方程式ほうていしき — 一いち次じ・連立れんりつ・二に次じ方程式ほうていしきと解かいの公式こうしき

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう1〜中ちゅう3 の方程式ほうていしきをまとめて復習ふくしゅうします。 とくに中ちゅう3 の 二次方程式にじほうていしき が 3級きゅうの大おおきなポイントです。

• 一いち次じ方程式ほうていしきの解とき方かた
• 連立れんりつ方程式ほうていしき (代入法だいにゅうほう・加減法かげんほう)
• 二次方程式にじほうていしき (平方根へいほうこん・因数分解いんすうぶんかい・解の公式かいのこうしき)
• 方程式ほうていしきの文章ぶんしょう題だい (利用りよう)

ポイント: 方程式ほうていしきは 「等式とうしきの両辺りょうへんに同おなじことをしても等号とうごうはこわれない」 が基本きほんルール。 これを使つかって $x=$ の形かたちにもっていきます。

1. 一いち次じ方程式ほうていしき

例題れいだい: $3x-5=x+7$ を解とけ。

$3x-x=7+5\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} 2x=12\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=6$

検算けんざん: $x=6$ で左辺さへん$=18-5=13$、 右辺うへん$=6+7=13$。 一致いっちする。

大事だいじ: 文字もじを左ひだり、 数かずを右みぎに移うつすとき (移項いこう)、 符号ふごうが反対はんたい になります。 $-5$ を右みぎへ移うつすと $+5$。

2. 連立れんりつ方程式ほうていしき

2 つの文字もじをふくむ 2 つの式しきを同時どうじに満みたす値ねを求もとめます。

加減かげん法ほう

例題れいだい: つぎの連立れんりつ方程式ほうていしきを解とけ。

$\{2x+y=8x-y=1$

2 式しきをたすと $y$ が消きえる。

$(2x+y)+(x-y)=8+1\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} 3x=9\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=3$

$x=3$ を $x-y=1$ に代入だいにゅうして $3-y=1$、 $y=2$。

検算けんざん: $2\times 3+2=8$ ($\circ$)、 $3-2=1$ ($\circ$)。 両方りょうほう成なり立たつ。 よって $x=3, y=2$。

代入だいにゅう法ほう

一方いっぽうの式しきを 「$y=$」 の形かたちにしてもう一方いっぽうに入いれる方法ほうほうです。 $y=x-1$ のようにすぐ表あらわせるときに便利べんり。

3. 二に次じ方程式ほうていしき

$a{x}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$) の形かたちの方程式ほうていしきです。 解とき方かたは 3 通とおり。

(1) 平方根へいほうこんを使つかう

例題れいだい: $x^2=5$ を解とけ。

$x=\pm \sqrt{5}$

大事だいじ: $x^2=5$ の解かいは $\pm \sqrt{5}$ の 2 つ。 $+$ だけでなく $-$ も忘わすれないこと。

(2) 因数いんすう分解ぶんかいを使つかう

例題れいだい: $x^2-5x+6=0$ を解とけ。

「たして $-5$、 かけて $6$」 は $-2$ と $-3$。

$(x-2)(x-3)=0\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=2, 3$

検算けんざん: $x=2$ で $4-10+6=0$ ($\circ$)、 $x=3$ で $9-15+6=0$ ($\circ$)。 両方りょうほう解かいである。

(3) 解かいの公式こうしき

因数分解いんすうぶんかい できないときは 解の公式かいのこうしき を使つかいます。

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

例題れいだい: $x^2+3x+1=0$ を解とけ。

$a=1, b=3, c=1$ を代入だいにゅう。

$x=\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\times 1\times 1}}{2\times 1}=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$

検算けんざん: 2 解かいの和わは $\frac{-3+\sqrt{5}}{2}+\frac{-3-\sqrt{5}}{2}=-3$ で $-b/a=-3$ と一致いっち、 積せきは $\frac{(-3{)}^2-5}{4}=\frac{4}{4}=1$ で $c/a=1$ と一致いっち。 解かいは正ただしい。

ポイント: 根号こんごうの中$b^2-4ac$ をまちがえないこと。 ここがマイナスになることもあります (中学ちゅうがくの範囲はんいでは解かいなしになる)。 ていねいに計算けいさんしましょう。

4. 方程式ほうていしきの文章ぶんしょう題だい (利用りよう)

例題れいだい: 連続れんぞくする 2 つの整数せいすうがあり、 それぞれを 2 乗じょうした数かずの和わが $61$ である。 この 2 つの整数せいすうを求もとめよ。

小ちいさいほうを $x$ とすると、 大おおきいほうは $x+1$。

$x^2+(x+1{)}^2=61$ $x^2+x^2+2x+1=61\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} 2x^2+2x-60=0\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x^2+x-30=0$ $(x+6)(x-5)=0\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=-6, 5$

よって $(x,x+1)=(-6,-5)$ または $(5,6)$。

検算けんざん: $(-6{)}^2+(-5{)}^2=36+25=61$ ($\circ$)、 $5^2+6^2=25+36=61$ ($\circ$)。 どちらも成なり立たつ。

大事だいじ: 文章ぶんしょう題だいでは求もとめた解かいが 問題もんだいの条件じょうけんに合あうか を確たしかめます。 たとえば 「長ながさ」 を求もとめたのに解かいがマイナスなら、 その解かいは答えこたえになりません。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「$x^2-x-12=0$ を解とけ」 「$x^2+4x+2=0$ を解とけ」 のように、 因数分解いんすうぶんかい か 解の公式かいのこうしき を選えらぶ問題もんだいが出でます。
• 二に次じでは文章ぶんしょう題だい (面積めんせき・連続れんぞくする整数せいすう・速はやさなど) で 立りつ式しき → 解とく → 条件じょうけんでしぼる 流ながれが問とわれます。

まとめ

• 移項いこうは符号ふごうが反対はんたいになる
• 連立れんりつは 加減法かげんほう か 代入法だいにゅうほう で文字もじを 1 つ消けす
• 二次方程式にじほうていしき は平方根へいほうこん・因数分解いんすうぶんかい・解の公式かいのこうしき の 3 通とおり
• 文章ぶんしょう題だいは解かいが条件じょうけんに合あうかを確認かくにん

次じ章しょうでは、 グラフの世界せかい 関数かんすう (比例ひれい反比例はんぴれい・一いち次じ関数かんすう・$y=a{x}^2$) を学まなびます。