確率かくりつ・データの活用かつよう・標本ひょうほん調査ちょうさ

この 章しょう で 学まなぶ こと

中ちゅう2 の 確率かくりつ、 中ちゅう1〜中ちゅう3 の データ の 活用かつよう、 中ちゅう3 の 標本調査ひょうほんちょうさ を 学まなび ます。 計算けいさん と いう より 「数かぞえて 割合わりあい を 出だす」 「データ を 読よみとる」 力ちから が 問とわれ ます。

• 確率かくりつ の 求もとめ方かた
• データ の 代表だいひょう値ち (平均値へいきんち・中央値ちゅうおうち・最頻値さいひんち)
• 四分位数しぶんいすう と 箱はこひげ図ず
• 標本調査ひょうほんちょうさ と 全数ぜんすう調査ちょうさ

ポイント: 確率かくりつ は 「(あてはまる 場合ばあい の 数かず) $÷$ (すべて の 場合ばあい の 数かず)」。 まず 起おこりうる すべて の 場合ばあい を もれ なく 数かぞえる こと が いちばん 大切たいせつ です。

1. 確率かくりつ

ある こと がら の 起おこり やす さ を 数かず で 表あらわした もの が 確率かくりつ です。 すべて の 場合ばあい が 同おなじ よう に 起おこる とき、

$\left(確率\right)=\frac{\left(その こと が 起こる 場合 の 数\right)}{\left(すべて の 場合 の 数\right)}$

確率かくりつ は つねに $0$以上いじょう$1$以下いか です。

例題れいだい: 2 枚まい の 硬貨こうか を 同時どうじ に 投なげる とき、 2 枚まい とも 表ひょう に なる 確率かくりつ を 求もとめよ。

起おこりうる すべて の 場合ばあい は (表ひょう,表ひょう)(表ひょう,裏うら)(裏うら,表ひょう)(裏うら,裏うら) の $4$通とおり。 2 枚まい とも 表ひょう は $1$通とおり。

$\frac{1}{4}$

検算けんざん: 全$4$通とおり の うち あてはまる のは $1$通とおり、 残のこり $3$通とおり は あてはまら ない。 確率かくりつ の 合計ごうけい$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$ で つじつま が 合あう。

例題れいだい: 大小だいしょう 2 つ の さいころ を 投なげる とき、 出でた 目め の 和わ が $7$ に なる 確率かくりつ を 求もとめよ。

すべて の 場合ばあい は $6\times 6=36$通とおり。 和わ が $7$ は $(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)$ の $6$通とおり。

$\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

検算けんざん: $6$通とおり を 数かぞえなおす と たしかに $6$個。 $\frac{6}{36}$ を 約分やくぶん して $\frac{1}{6}$。 正ただしい。

大事だいじ: 2 つ の さいころ は 「大だい・小しょう を 区別くべつ する」 のが ルール。 $(2,5)$ と $(5,2)$ を 別べつ の 場合ばあい と 数かぞえ ます。 区別くべつ し ない と 場合ばあい の 数かず を まちがえ ます。

2. データの代表だいひょう値ち

代表だいひょう値ち	意味いみ
平均値へいきんち	すべて を たして 個数こすう で 割わった 値ね
中央値ちゅうおうち	小ちいさい 順じゅん に 並ならべた とき の まん中なか の 値ね
最頻値さいひんち	もっとも 多おおく 出でて くる 値ね

例題れいだい: $5$個 の データ $3,5,5,8,9$ の 平均値へいきんち・中央値ちゅうおうち・最頻値さいひんち を 求もとめよ。

• 平均へいきん値ち: $\frac{3+5+5+8+9}{5}=\frac{30}{5}=6$
• 中央ちゅうおう値ち: 小ちいさい 順じゅん に 並ならべた まん中なか (3 番ばん目め) は $5$
• 最さい頻しき値ね: いちばん 多おおい 値ね は $5$ (2 回かい)

検算けんざん: 合計ごうけい$3+5+5+8+9=30$、 $30÷5=6$。 5 個こ の まん中なか は 3 番ばん目め で $5$。 すべて 整合せいごう。

