確率かくりつ・データの活用かつよう・標本ひょうほん調査ちょうさ

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう2 の確率かくりつ、 中ちゅう1〜中ちゅう3 のデータの活用かつよう、 中ちゅう3 の 標本調査ひょうほんちょうさ を学まなびます。 計算けいさんというより 「数かぞえて割合わりあいを出だす」 「データを読よみとる」 力ちからが問とわれます。

• 確率かくりつの求もとめ方かた
• データの代表だいひょう値ち (平均値へいきんち・中央値ちゅうおうち・最頻値さいひんち)
• 四分位数しぶんいすうと箱はこひげ図ず
• 標本調査ひょうほんちょうさと全数ぜんすう調査ちょうさ

ポイント: 確率かくりつは 「(あてはまる場合ばあいの数すう) $÷$ (すべての場合ばあいの数すう)」。 まず 起おこりうるすべての場合ばあい をもれなく数かぞえることがいちばん大切たいせつです。

1. 確率かくりつ

あることがらの起おこりやすさを数かずで表あらわしたものが確率かくりつです。 すべての場合ばあいが同おなじように起おこるとき、

$\left(確率\right)=\frac{\left(その こと が 起こる 場合 の 数\right)}{\left(すべて の 場合 の 数\right)}$

確率かくりつはつねに $0$以上いじょう$1$以下いかです。

例題れいだい: 2 枚まいの硬貨こうかを同時どうじに投なげるとき、 2 枚まいとも表ひょうになる確率かくりつを求もとめよ。

起おこりうるすべての場合ばあいは (表ひょう,表ひょう)(表ひょう,裏うら)(裏うら,表ひょう)(裏うら,裏うら) の $4$通とおり。 2 枚まいとも表ひょうは $1$通とおり。

$\frac{1}{4}$

検算けんざん: 全$4$通とおりのうちあてはまるのは $1$通とおり、 残のこり $3$通とおりはあてはまらない。 確率かくりつの合計ごうけい$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$ でつじつまが合あう。

例題れいだい: 大小だいしょう 2 つのさいころを投なげるとき、 出でた目めの和わが $7$ になる確率かくりつを求もとめよ。

すべての場合ばあいは $6\times 6=36$通とおり。 和わが $7$ は $(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)$ の $6$通とおり。

$\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

検算けんざん: $6$通とおりを数かぞえなおすとたしかに $6$個。 $\frac{6}{36}$ を約分やくぶんして $\frac{1}{6}$。 正ただしい。

大事だいじ: 2 つのさいころは 「大だい・小しょうを区別くべつする」 のがルール。 $(2,5)$ と $(5,2)$ を別べつの場合ばあいと数かぞえます。 区別くべつしないと場合ばあいの数かずをまちがえます。

2. データの代表だいひょう値ち

代表だいひょう値ち	意味いみ
平均値へいきんち	すべてをたして個数こすうで割わった値あたい
中央値ちゅうおうち	小ちいさい順じゅんに並ならべたときのまん中なかの値あたい
最頻値さいひんち	もっとも多おおく出でてくる値あたい

例題れいだい: $5$個のデータ $3,5,5,8,9$ の平均値へいきんち・中央値ちゅうおうち・最頻値さいひんちを求もとめよ。

• 平均へいきん値ち: $\frac{3+5+5+8+9}{5}=\frac{30}{5}=6$
• 中央ちゅうおう値ち: 小ちいさい順じゅんに並ならべたまん中なか (3 番ばん目め) は $5$
• 最頻値さいひんち: いちばん多おおい値あたいは $5$ (2 回かい)

検算けんざん: 合計ごうけい$3+5+5+8+9=30$、 $30÷5=6$。 5 個このまん中なかは 3 番ばん目めで $5$。 すべて整合せいごう。

3. 四分位数しぶんいすうと箱はこひげ図ず

データを小ちいさい順じゅんに並ならべ、 4 等分とうぶんする位置いちの値あたいを 四分位数しぶんいすう といいます。 第だい1四分位数しぶんいすう$Q_1$、 第だい2四分位数しぶんいすう (=中央ちゅうおう値ち) $Q_2$、 第だい3四分位数しぶんいすう$Q_3$。 $Q_3-Q_1$ を 四分位範囲しぶんいはんい といいます。

例題れいだい: $7$個のデータ $2,4,5,7,8,9,10$ の四分位範囲しぶんいはんいを求もとめよ。

中央ちゅうおう値ち$Q_2$ は 4 番ばん目めの $7$。 下しも半分はんぶん$2,4,5$ の中央ちゅうおう値ち$Q_1=4$、 上うえ半分はんぶん$8,9,10$ の中央ちゅうおう値ち$Q_3=9$。

$Q_3-Q_1=9-4=5$

検算けんざん: $Q_1=4, Q_2=7, Q_3=9$ は小ちいさい順じゅんに並ならんでおり整合せいごう。 四よん分ふん位い範囲はんい$9-4=5$。 正ただしい。

4. 標本ひょうほん調査ちょうさ

調査ちょうさのしかたには 2 つあります。

種類しゅるい	意味いみ	例れい
全数ぜんすう調査ちょうさ	対象たいしょうをすべて調しらべる	国勢調査こくせいちょうさ・学校がっこうの健康けんこう診断しんだん
標本調査ひょうほんちょうさ	一部いちぶを取とり出だして調しらべ、 全体ぜんたいを推定すいていする	視聴しちょう率りつ・製品せいひんの品質ひんしつ検査けんさ

例題れいだい: 箱はこの中なかに同おなじ大おおきさの玉たまがたくさん入はいっている。 そこから $50$個を取とり出だすと白玉しらたまが $8$個だった。 箱はこ全体ぜんたいの玉たまが $500$個のとき、 白玉しらたまはおよそ何なん個こと推定すいていできるか。

