三さん平方へいほうの定理ていり — 平面へいめんと空間くうかんへの応用おうよう

この 章しょう で 学まなぶ こと

中ちゅう3 の 最後さいご を かざる 三平方の定理さんへいほうのていり (ピタゴラス の 定理ていり) を 学まなび ます。 直角ちょっかく三角形さんかっけい の 辺あたり の 長ながさ を 求もとめる、 図形ずけい で いちばん 強力きょうりょく な 道具どうぐ です。

• 三平方の定理さんへいほうのていり の 意味いみ
• 特別とくべつ な 直角ちょっかく三角形さんかっけい の 辺あたり の 比ひ
• 平面へいめん図形ずけい への 応用おうよう (対角線たいかくせん・高たかさ)
• 空間くうかん図形ずけい への 応用おうよう (直方体ちょくほうたい の 対角線たいかくせん など)

ポイント: 直角ちょっかく三角形さんかっけい を 見みたら 三さん平方へいほう、 三さん平方へいほう を 使つかう ため に 直角ちょっかく三角形さんかっけい を つくる。 この 2 つ が 図形ずけい問題もんだい の 王道おうどう です。

1. 三さん平方へいほうの定理ていり

直角ちょっかく三角形さんかっけい で、 直角ちょっかく を はさむ 2 辺あたり を $a,b$、 斜辺しゃへん (直角ちょっかく の 向むかい の 辺あたり) を $c$ と する と、

$a^2+b^2=c^2$

例題れいだい: 直角ちょっかく を はさむ 2 辺あたり が $3$ と $4$ の 直角ちょっかく三角形さんかっけい で、 斜辺しゃへん の 長ながさ を 求もとめよ。

$c^2=3^2+4^2=9+16=25\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} c=5$

検算けんざん: $3^2+4^2=25=5^2$。 成なり立たつ。 斜辺しゃへん は $5$。

例題れいだい: 斜辺しゃへん が $13$、 1 辺あたり が $5$ の 直角ちょっかく三角形さんかっけい で、 残のこり の 辺あたり を 求もとめよ。

$b^2={13}^2-5^2=169-25=144\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} b=12$

検算けんざん: $5^2+{12}^2=25+144=169={13}^2$。 成なり立たつ。

大事だいじ: 斜辺しゃへん は つねに いちばん 長ながい 辺あたり で、 $c^2=a^2+b^2$ の 左辺さへん が 斜辺しゃへん です。 どの 辺あたり が 斜辺しゃへん か を まちがえ ない こと。

2. 特別とくべつな直角ちょっかく三角形さんかっけい

つぎ の 2 つ の 比ひ は 暗記あんき して おく と 速はやい です。

三角形さんかっけい	角度かくど	辺あたり の 比ひ
直角ちょっかく二等辺三角形にとうへんさんかっけい	$45°,45°,90°$	$1:1:\sqrt{2}$
三角さんかく定規じょうぎ の 形かたち	$30°,60°,90°$	$1:\sqrt{3}:2$

例題れいだい: 1 辺あたり が $4$ の 正方形せいほうけい の 対角線たいかくせん の 長ながさ を 求もとめよ。

正方形せいほうけい の 対角線たいかくせん は 直角ちょっかく二等辺三角形にとうへんさんかっけい の 斜辺しゃへん なので、

$4\times \sqrt{2}=4\sqrt{2}$

検算けんざん: 三さん平方へいほう で 確たしかめる と $\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。 一致いっち する。

3. 平面へいめん図形ずけい への 応用おうよう

例題れいだい: 2 点$A(1,2)$、 $B(4,6)$ の 間ま の 距離きょり を 求もとめよ。

$x$ の 差さ が $4-1=3$、 $y$ の 差さ が $6-2=4$。 これ を 直角ちょっかく を はさむ 2 辺あたり と 見みて、

$AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$

検算けんざん: $3^2+4^2=25$、 $\sqrt{25}=5$。 正ただしい。

4. 空間くうかん図形ずけい への 応用おうよう

直方体ちょくほうたい の 対角線たいかくせん は、 三さん平方へいほう を 2 回かい使つかって 求もとめ ます。 縦$a$、 横$b$、 高たかさ $c$ の 直方体ちょくほうたい の 対角線たいかくせん$\ell$ は、

$\ell =\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

例題れいだい: 縦$2$、 横$3$、 高たかさ $6$ の 直方体ちょくほうたい の 対角線たいかくせん の 長ながさ を 求もとめよ。

$\ell =\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$

検算けんざん: $4+9+36=49$、 $\sqrt{49}=7$。 正ただしい。

ポイント: 直方体ちょくほうたい の 対角線たいかくせん は、 まず 底面ていめん の 対角線たいかくせん ($\sqrt{a^2+b^2}$) を 求もとめ、 それ を 1 辺あたり、 高たかさ $c$ を もう 1 辺あたり と する 直角ちょっかく三角形さんかっけい で もう 一いち度ど三さん平方へいほう を 使つかう、 と 考かんがえる と $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ に なり ます。

どう 問とわれる か

• 一いち次じ で は 「直角ちょっかく三角形さんかっけい の 残のこり の 辺あたり」 「正方形せいほうけい の 対角線たいかくせん」 など、 定理ていり を そのまま 使つかう 計算けいさん が 出で ます。
• 二に次じ で は 「円周角えんしゅうかく で つくった 直角ちょっかく三角形さんかっけい に 三さん平方へいほう」 「角錐かくすい・円錐えんすい の 高たかさ や 体積たいせき」 など、 ほか の 単元たんげん と 組くみ合あわせ た 応用おうよう が 問とわれ ます。

まとめ

• 三平方の定理さんへいほうのていり: $a^2+b^2=c^2$ ($c$ が 斜辺しゃへん)
• 特別とくべつ な 比ひ: $1:1:\sqrt{2}$ と $1:\sqrt{3}:2$
• 座標ざひょう上じょう の 2 点てん間かん の 距離きょり も 三さん平方へいほう で
• 直方体ちょくほうたい の 対角線たいかくせん は $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

次じ章しょう で は、 確率かくりつ・データ の 活用かつよう・標本調査ひょうほんちょうさ を 学まなび ます。