3. 四よん分ふん位い数すうと箱はこひげ図ず

データ を 小ちいさい 順じゅん に 並ならべ、 4 等分とうぶん する 位置いち の 値ね を 四分位数しぶんいすう と いい ます。 第だい1四よん分ふん位い数$Q_1$、 第だい2四よん分ふん位い数すう (=中央ちゅうおう値ち) $Q_2$、 第だい3四よん分ふん位い数$Q_3$。 $Q_3-Q_1$ を 四分位範囲しぶんいはんい と いい ます。

例題れいだい: $7$個 の データ $2,4,5,7,8,9,10$ の 四分位範囲しぶんいはんい を 求もとめよ。

中央ちゅうおう値ち$Q_2$ は 4 番ばん目め の $7$。 下しも半分はんぶん$2,4,5$ の 中央ちゅうおう値ち$Q_1=4$、 上うえ半分はんぶん$8,9,10$ の 中央ちゅうおう値ち$Q_3=9$。

$Q_3-Q_1=9-4=5$

検算けんざん: $Q_1=4, Q_2=7, Q_3=9$ は 小ちいさい 順じゅん に 並ならんで おり 整合せいごう。 四よん分ふん位い範囲はんい$9-4=5$。 正ただしい。

4. 標本ひょうほん調査ちょうさ

調査ちょうさ の しかた に は 2 つ あり ます。

種類しゅるい	意味いみ	例れい
全数ぜんすう調査ちょうさ	対象たいしょう を すべて 調しらべる	国勢調査こくせいちょうさ・学校がっこう の 健康けんこう診断しんだん
標本調査ひょうほんちょうさ	一部いちぶ を 取とり出だして 調しらべ、 全体ぜんたい を 推定すいてい する	視聴しちょう率りつ・製品せいひん の 品質ひんしつ検査けんさ

例題れいだい: 箱はこ の 中なか に 同おなじ 大おおき さ の 玉たま が たくさん 入はいって いる。 そこ から $50$個 を 取とり出だす と 白玉しらたま が $8$個 だった。 箱はこ全体ぜんたい の 玉たま が $500$個 の とき、 白玉しらたま は およそ 何なん個こ と 推定すいてい できる か。

標本ひょうほん で の 白玉しらたま の 割合わりあい は $\frac{8}{50}$。 全体ぜんたい でも 同おなじ 割合わりあい と 考かんがえる と、

$500\times \frac{8}{50}=500\times 0.16=80 \left(個\right)$

検算けんざん: $\frac{8}{50}=0.16$、 $500\times 0.16=80$。 標本ひょうほん の 割合わりあい$16\%$ を 全体ぜんたい$500$個 に 当あてはめ て $80$個。 正ただしい。

大事だいじ: 標本調査ひょうほんちょうさ は 「一部いちぶ の 割合わりあい を 全体ぜんたい に 当あてはめる」 のが 考かんがえ方かた。 割合わりあい ($\frac{}{}$) を つくって 全体ぜんたい に かけ ます。

どう 問とわれる か

• 一いち次じ で は 「さいころ・硬貨こうか・くじ の 確率かくりつ」 が 定番ていばん。 場合ばあい の 数かず を もれ なく 数かぞえる のが ポイント。
• 二に次じ で は 「データ を 読よみとって 代表だいひょう値ち や 四よん分ふん位い数すう を 求もとめる」 「標本ひょうほん から 全体ぜんたい を 推定すいてい する」 問題もんだい が 出で ます。

まとめ

• 確率かくりつ$=\frac{}{}$、 $0\le$確率かくりつ$\le 1$
• 代表だいひょう値ち = 平均値へいきんち・中央値ちゅうおうち・最頻値さいひんち
• 四分位範囲しぶんいはんい $=Q_3-Q_1$
• 標本調査ひょうほんちょうさ は 一部いちぶ の 割合わりあい を 全体ぜんたい に 当あてはめる

次じ章しょう で は、 二に次じ (数理すうり技能ぎのう) 対策たいさく と して 文章ぶんしょう題だい・特有とくゆう問題もんだい を 学まなび ます。