方程式ほうていしき — 一いち次じ・連立れんりつ・二に次じ方程式ほうていしきと解かいの公式こうしき

この 章しょう で 学まなぶ こと

中ちゅう1〜中ちゅう3 の 方程式ほうていしき を まとめて 復習ふくしゅう し ます。 とくに 中ちゅう3 の 二次方程式にじほうていしき が 3級きゅう の 大おおきな ポイント です。

• 一いち次じ方程式ほうていしき の 解とき方かた
• 連立れんりつ方程式ほうていしき (代入法だいにゅうほう・加減法かげんほう)
• 二次方程式にじほうていしき (平方根へいほうこん・因数分解いんすうぶんかい・解の公式かいのこうしき)
• 方程式ほうていしき の 文章ぶんしょう題だい (利用りよう)

ポイント: 方程式ほうていしき は 「等式とうしき の 両辺りょうへん に 同おなじ こと を して も 等号とうごう は こわれ ない」 が 基本きほん ルール。 これ を 使つかって $x=$ の 形かたち に もって いき ます。

1. 一いち次じ方程式ほうていしき

例題れいだい: $3x-5=x+7$ を 解とけ。

$3x-x=7+5\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} 2x=12\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=6$

検算けんざん: $x=6$ で 左辺さへん$=18-5=13$、 右辺うへん$=6+7=13$。 一致いっち する。

大事だいじ: 文字もじ を 左ひだり、 数かず を 右みぎ に 移うつす とき (移項いこう)、 符号ふごう が 反対はんたい に なり ます。 $-5$ を 右みぎ へ 移うつす と $+5$。

2. 連立れんりつ方程式ほうていしき

2 つ の 文字もじ を ふくむ 2 つ の 式しき を 同時どうじ に 満みたす 値ね を 求もとめ ます。

加減かげん法ほう

例題れいだい: つぎ の 連立れんりつ方程式ほうていしき を 解とけ。

$\{2x+y=8x-y=1$

2 式しき を たす と $y$ が 消きえる。

$(2x+y)+(x-y)=8+1\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} 3x=9\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=3$

$x=3$ を $x-y=1$ に 代入だいにゅう して $3-y=1$、 $y=2$。

検算けんざん: $2\times 3+2=8$ ($\circ$)、 $3-2=1$ ($\circ$)。 両方りょうほう成なり立たつ。 よって $x=3, y=2$。

代入だいにゅう法ほう

一方いっぽう の 式しき を 「$y=$」 の 形かたち に して もう 一方いっぽう に 入いれる 方法ほうほう です。 $y=x-1$ の よう に すぐ 表あらわせる とき に 便利べんり。

3. 二に次じ方程式ほうていしき

$a{x}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$) の 形かたち の 方程式ほうていしき です。 解とき方かた は 3 通とおり。

(1) 平方根へいほうこん を 使つかう

例題れいだい: $x^2=5$ を 解とけ。

$x=\pm \sqrt{5}$

大事だいじ: $x^2=5$ の 解かい は $\pm \sqrt{5}$ の 2 つ。 $+$ だけ で なく $-$ も 忘わすれ ない こと。

(2) 因数いんすう分解ぶんかい を 使つかう

例題れいだい: $x^2-5x+6=0$ を 解とけ。

「たして $-5$、 かけて $6$」 は $-2$ と $-3$。

$(x-2)(x-3)=0\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=2, 3$

検算けんざん: $x=2$ で $4-10+6=0$ ($\circ$)、 $x=3$ で $9-15+6=0$ ($\circ$)。 両方りょうほう解かい で ある。

(3) 解かいの公式こうしき

因数分解いんすうぶんかい でき ない とき は 解の公式かいのこうしき を 使つかい ます。

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

例題れいだい: $x^2+3x+1=0$ を 解とけ。

$a=1, b=3, c=1$ を 代入だいにゅう。

$x=\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\times 1\times 1}}{2\times 1}=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$

検算けんざん: 2 解かい の 和わ は $\frac{-3+\sqrt{5}}{2}+\frac{-3-\sqrt{5}}{2}=-3$ で $-b/a=-3$ と 一致いっち、 積つむ は $\frac{(-3{)}^2-5}{4}=\frac{4}{4}=1$ で $c/a=1$ と 一致いっち。 解かい は 正ただしい。

ポイント: 根号こんごう の 中$b^2-4ac$ を まちがえ ない こと。 ここ が マイナス に なる こと も あり ます (中学ちゅうがく の 範囲はんい で は 解かい なし に なる)。 ていねい に 計算けいさん し ましょう。

4. 方程式ほうていしき の 文章ぶんしょう題だい (利用りよう)

例題れいだい: 連続れんぞく する 2 つ の 整数せいすう が あり、 それぞれ を 2 乗じょう した 数かず の 和わ が $61$ で ある。 この 2 つ の 整数せいすう を 求もとめよ。

小ちいさい ほう を $x$ と する と、 大おおきい ほう は $x+1$。

$x^2+(x+1{)}^2=61$ $x^2+x^2+2x+1=61\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} 2x^2+2x-60=0\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x^2+x-30=0$ $(x+6)(x-5)=0\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=-6, 5$

よって $(x,x+1)=(-6,-5)$ または $(5,6)$。

検算けんざん: $(-6{)}^2+(-5{)}^2=36+25=61$ ($\circ$)、 $5^2+6^2=25+36=61$ ($\circ$)。 どちら も 成なり立たつ。

大事だいじ: 文章ぶんしょう題だい で は 求もとめた 解かい が 問題もんだい の 条件じょうけん に 合あう か を 確たしかめ ます。 たとえば 「長ながさ」 を 求もとめた のに 解かい が マイナス なら、 その 解かい は 答こたえ に なり ません。

どう 問とわれる か

• 一いち次じ で は 「$x^2-x-12=0$ を 解とけ」 「$x^2+4x+2=0$ を 解とけ」 の よう に、 因数分解いんすうぶんかい か 解の公式かいのこうしき を 選えらぶ 問題もんだい が 出で ます。
• 二に次じ で は 文章ぶんしょう題だい (面積めんせき・連続れんぞくする整数せいすう・速はやさ など) で 立りつ式しき → 解とく → 条件じょうけん で しぼる 流ながれ が 問とわれ ます。

まとめ

• 移項いこう は 符号ふごう が 反対はんたい に なる
• 連立れんりつ は 加減法かげんほう か 代入法だいにゅうほう で 文字もじ を 1 つ 消けす
• 二次方程式にじほうていしき は 平方根へいほうこん・因数分解いんすうぶんかい・解の公式かいのこうしき の 3 通とおり
• 文章ぶんしょう題だい は 解かい が 条件じょうけん に 合あう か を 確認かくにん

次じ章しょう で は、 グラフ の 世界せかい 関数かんすう (比例ひれい反比例はんぴれい・一いち次じ関数かんすう・$y=a{x}^2$) を 学まなび ます。