二に次じ(数理すうり技能ぎのう)対策たいさく — 文章ぶんしょう題だいと特有とくゆう問題もんだい

この章しょうで学まなぶこと

仕上しあげとして、 二に次じ (数理すうり技能ぎのう) で出でる 文章ぶんしょう題だい と、 数検すうけん特有とくゆうの 規則きそく性せい の問題もんだいを練習れんしゅうします。 計算けいさんそのものより 「文章ぶんしょうから式しきをつくる力ちから」 が問とわれます。

• 速はやさの文章ぶんしょう題だい
• 割合わりあいの文章ぶんしょう題だい
• 規則きそく性せい (特有とくゆう問題もんだい)
• 立たつ式しきと検算けんざんの進すすめ方かた

ポイント: 二に次じの問題もんだいは 「わからないものを $x$ とおく → 関係かんけいを式しきにする → 解とく → 答えこたえが条件じょうけんに合あうか確認かくにん」 の 4 ステップ。 答えこたえに単位たんいをつけることも忘わすれずに。

1. 速はやさの文章ぶんしょう題だい

速はやさの関係かんけいはつぎの 3 つ。

$道のり=速さ\times 時間,速さ=\frac{}{},時間=\frac{}{}$

例題れいだい: 家いえから駅えきまで、 行いきは時速じそく$4$ km、 帰かえりは同おなじ道みちを時速じそく$6$ km で歩あるいた。 往復おうふくにかかった時間じかんが合計ごうけい$50$分のとき、 家いえから駅えきまでの道のりみちのりを求もとめよ。

道のりみちのりを $x$ km とおく。 行いきは $\frac{x}{4}$時間じかん、 帰かえりは $\frac{x}{6}$時間じかん。 $50$分$=\frac{50}{60}=\frac{5}{6}$時間じかん。

$\frac{x}{4}+\frac{x}{6}=\frac{5}{6}$

両辺りょうへんを $12$倍して

$3x+2x=10\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} 5x=10\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=2$

道のりみちのりは $2$ km。

検算けんざん: 行いき $\frac{2}{4}=0.5$時間じかん$=30$分、 帰かえり $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$時間じかん$=20$分、 合計ごうけい$50$分。 条件じょうけんに合あう。 正ただしい。

大事だいじ: 速はやさの問題もんだいは 単位たんいをそろえる ことが命いのち。 時速じそくを使つかうなら時間じかんも 「時間じかん」 に。 $50$分をそのまま $50$ にしないこと。

2. 割合わりあいの文章ぶんしょう題だい

割合わりあいの基本きほんは $\left(比べる 量\right)=\left(もと に する 量\right)\times \left(割合\right)$。 $a\%$ は $\frac{a}{100}$ で計算けいさんします。

例題れいだい: ある品物しなものを定価ていかの $2$割引わりびきで買かったところ、 代金だいきんが $1200$円だった。 定価ていかを求もとめよ。

定価ていかを $x$円とおく。 $2$割引わりびきは定価ていかの $0.8$倍なので、

$0.8x=1200\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} x=\frac{1200}{0.8}=1500$

定価ていかは $1500$円。

検算けんざん: $1500$円の $2$割は $300$円、 $1500-300=1200$円。 条件じょうけんに合あう。 正ただしい。

大事だいじ: 「$2$割引わりびき」 は $0.2$ をかけるのではなく、 残のこりの $0.8$ をかけます。 「いくら引ひくか」 と 「いくら残のこるか」 を混同こんどうしないこと。

3. 規則きそく性せい (特有とくゆう問題もんだい)

数かずや図形ずけいがあるきまりで並ならぶとき、 $n$番ばん目めを式しきで表あらわす問題もんだいです。 数かず検けんでよく出でる特有とくゆうのタイプ。

例題れいだい: マッチ棒ぼうで正方形せいほうけいを横よこにつなげて作つくる。 正方形せいほうけいを $1$個作つくるのに $4$本、 $2$個で $7$本、 $3$個で $10$本 ……。 正方形せいほうけいを $n$個作つくるのに必要ひつようなマッチ棒ぼうの本数ほんすうを $n$ の式しきで表あらわせ。

正方形せいほうけいの数かず	$1$	$2$	$3$	$4$
マッチ棒ぼう	$4$	$7$	$10$	$13$

$1$個ふえるごとに $3$本ずつふえているので、 公差こうさ$3$ の一いち次じ式しきと予想よそう。 $1$番ばん目めが $4$ なので、

$4+3(n-1)=3n+1 \left(本\right)$

検算けんざん: $n=1$ で $3+1=4$ ($\circ$)、 $n=3$ で $9+1=10$ ($\circ$)、 $n=4$ で $13$ ($\circ$)。 すべて表ひょうと一致いっち。 正ただしい。

ポイント: 規則きそく性せいは 「いくつずつふえるか (差さ)」 を見みつける のが第一歩だいいっぽ。 差さが一定いっていなら $($差$)\times n+($調整ちょうせい$)$ の形かたちになります。 必かならず小ちいさい $n$ で検算けんざんしましょう。

4. 仕上しあげ — 二に次じで点てんをとるコツ

• わからない量りょうを $x$ (必要ひつようなら $x,y$) とはっきりおく
• 「単位たんい」 と 「条件じょうけん」 を式しきに反映はんえいする (単位たんいをそろえる)
• 解といたあと、 もとの文章ぶんしょうにもどして 答えこたえが自然しぜんか を確認かくにんする
• 長ながさ・人数にんずう・個数こすうなどは 負ふや小数しょうすうが答えこたえにならない ことが多おおい