標本ひょうほんでの白玉しらたまの割合わりあいは $\frac{8}{50}$。 全体ぜんたいでも同おなじ割合わりあいと考かんがえると、

$500\times \frac{8}{50}=500\times 0.16=80 \left(個\right)$

検算けんざん: $\frac{8}{50}=0.16$、 $500\times 0.16=80$。 標本ひょうほんの割合わりあい$16\%$ を全体ぜんたい$500$個に当あてはめて $80$個。 正ただしい。

大事だいじ: 標本調査ひょうほんちょうさは 「一部いちぶの割合わりあいを全体ぜんたいに当あてはめる」 のが考かんがえ方かた。 割合わりあい ($\frac{}{}$) をつくって全体ぜんたいにかけます。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「さいころ・硬貨こうか・くじの確率かくりつ」 が定番ていばん。 場合ばあいの数かずをもれなく数かぞえるのがポイント。
• 二に次じでは 「データを読よみとって代表だいひょう値ちや四分位数しぶんいすうを求もとめる」 「標本ひょうほんから全体ぜんたいを推定すいていする」 問題もんだいが出でます。

よくまちがえるところ

この章しょうは、 数かぞえ方かた と 代表だいひょう値ちの意味いみ の取とりちがえで失点しってんします。

まちがい	例れい	直なおし方かた
区別くべつすべきものを区別くべつしない	さいころ 2 つで (2, 5) と (5, 2) をまとめて 1 通とおりとする	大小だいしょうを区別くべつして 36 通とおりの中なかで数かぞえる
データの個数こすうが偶数ぐうすうのとき中央ちゅうおう値ちを 1 つの値あたいで答こたえる	6 個このデータで 3 番ばん目めの値あたいを中央ちゅうおう値ちとする	まん中なか 2 つの平均へいきんをとる
平均値へいきんちと中央値ちゅうおうちを混同こんどうする	「まん中なかの値あたい」 を聞きかれて平均へいきんを計算けいさんする	中央ちゅうおう値ちは並ならべたときの位置いち、 平均へいきんは合計ごうけい ÷ 個数こすう
標本調査ひょうほんちょうさで割合わりあいでなく差さを使つかう	50 個中こちゅう 8 個こが白しろなら 500 個中こちゅうも 8 個こ多おおいと考かんがえる	割合わりあい 8/50 を全体ぜんたい 500 にかけて 80 個こ

いちばん多おおいのは 同様どうように確たしからしくない数かぞえ方かた です。 さいころ 2 つの目めの和わを 2 から 12 の 11 通とおりと考かんがえると、 和わが 2 になるのは 1 通とおりしかないのに、 和わが 7 は 6 通とおりあるという事実じじつが消きえてしまいます。 分母ぶんぼには 「どれも同おなじくらい起おこる」 と言いえる数かぞえ方かたを選えらぶ必要ひつようがあり、 さいころ 2 つならつねに 36 通とおりです。

数かぞえ方かたと読よみとりの手順てじゅん

順番じゅんばん	やること	例れい (50 個中こちゅう 8 個こが白しろ、 全体ぜんたい 500 個こ)
1	何なにを求もとめるかをはっきりさせる	全体ぜんたいの白玉しらたまの個数こすう
2	確率かくりつなら区別くべつして全体ぜんたいの場合ばあいの数かずを数かぞえる	この例れいは標本ひょうほん調査ちょうさなので不要ふよう
3	代表だいひょう値ちなら小ちいさい順じゅんに並ならべる	この例れいは不要ふよう
4	標本ひょうほん調査ちょうさなら標本ひょうほんでの割合わりあいをつくる	8 / 50 = 0.16
5	割合わりあいを全体ぜんたいにかける	500 × 0.16 = 80
6	答えこたえが自然しぜんな大おおきさか確たしかめる	全体ぜんたい 500 個このうち 80 個こで 16% なので自然しぜん

手順てじゅん 6 は確率かくりつでも使つかえます。 求もとめた確率かくりつが 1 をこえたり負ふになったりしたら、 数かぞえ方かたのどこかがまちがっています。 また、 あてはまる場合ばあいの確率かくりつと、 あてはまらない場合ばあいの確率かくりつをたして 1 になるかを見みるのも確実かくじつな検算けんざんです。

大事だいじ: 標本調査ひょうほんちょうさで求もとめた値あたいは 推定すいてい値ち です。 「およそ 80 個こ」 のように 「およそ」 をつけて答こたえると、 意味いみを分わかって書かいていることが伝つたわります。

自分じぶんでチェック

• 確率かくりつの分母ぶんぼを 「同様どうように確たしからしい」 数かぞえ方かたで決きめられる
• さいころ 2 つの全体ぜんたいが 36 通とおりだと説明せつめいできる
• データが偶数ぐうすう個このときの中央値ちゅうおうちを求もとめられる
• 平均値へいきんち・中央値ちゅうおうち・最頻値さいひんちを区別くべつできる
• 標本調査ひょうほんちょうさで割合わりあいを全体ぜんたいにかけて推定すいていできる

まとめ

• 確率かくりつ$=\frac{}{}$、 $0\le$確率かくりつ$\le 1$
• 代表だいひょう値ち = 平均値へいきんち・中央値ちゅうおうち・最頻値さいひんち
• 四分位範囲しぶんいはんい $=Q_3-Q_1$
• 標本調査ひょうほんちょうさは一部いちぶの割合わりあいを全体ぜんたいに当あてはめる

次じ章しょうでは、 二に次じ (数理すうり技能ぎのう) 対策たいさくとして 文章ぶんしょう題だい・特有とくゆう問題もんだい を学まなびます。