三さん平方へいほうの定理ていり — 平面へいめんと空間くうかんへの応用おうよう

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう3 の最後さいごをかざる 三平方の定理さんへいほうのていり (ピタゴラスの定理ていり) を学まなびます。 直角ちょっかく三角形さんかくけいの辺あたりの長ながさを求もとめる、 図形ずけいでいちばん強力きょうりょくな道具どうぐです。

• 三平方の定理さんへいほうのていり の意味いみ
• 特別とくべつな直角ちょっかく三角形さんかくけいの辺あたりの比ひ
• 平面へいめん図形ずけいへの応用おうよう (対角線たいかくせん・高たかさ)
• 空間くうかん図形ずけいへの応用おうよう (直方体ちょくほうたいの対角線たいかくせんなど)

ポイント: 直角ちょっかく三角形さんかくけいを見みたら三さん平方へいほう、 三さん平方へいほうを使つかうために直角ちょっかく三角形さんかくけいをつくる。 この 2 つが図形ずけい問題もんだいの王道おうどうです。

1. 三さん平方へいほうの定理ていり

直角ちょっかく三角形さんかくけいで、 直角ちょっかくをはさむ 2 辺あたりを $a,b$、 斜辺しゃへん (直角ちょっかくの向むかいの辺あたり) を $c$ とすると、

$a^2+b^2=c^2$

例題れいだい: 直角ちょっかくをはさむ 2 辺あたりが $3$ と $4$ の直角ちょっかく三角形さんかくけいで、 斜辺しゃへんの長ながさを求もとめよ。

$c^2=3^2+4^2=9+16=25\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} c=5$

検算けんざん: $3^2+4^2=25=5^2$。 成なり立たつ。 斜辺しゃへんは $5$。

例題れいだい: 斜辺しゃへんが $13$、 1 辺あたりが $5$ の直角ちょっかく三角形さんかくけいで、 残のこりの辺あたりを求もとめよ。

$b^2={13}^2-5^2=169-25=144\hspace{0.25em} \Rightarrow \hspace{0.25em} b=12$

検算けんざん: $5^2+{12}^2=25+144=169={13}^2$。 成なり立たつ。

大事だいじ: 斜辺しゃへんはつねにいちばん長ながい辺あたりで、 $c^2=a^2+b^2$ の 左辺さへんが斜辺しゃへん です。 どの辺あたりが斜辺しゃへんかをまちがえないこと。

2. 特別とくべつな直角ちょっかく三角形さんかくけい

つぎの 2 つの比ひは暗記あんきしておくと速はやいです。

三角形さんかくけい	角度かくど	辺あたりの比ひ
直角ちょっかく二等辺三角形にとうへんさんかっけい	$45°,45°,90°$	$1:1:\sqrt{2}$
三角さんかく定規じょうぎの形かたち	$30°,60°,90°$	$1:\sqrt{3}:2$

例題れいだい: 1 辺あたりが $4$ の正方形せいほうけいの 対角線たいかくせん の長ながさを求もとめよ。

正方形せいほうけいの 対角線たいかくせん は直角ちょっかく二等辺三角形にとうへんさんかっけいの斜辺しゃへんなので、

$4\times \sqrt{2}=4\sqrt{2}$

検算けんざん: 三さん平方へいほうで確たしかめると $\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。 一致いっちする。

3. 平面へいめん図形ずけいへの応用おうよう

例題れいだい: 2 点$A(1,2)$、 $B(4,6)$ の間まの距離きょりを求もとめよ。

$x$ の差さが $4-1=3$、 $y$ の差さが $6-2=4$。 これを直角ちょっかくをはさむ 2 辺あたりと見みて、

$AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$

検算けんざん: $3^2+4^2=25$、 $\sqrt{25}=5$。 正ただしい。

4. 空間くうかん図形ずけいへの応用おうよう

直方体ちょくほうたいの 対角線たいかくせん は、 三さん平方へいほうを 2 回かい使つかって求もとめます。 縦$a$、 横$b$、 高たかさ $c$ の直方体ちょくほうたいの対角線たいかくせん$\ell$ は、

$\ell =\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

例題れいだい: 縦$2$、 横$3$、 高たかさ $6$ の直方体ちょくほうたいの 対角線たいかくせん の長ながさを求もとめよ。

$\ell =\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7$

検算けんざん: $4+9+36=49$、 $\sqrt{49}=7$。 正ただしい。

ポイント: 直方体ちょくほうたいの対角線たいかくせんは、 まず底面ていめんの対角線たいかくせん ($\sqrt{a^2+b^2}$) を求もとめ、 それを 1 辺あたり、 高たかさ $c$ をもう 1 辺あたりとする直角ちょっかく三角形さんかくけいでもう一度いちど三さん平方へいほうを使つかう、 と考かんがえると $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ になります。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「直角ちょっかく三角形さんかくけいの残のこりの辺あたり」 「正方形せいほうけいの対角線たいかくせん」 など、 定理ていりをそのまま使つかう計算けいさんが出でます。
• 二に次じでは 「円周角えんしゅうかく でつくった直角ちょっかく三角形さんかくけいに三さん平方へいほう」 「角錐かくすい・円錐えんすいの高たかさや体積たいせき」 など、 ほかの単元たんげんと組み合わせくみあわせた応用おうようが問とわれます。

まとめ

• 三平方の定理さんへいほうのていり: $a^2+b^2=c^2$ ($c$ が斜辺しゃへん)
• 特別とくべつな比ひ: $1:1:\sqrt{2}$ と $1:\sqrt{3}:2$
• 座標ざひょう上じょうの 2 点てん間かんの距離きょりも三さん平方へいほうで
• 直方体ちょくほうたいの対角線たいかくせんは $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

次章しょうでは、 確率かくりつ・データの活用かつよう・標本調査ひょうほんちょうさ を学まなびます。