三さん平方へいほうの定理ていり — 平面へいめんと空間くうかんへの応用おうよう

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう3 の最後さいごをかざる 三平方の定理さんへいほうのていり (ピタゴラスの定理ていり) を学まなびます。 直角ちょっかく三角形さんかくけいの辺へんの長ながさを求もとめる、 図形ずけいでいちばん強力きょうりょくな道具どうぐです。

• 三平方の定理さんへいほうのていりの意味いみ
• 特別とくべつな直角ちょっかく三角形さんかくけいの辺へんの比ひ
• 平面図形へいめんずけいへの応用おうよう (対角線たいかくせん・高たかさ)
• 空間くうかん図形ずけいへの応用おうよう (直方体ちょくほうたいの対角線たいかくせんなど)

ポイント: 直角ちょっかく三角形さんかくけいを見みたら三さん平方へいほう、 三さん平方へいほうを使つかうために直角ちょっかく三角形さんかくけいをつくる。 この 2 つが図形ずけい問題もんだいの王道おうどうです。

1. 三さん平方へいほうの定理ていり

直角ちょっかく三角形さんかくけいで、 直角ちょっかくをはさむ 2 辺へんを $a,b$、 斜辺しゃへん (直角ちょっかくの向むかいの辺へん) を $c$ とすると、

$a^2+b^2=c^2$

例題れいだい: 直角ちょっかくをはさむ 2 辺へんが $3$ と $4$ の直角ちょっかく三角形さんかくけいで、 斜辺しゃへんの長ながさを求もとめよ。

$c^2=3^2+4^2=9+16=25\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} c=5$

検算けんざん: $3^2+4^2=25=5^2$。 成なり立たつ。 斜辺しゃへんは $5$。

例題れいだい: 斜辺しゃへんが $13$、 1 辺へんが $5$ の直角ちょっかく三角形さんかくけいで、 残のこりの辺へんを求もとめよ。

$b^2={13}^2-5^2=169-25=144\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} b=12$

検算けんざん: $5^2+{12}^2=25+144=169={13}^2$。 成なり立たつ。

大事だいじ: 斜辺しゃへんはつねにいちばん長ながい辺へんで、 $c^2=a^2+b^2$ の 左辺さへんが斜辺しゃへん です。 どの辺へんが斜辺しゃへんかをまちがえないこと。

2. 特別とくべつな直角ちょっかく三角形さんかくけい

つぎの 2 つの比ひは暗記あんきしておくと速はやいです。

三角形さんかくけい	角度かくど	辺へんの比ひ
直角ちょっかく二等辺三角形にとうへんさんかくけい	$45°,45°,90°$	$1:1:\sqrt{2}$
三角さんかく定規じょうぎの形かたち	$30°,60°,90°$	$1:\sqrt{3}:2$

例題れいだい: 1 辺へんが $4$ の正方形せいほうけいの対角線たいかくせんの長ながさを求もとめよ。

正方形せいほうけいの対角線たいかくせんは直角ちょっかく二等辺三角形にとうへんさんかくけいの斜辺しゃへんなので、

$4\times \sqrt{2}=4\sqrt{2}$

検算けんざん: 三さん平方へいほうで確たしかめると $\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。 一致いっちする。

3. 平面図形へいめんずけいへの応用おうよう

例題れいだい: 2 点$A(1,2)$、 $B(4,6)$ の間まの距離きょりを求もとめよ。

$x$ の差さが $4-1=3$、 $y$ の差さが $6-2=4$。 これを直角ちょっかくをはさむ 2 辺へんと見みて、

$AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$

検算けんざん: $3^2+4^2=25$、 $\sqrt{25}=5$。 正ただしい。

4. 空間くうかん図形ずけいへの応用おうよう

直方体ちょくほうたいの対角線たいかくせんは、 三さん平方へいほうを 2 回かい使つかって求もとめます。 縦$a$、 横$b$、 高たかさ $c$ の直方体ちょくほうたいの対角線たいかくせん$\ell$ は、

$\ell =\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

例題れいだい: 縦$2$、 横$3$、 高たかさ $6$ の直方体ちょくほうたいの対角線たいかくせんの長ながさを求もとめよ。

$\ell =\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$

検算けんざん: $4+9+36=49$、 $\sqrt{49}=7$。 正ただしい。

ポイント: 直方体ちょくほうたいの対角線たいかくせんは、 まず底面ていめんの対角線たいかくせん ($\sqrt{a^2+b^2}$) を求もとめ、 それを 1 辺へん、 高たかさ $c$ をもう 1 辺へんとする直角ちょっかく三角形さんかくけいでもう一度いちど三さん平方へいほうを使つかう、 と考かんがえると $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ になります。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「直角ちょっかく三角形さんかくけいの残のこりの辺へん」 「正方形せいほうけいの対角線たいかくせん」 など、 定理ていりをそのまま使つかう計算けいさんが出でます。
• 二に次じでは 「円周角えんしゅうかくでつくった直角ちょっかく三角形さんかくけいに三さん平方へいほう」 「角錐かくすい・円錐えんすいの高たかさや体積たいせき」 など、 ほかの単元たんげんと組み合わせくみあわせた応用おうようが問とわれます。

