方程式ほうていしき — 一いち次じ・連立れんりつ・二に次じ方程式ほうていしきと解かいの公式こうしき

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう1〜中ちゅう3 の方程式ほうていしきをまとめて復習ふくしゅうします。 とくに中ちゅう3 の 二次方程式にじほうていしき が 3級きゅうの大おおきなポイントです。

• 一いち次じ方程式ほうていしきの解とき方かた
• 連立れんりつ方程式ほうていしき (代入法だいにゅうほう・加減法かげんほう)
• 二次方程式にじほうていしき (平方根へいほうこん・因数分解いんすうぶんかい・解の公式かいのこうしき)
• 方程式ほうていしきの文章ぶんしょう題だい (利用りよう)

ポイント: 方程式ほうていしきは 「等式とうしきの両辺りょうへんに同おなじことをしても等号とうごうはこわれない」 が基本きほんルール。 これを使つかって $x=$ の形かたちにもっていきます。

1. 一いち次じ方程式ほうていしき

例題れいだい: $3x-5=x+7$ を解とけ。

$3x-x=7+5\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} 2x=12\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=6$

検算けんざん: $x=6$ で左辺さへん$=18-5=13$、 右辺うへん$=6+7=13$。 一致いっちする。

大事だいじ: 文字もじを左ひだり、 数かずを右みぎに移うつすとき (移項いこう)、 符号ふごうが反対はんたい になります。 $-5$ を右みぎへ移うつすと $+5$。

2. 連立れんりつ方程式ほうていしき

2 つの文字もじをふくむ 2 つの式しきを同時どうじに満みたす値あたいを求もとめます。

加減かげん法ほう

例題れいだい: つぎの連立れんりつ方程式ほうていしきを解とけ。

$\{2x+y=8x-y=1$

2 式しきをたすと $y$ が消きえる。

$(2x+y)+(x-y)=8+1\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} 3x=9\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=3$

$x=3$ を $x-y=1$ に代入だいにゅうして $3-y=1$、 $y=2$。

検算けんざん: $2\times 3+2=8$ ($\circ$)、 $3-2=1$ ($\circ$)。 両方りょうほう成なり立たつ。 よって $x=3, y=2$。

代入だいにゅう法ほう

一方いっぽうの式しきを 「$y=$」 の形かたちにしてもう一方いっぽうに入いれる方法ほうほうです。 $y=x-1$ のようにすぐ表あらわせるときに便利べんり。

3. 二に次じ方程式ほうていしき

$a{x}^2+bx+c=0$ ($a\ne 0$) の形かたちの方程式ほうていしきです。 解とき方かたは 3 通とおり。

(1) 平方根へいほうこんを使つかう

例題れいだい: $x^2=5$ を解とけ。

$x=\pm \sqrt{5}$

大事だいじ: $x^2=5$ の解かいは $\pm \sqrt{5}$ の 2 つ。 $+$ だけでなく $-$ も忘わすれないこと。

(2) 因数いんすう分解ぶんかいを使つかう

例題れいだい: $x^2-5x+6=0$ を解とけ。

「たして $-5$、 かけて $6$」 は $-2$ と $-3$。

$(x-2)(x-3)=0\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=2, 3$

検算けんざん: $x=2$ で $4-10+6=0$ ($\circ$)、 $x=3$ で $9-15+6=0$ ($\circ$)。 両方りょうほう解かいである。

(3) 解かいの公式こうしき

因数分解いんすうぶんかいできないときは 解の公式かいのこうしき を使つかいます。

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

例題れいだい: $x^2+3x+1=0$ を解とけ。

$a=1, b=3, c=1$ を代入だいにゅう。

$x=\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\times 1\times 1}}{2\times 1}=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}$

検算けんざん: 2 解かいの和わは $\frac{-3+\sqrt{5}}{2}+\frac{-3-\sqrt{5}}{2}=-3$ で $-b/a=-3$ と一致いっち、 積せきは $\frac{(-3{)}^2-5}{4}=\frac{4}{4}=1$ で $c/a=1$ と一致いっち。 解かいは正ただしい。

ポイント: 根号こんごうの中$b^2-4ac$ をまちがえないこと。 ここがマイナスになることもあります (中学ちゅうがくの範囲はんいでは解かいなしになる)。 ていねいに計算けいさんしましょう。

4. 方程式ほうていしきの文章ぶんしょう題だい (利用りよう)

例題れいだい: 連続れんぞくする 2 つの整数せいすうがあり、 それぞれを 2 乗じょうした数かずの和わが $61$ である。 この 2 つの整数せいすうを求もとめよ。

小ちいさいほうを $x$ とすると、 大おおきいほうは $x+1$。

$x^2+(x+1{)}^2=61$ $x^2+x^2+2x+1=61\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} 2x^2+2x-60=0\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x^2+x-30=0$ $(x+6)(x-5)=0\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=-6, 5$

よって $(x,x+1)=(-6,-5)$ または $(5,6)$。

検算けんざん: $(-6{)}^2+(-5{)}^2=36+25=61$ ($\circ$)、 $5^2+6^2=25+36=61$ ($\circ$)。 どちらも成なり立たつ。