大事だいじ: 二に次じは部分ぶぶん点てんが大切たいせつ。 答えこたえだけでなく、 $x$ を何なんとおいたか、 どんな式しきを立たてたかをていねいに書かくと、 とちゅうまででも評価ひょうかされやすくなります。

どう問とわれるか

• 速はやさ・割合わりあい・二次方程式にじほうていしきの文章ぶんしょう題だいは二に次じの定番ていばん。 立たつ式しきができれば計算けいさん自体じたいはこれまでの章しょうの力ちからで解とけます。
• 規則きそく性せいは 「$n$番ばん目めの値あたい」 「$100$番ばん目めはいくつか」 のように一般いっぱん化かを求もとめられます。
• どの問題もんだいも 「立たつ式しき → 計算けいさん → 検算けんざん」 をていねいに進すすめるのが合格ごうかくへの近道ちかみちです。

よくまちがえるところ

二に次じの文章ぶんしょう題だいは、 計算けいさんではなく 立りつ式しきのところ でつまずきます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
単位たんいをそろえずに式しきを立たてる	時速じそく 4 km の問題もんだいで 50 分ぶんをそのまま 50 として計算けいさんする	時速じそくを使つかうなら 50 分ぶん = 50/60 = 5/6 時間じかんに直なおす
「2 割引わりびき」 に 0.2 をかける	定価ていか x 円えんの 2 割引わりびきを 0.2x とする	引ひいた残のこりは 0.8 倍ばい。 0.8x
規則きそく性せいで 1 番ばん目めからのふえ方かたを数かぞえまちがえる	1 番ばん目めが 4、 公差こうさ 3 なのに 4 + 3n とする	4 + 3(n - 1) = 3n + 1
求もとめた解かいをもとの文章ぶんしょうにもどして確たしかめない	人数にんずうを求もとめて 2.5 人ひとという答えこたえを出だす	条件じょうけんに合あうか (整数せいすうか、 正せいか) を必かならず確認かくにんする

いちばん多おおいのは 単位たんいのそろえ忘わすれ です。 速はやさの問題もんだいでは、 時速じそくなら時間じかん、 分速ふんそくなら分わか、 と単位たんいが一いち組くみになっています。 道のりみちのりを x km とおいて時速じそく 4 km で進すすむなら、 かかる時間じかんは x/4 「時間じかん」 です。 ここに 50 「分ぶん」 をそのまま足たすと、 まったく意味いみのちがう式しきになってしまいます。 立たつ式しきする前まえに、 使つかう単位たんいを紙かみのすみに書かいておくと防ふせげます。

立たつ式しきから検算けんざんまでの手順てじゅん

順番じゅんばん	やること	例れい (往復おうふく 50 分ぶん、 行いき時速じそく 4 km、 帰かえり時速じそく 6 km)
1	求もとめるものを x とおき、 単位たんいも書かく	道のりみちのりを x km とおく
2	使つかう単位たんいをそろえる	50 分ぶん = 5/6 時間じかん
3	分わかっている関係かんけいを式しきにする	x/4 + x/6 = 5/6
4	分母ぶんぼをはらってから解とく	両辺りょうへん 12 倍ばいして 3x + 2x = 10、 x = 2
5	もとの文章ぶんしょうにもどして確たしかめる	行いき 30 分ぶん、 帰かえり 20 分ぶんで合計ごうけい 50 分ぶん
6	単位たんいをつけて答こたえる	2 km

規則きそく性せいの問題もんだいも同おなじ流ながれです。 まず表ひょうに書かき出だして差さを調しらべ、 差さが一定いっていなら (差さ) × n + (調整ちょうせい) の形かたちと予想よそうし、 最後さいごに小ちいさい n で必かならず検算けんざんします。 1 番ばん目めの値あたいと公差こうさから式しきを作つくるときは 4 + 3(n - 1) のように (n - 1) を使つかうのが基本きほんで、 展開てんかいすると 3n + 1 になります。

大事だいじ: 二に次じは途中とちゅうの式しきにも点てんがつきます。 x を何なんとおいたか、 どの関係かんけいから式しきを立たてたかを 1 行くだりずつ書かいておけば、 最後さいごの計算けいさんをまちがえても部分ぶぶん点てんが残のこります。

自分じぶんでチェック

• 求もとめるものを x とおき、 単位たんいまで書かける
• 速はやさの問題もんだいで時間じかんの単位たんいをそろえられる
• 「a 割引わりびき」 を (1 - 0.1a) 倍ばいとして式しきにできる
• 規則きそく性せいで 1 番ばん目めからの差さを使つかって n の式しきを作つくれる
• 求もとめた答えこたえをもとの文章ぶんしょうにもどして確たしかめられる

まとめ

• 文章ぶんしょう題だいは 「$x$ とおく → 立たつ式しき → 解とく → 確認かくにん」 の 4 ステップ
• 速はやさ・割合わりあいは 単位たんいと割合わりあいのとり方かた に注意ちゅうい
• 規則きそく性せいは 「差さ」 を見みつけて $n$ の式しきにし、 小ちいさい $n$ で検算けんざん
• 二に次じはとちゅうの式しきもていねいに書かく

これで数すう検けん3級きゅうの教材きょうざいはひと通とおり終おわりです。 各かく章しょうの例題れいだいをくりかえし解とき、 一いち問もん一いち答とうや問題もんだい集しゅうで力ちからを確たしかめましょう。

※ 「数すう検けん」「実用じつよう数学すうがく技能ぎのう検定けんてい」 は公益こうえき財団ざいだん法人ほうじん日本にほん数学すうがく検定けんてい協会きょうかいの登録とうろく商標しょうひょうです。 この教材きょうざいは非公式ひこうしきの学習がくしゅう教材きょうざいであり、 合格ごうかくを保証ほしょうするものではありません。