正負せいふの数かず・文字もじ式しき・式しきの計算けいさん

この章しょうで学まなぶこと

すべての計算けいさんの土台どだいとなる部分ぶぶんです。 ここがあやふやだと、 平方根へいほうこんや二次方程式にじほうていしきでつまずきます。 一いち次じ (計算けいさん技能ぎのう) で確実かくじつに点てんをとるためにも、 ここをしっかり固かためましょう。

• 正負せいふの数かずの四則しそく (たし算さん・ひき算さん・かけ算ざん・わり算ざん)
• 累乗るいじょうと計算けいさんの順序じゅんじょ
• 文字式もじしきの表あらわし方かたと計算けいさん
• 単項式たんこうしき・多項式たこうしきの計算けいさん

ポイント: いちばんの注意ちゅうい点てんは 符号ふごう (+ と -) です。 とくに 「マイナスをかける」 「カッコをはずす」 ときに符号ふごうをまちがえやすいので、 ていねいに進すすめましょう。

1. 正負せいふの数かずの計算けいさん

たし算さん・ひき算さん

• 同おなじ符号ふごうどうし → 絶対ぜったい値ちを たして もとの符号ふごう
• ちがう符号ふごうどうし → 絶対ぜったい値ちの 差さ をとり大おおきいほうの符号ふごう

例れい: $(-7)+(-5)=-12,(-7)+5=-2$

ひき算さんは 「ひく数すうの符号ふごうを変かえてたす」 と考えかんがえます。

$3-(-4)=3+4=7$

かけ算ざん・わり算ざん

• 符号ふごうが 同おなじ → 答えこたえは $+$
• 符号ふごうが ちがう → 答えこたえは $-$

$(-3)\times (-4)=12,(-20)÷4=-5$

累乗るいじょうと計算けいさんの順序じゅんじょ

計算けいさんは 「累乗るいじょう → かけ算ざん・わり算ざん → たし算さん・ひき算さん」 の順じゅん、 カッコがあれば先さきに。

例題れいだい: $-3^2$ と $(-3{)}^2$ のちがいに注意ちゅういして計算けいさんせよ。

式しき	意味いみ	答えこたえ
$-3^2$	$-(3\times 3)$	$-9$
$(-3{)}^2$	$(-3)\times (-3)$	$9$

例題れいだい: $12-4\times (-2)$ を計算けいさんせよ。

$12-4\times (-2)=12-(-8)=12+8=20$

検算けんざん: $4\times (-2)=-8$、 $12-(-8)=20$。 正ただしい。

大事だいじ: $-3^2=-9$ です。 マイナスは 2 乗じょうの 「外そと」 にあると考えかんがえます。 符号ふごうがついた数かずを 2 乗じょうしたいときは、 $(-3{)}^2$ のようにカッコでくくります。

2. 文字もじ式しきの計算けいさん

表あらわし方かたのルール

• かけ算ざんの記号きごう$\times$ ははぶく ($a\times b=ab$)
• 数かずは文字もじの 前ぜん に書かく ($3\times a=3a$)
• 同おなじ文字もじの積せきは累乗るいじょうで ($a\times a=a^2$)
• わり算ざんは分数ぶんすうで ($a÷3=\frac{a}{3}$)

1次じ式しきの計算けいさん

同類項どうるいこう (文字もじの部分ぶぶんが同おなじ項こう) をまとめます。

例題れいだい: $(5x-3)-(2x-7)$ を計算けいさんせよ。

$(5x-3)-(2x-7)=5x-3-2x+7=3x+4$

検算けんざん: $x=1$ を代入だいにゅうすると、 もとの式しきは $(5-3)-(2-7)=2-(-5)=7$、 答えこたえの式しきは $3\times 1+4=7$。 一致いっちする。

ポイント: カッコの前まえが $-$ のとき、 カッコをはずすと 中ちゅうの符号ふごうがすべて反対はんたい になります。 $-(2x-7)=-2x+7$。 ここが最大さいだいのミスポイントです。

3. 単項式たんこうしき・多項式たこうしきの計算けいさん

単項式たんこうしきのかけ算ざん・わり算ざん

数かずどうし、 文字もじどうしを分わけて計算けいさんします。

例題れいだい: $6a^{2}b÷3a$ を計算けいさんせよ。

$6a^{2}b÷3a=\frac{6a^{2}b}{3a}=2ab$

検算けんざん: $2ab\times 3a=6a^{2}b$。 もとにもどる。 正ただしい。

多項式たこうしきと数かずのかけ算ざん (分配ぶんぱい法則ほうそく)