大事だいじ: 文章ぶんしょう題だいでは求もとめた解かいが 問題もんだいの条件じょうけんに合あうか を確たしかめます。 たとえば 「長ながさ」 を求もとめたのに解かいがマイナスなら、 その解かいは答えこたえになりません。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「$x^2-x-12=0$ を解とけ」 「$x^2+4x+2=0$ を解とけ」 のように、 因数分解いんすうぶんかいか解の公式かいのこうしきを選えらぶ問題もんだいが出でます。
• 二に次じでは文章ぶんしょう題だい (面積めんせき・連続れんぞくする整数せいすう・速はやさなど) で 立りつ式しき → 解とく → 条件じょうけんでしぼる 流ながれが問とわれます。

よくまちがえるところ

方程式ほうていしきは、 解かいの公式こうしきの符号ふごう と 解かいを落おとすこと でつまずきます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
解の公式かいのこうしきの -b を b にする	x² + 3x + 1 = 0 で (3 ± √5) / 2 とする	分子ぶんしは -b から始はじまる。 (-3 ± √5) / 2
根号こんごうの中なかの -4ac の符号ふごうをまちがえる	c が負ふのとき b² - 4ac を b² + 4ac のつもりで引ひく	公式こうしきどおり b² - 4ac に a, b, c をそのまま代入だいにゅうする
平方根へいほうこんで解とくとき負ふの解かいを落おとす	x² = 5 の解かいを √5 だけとする	2 乗じょうして 5 になる数かずは 2 つ。 ±√5
因数分解いんすうぶんかいした式しきから解かいの符号ふごうを逆ぎゃくにする	(x - 2)(x - 3) = 0 から x = -2, -3 とする	各かくカッコを 0 にする値あたいなので x = 2, 3

いちばん多おおいのは 解かいの公式こうしきの代入だいにゅうミス です。 x² + 3x + 1 = 0 なら a = 1、 b = 3、 c = 1 で、 分子ぶんしは -3 ± √(3² - 4 × 1 × 1) = -3 ± √5、 分母ぶんぼは 2 × 1 = 2 です。 とくに b や c が負ふの式しきでは、 数かずだけを見みて符号ふごうを落おとしやすいので、 代入だいにゅうする前まえに a, b, c を横よこに書かき出だす習慣しゅうかんをつけましょう。

二に次じ方程式ほうていしきの解とき方かたを使つかい分わける

式しきの形かたち	使つかう方法ほうほう	例れい
x² = 数かず、 (x + p)² = 数かず	平方根へいほうこんをとる (±を忘わすれない)	x² = 5 なら x = ±√5
x の項こうがなく因数いんすう分解ぶんかいできる	2 乗じょうの差さの公式こうしき	x² - 9 = 0 なら x = ±3
かけて c、 たして b の 2 数かずが見みつかる	因数いんすう分解ぶんかい	x² - 5x + 6 = 0 なら x = 2, 3
上うえのどれにも当あてはまらない	解かいの公式こうしき	x² + 3x + 1 = 0 なら (-3 ± √5) / 2

見分みわける順番じゅんばんは 「平方根へいほうこん → 因数いんすう分解ぶんかい → 解かいの公式こうしき」 です。 解かいの公式こうしきはどんな式しきにも使つかえますが計算けいさんが重おもいので、 最後さいごの手段しゅだんと考えかんがえます。 なお、 解かいの公式こうしきで出でた答えこたえも、 根号こんごうの中なかを簡単かんたんにしたり約分やくぶんできたりすることがあるので、 最後さいごまで整理せいりしましょう。

大事だいじ: 文章ぶんしょう題だいでは、 出でてきた 2 つの解かいが 両方りょうほうとも答えこたえになるとはかぎりません。 長ながさや人数にんずうを求もとめているのに負ふの解かいが出でたら、 その解かいは条件じょうけんに合あわないので捨すてます。 捨すてた理由りゆうも書かいておくと二に次じで評価ひょうかされます。

自分じぶんでチェック

• 解の公式かいのこうしきを正ただしく書かける
• a, b, c を書かき出だしてから代入だいにゅうできる
• x² = 5 の解かいが ±√5 の 2 つだと言いえる
• 因数いんすう分解ぶんかいした式しきから解かいを正ただしい符号ふごうで読よめる
• 文章ぶんしょう題だいで条件じょうけんに合あわない解かいを理由りゆうをつけて捨すてられる

まとめ

• 移項いこうは符号ふごうが反対はんたいになる
• 連立れんりつは加減法かげんほうか代入法だいにゅうほうで文字もじを 1 つ消けす
• 二次方程式にじほうていしきは平方根へいほうこん・因数分解いんすうぶんかい・解の公式かいのこうしきの 3 通とおり
• 文章ぶんしょう題だいは解かいが条件じょうけんに合あうかを確認かくにん

次じ章しょうでは、 グラフの世界せかい 関数かんすう (比例ひれい反比例はんぴれい・一いち次じ関数かんすう・$y=a{x}^2$) を学まなびます。