式) を解きます。