例題れいだい: $2(3x-4)-3(x-5)$ を計算けいさんせよ。

$2(3x-4)-3(x-5)=6x-8-3x+15=3x+7$

検算けんざん: $x=2$ でもとの式$=2(6-4)-3(2-5)=4-(-9)=13$、 答えこたえ $=3\times 2+7=13$。 一致いっち。

式しきの値あたい

例題れいだい: $x=-2$ のとき、 $x^2-3x+1$ の値あたいを求もとめよ。

$(-2{)}^2-3\times (-2)+1=4+6+1=11$

大事だいじ: 代入だいにゅうするときは必かならず カッコをつけて から代入だいにゅうします。 $x^2$ に $x=-2$ を入いれるときは $(-2{)}^2=4$。 カッコを忘わすれると $-4$ にしてしまいます。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「$-5^2+(-3{)}^2$ を計算けいさんせよ」 のような 符号ふごうと累乗るいじょう の計算けいさんがねらわれます。
• 文字もじ式しきでは 「$3(2x-1)-(x+4)$ を計算けいさんせよ」 のように、 カッコをはずすときの符号ふごう がポイントです。
• 式しきの値あたいの問題もんだいでは、 負ふの数かずの代入だいにゅうでカッコをつけ忘わすれないことが大切たいせつです。

よくまちがえるところ

この章しょうの失点しってんは、 ほぼすべて 符号ふごう が原因げんいんです。 計算けいさんのやり方かたは分わかっていても、 符号ふごうひとつで答えこたえが変かわります。

まちがい	例れい	直なおし方かた
累乗るいじょうにマイナスがかかる位置いちを取とりちがえる	-3² を 9 とする	-3² は -(3 × 3) = -9、 (-3)² = 9
ひき算さんをたし算さんに直なおすときの符号ふごうを落おとす	3 - (-4) を -1 とする	ひく数すうの符号ふごうを変かえてたす。 3 + 4 = 7
マイナスのカッコをはずすとき後うしろの項こうを写うつす	(5x - 3) - (2x - 7) = 5x - 3 - 2x - 7 とする	中なかの全部ぜんぶの項こうの符号ふごうを反対はんたいにして -2x + 7
負ふの数かずを代入だいにゅうするときカッコをつけない	x = -2 を x² に入いれて -2² = -4 とする	(-2)² = 4 とカッコをつけてから計算けいさんする

いちばん多おおいのは -3² と (-3)² の取とりちがえ です。 累乗るいじょうの記号きごうは、 すぐ左ひだりにある 1 つの数かずや文字もじだけにかかります。 -3² では 3 だけが 2 乗じょうされ、 マイナスはそのまま残のこるので -9。 一方いっぽう (-3)² はカッコ全体ぜんたいが 2 乗じょうされるので (-3) × (-3) = 9 です。 代入だいにゅうのときにカッコをつける習慣しゅうかんは、 このミスをそのままふせいでくれます。

たしかめ方かた

答えこたえが出でたら、 つぎの手順てじゅんで検算けんざんします。

順番じゅんばん	やること	例れい (2(3x - 4) - 3(x - 5) = 3x + 7)
1	x に 0 以外いがいの簡単かんたんな数かずを決きめる	x = 2
2	もとの式しきに代入だいにゅうする	2 × 2 - 3 × (-3) = 4 + 9 = 13
3	答えこたえの式しきに同おなじ数かずを代入だいにゅうする	3 × 2 + 7 = 13
4	一致いっちするか確たしかめる	一致いっちするので正ただしい

わり算ざんの答えこたえはかけ算ざんにもどして確たしかめます。 6a²b ÷ 3a = 2ab なら、 2ab × 3a = 6a²b でもとにもどるので正ただしいと分わかります。 とくに文字もじが消きえたり残のこったりする計算けいさんでは、 この 「かけ戻もどし」 がいちばん確実かくじつです。

大事だいじ: 検算けんざんに x = 1 を使つかうと、 3x と 3x² のちがいが見みえません (どちらも 3 になる)。 次数じすうのちがう項こうがあるときは x = 2 のように 1 以外いがいの数かずを選えらびましょう。

自分じぶんでチェック

• -3² = -9、 (-3)² = 9 のちがいを説明せつめいできる
• ひき算さんをたし算さんに直なおすときの符号ふごうを正ただしく変かえられる
• カッコの前まえがマイナスのとき中ちゅうの全部ぜんぶの項こうの符号ふごうを変かえられる
• 負ふの数かずを代入だいにゅうするときカッコをつけられる
• わり算ざんの答えこたえをかけ算ざんにもどして検算けんざんできる

まとめ

• 正負せいふの数かずは 符号ふごうのルール を確実かくじつに
• $-3^2=-9$、 $(-3{)}^2=9$ のちがいに注意ちゅうい
• カッコの前まえが $-$ なら、 はずすときに中なかの符号ふごうがすべて反対はんたい
• 代入だいにゅうはカッコをつけてから

次じ章しょうでは、 中ちゅう3 の重要じゅうよう単元たんげん 平方根へいほうこん を学まなびます。