よくまちがえるところ

三平方の定理さんへいほうのていりは、 どの辺へんが斜辺しゃへんか を取とりちがえると答えこたえがまるごとずれます。

まちがい	例れい	直なおし方かた
斜辺しゃへんを取とりちがえて式しきを立たてる	斜辺しゃへん 13、 1 辺へん 5 の三角形さんかくけいで 13² + 5² = 194 を計算けいさんする	斜辺しゃへんは式しきの右側みぎがわ。 13² - 5² = 144 で残のこりの辺へんは 12
2 乗じょうをはずすときにたし算さんにしてしまう	3² + 4² = 25 から c = 3 + 4 = 7 とする	c² = 25 なので c = √25 = 5
根号こんごうの中なかを簡単かんたんにせずに答こたえる	正方形せいほうけいの 1 辺へん 4 の対角線たいかくせんを √32 で止とめる	4√2 まで直なおす
空間くうかん図形ずけいで三さん平方へいほうを 1 回かいしか使つかわない	直方体ちょくほうたいの対角線たいかくせんを底面ていめんの対角線たいかくせんと同おなじにする	底面ていめんの対角線たいかくせんを出だしてからもう一度いちど使つかう

いちばん多おおいのは 斜辺しゃへんの取とりちがえ です。 斜辺しゃへんは直角ちょっかくの向むかい側がわにある辺へんで、 かならず 3 辺へんのうちいちばん長ながくなります。 答えこたえが出でたら 「求もとめた辺へんは斜辺しゃへんより短みじかいか」 を見みるだけで、 多おおくのミスに気きづけます。 上うえの例れいで 194 の平方根へいほうこんはおよそ 13.9 で、 斜辺しゃへん 13 より長ながくなってしまうので、 その時点じてんでおかしいと分わかります。

三さん平方へいほうの定理ていりを使つかう手順てじゅん

順番じゅんばん	やること	例れい (縦たて 2、 横よこ 3、 高たかさ 6 の直方体ちょくほうたいの対角線たいかくせん)
1	直角ちょっかく三角形さんかくけいを図ずの中なかに見みつける (なければ作つくる)	底面ていめんの長方形ちょうほうけいの対角線たいかくせんをひく
2	どの辺へんが斜辺しゃへんかを決きめる	底面ていめんでは底面ていめんの対角線たいかくせんが斜辺しゃへん
3	a² + b² = c² にあてはめる	2² + 3² = 13
4	平方根へいほうこんをとって長ながさを出だす	底面ていめんの対角線たいかくせんは √13
5	空間くうかんならその辺へんと高たかさでもう一度いちど 1 から 4 を行おこなう	(√13)² + 6² = 13 + 36 = 49
6	根号こんごうを簡単かんたんにし、 斜辺しゃへんがいちばん長ながいか確たしかめる	√49 = 7。 2, 3, 6 のどれより長ながく自然しぜん

45°, 45°, 90° の直角ちょっかく二等辺三角形にとうへんさんかくけいは 1 : 1 : √2、 30°, 60°, 90° の三角形さんかくけいは 1 : √3 : 2 です。 この比ひを覚おぼえていれば手順てじゅん 3・4 を省はぶけますが、 どの辺へんが 2 にあたるか を図ずで確たしかめてから使つかいましょう。 30°, 60°, 90° では 2 にあたるのが斜辺しゃへん、 √3 にあたるのが 60° の向むかい側がわの辺へんです。

大事だいじ: 直方体ちょくほうたいの対角線たいかくせんは √(a² + b² + c²) にまとまりますが、 これは三さん平方へいほうを 2 回かい使つかった結果けっかです。 意味いみを理解りかいしておくと、 角錐かくすいや円錐えんすいで高たかさを求もとめるときにも同おなじ考かんがえ方かたが使つかえます。

自分じぶんでチェック

• 三平方の定理さんへいほうのていり a² + b² = c² の c が斜辺しゃへんだと言いえる
• 斜辺しゃへんがいちばん長ながい辺へんであることを使つかって答えこたえを確たしかめられる
• c² から c を求もとめるとき平方根へいほうこんをとれる
• 1 : 1 : √2 と 1 : √3 : 2 の比ひをどの角かくに対応たいおうさせるか言いえる
• 直方体ちょくほうたいの対角線たいかくせんを三さん平方へいほうを 2 回かい使つかって求もとめられる

まとめ

• 三平方の定理さんへいほうのていり: $a^2+b^2=c^2$ ($c$ が斜辺しゃへん)
• 特別とくべつな比ひ: $1:1:\sqrt{2}$ と $1:\sqrt{3}:2$
• 座標ざひょう上じょうの 2 点てん間かんの距離きょりも三さん平方へいほうで
• 直方体ちょくほうたいの対角線たいかくせんは $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

次章しょうでは、 確率かくりつ・データの活用かつよう・標本調査ひょうほんちょうさ を学まなびます。