正負せいふの数かず・文字もじ式しき・式しきの計算けいさん

この 章しょう で 学まなぶ こと

すべて の 計算けいさん の 土台どだい と なる 部分ぶぶん です。 ここ が あやふや だ と、 平方根へいほうこん や 二次方程式にじほうていしき で つまずき ます。 一いち次じ (計算けいさん技能ぎのう) で 確実かくじつ に 点てん を とる ため に も、 ここ を しっかり 固かため ましょう。

• 正負せいふ の 数かず の 四則しそく (たし算さん・ひき算さん・かけ算ざん・わり算ざん)
• 累乗るいじょう と 計算けいさん の 順序じゅんじょ
• 文字式もじしき の 表あらわし方かた と 計算けいさん
• 単項式たんこうしき・多項式たこうしき の 計算けいさん

ポイント: いちばん の 注意ちゅうい点てん は 符号ふごう (+ と -) です。 とくに 「マイナス を かける」 「カッコ を はずす」 とき に 符号ふごう を まちがえ やすい ので、 ていねい に 進すすめ ましょう。

1. 正負せいふ の 数かず の 計算けいさん

たし算さん・ひき算さん

• 同おなじ 符号ふごう どうし → 絶対ぜったい値ち を たして もと の 符号ふごう
• ちがう 符号ふごう どうし → 絶対ぜったい値ち の 差さ を とり 大おおきい ほう の 符号ふごう

例れい: $(-7)+(-5)=-12,(-7)+5=-2$

ひき算さん は 「ひく 数かず の 符号ふごう を 変かえて たす」 と 考かんがえ ます。

$3-(-4)=3+4=7$

かけ算ざん・わり算ざん

• 符号ふごう が 同おなじ → 答こたえ は $+$
• 符号ふごう が ちがう → 答こたえ は $-$

$(-3)\times (-4)=12,(-20)÷4=-5$

累乗るいじょう と 計算けいさん の 順序じゅんじょ

計算けいさん は 「累乗るいじょう → かけ算ざん・わり算ざん → たし算さん・ひき算さん」 の 順じゅん、 カッコ が あれば 先さき に。

例題れいだい: $-3^2$ と $(-3{)}^2$ の ちがい に 注意ちゅうい して 計算けいさん せよ。

式しき	意味いみ	答こたえ
$-3^2$	$-(3\times 3)$	$-9$
$(-3{)}^2$	$(-3)\times (-3)$	$9$

例題れいだい: $12-4\times (-2)$ を 計算けいさん せよ。

$12-4\times (-2)=12-(-8)=12+8=20$

検算けんざん: $4\times (-2)=-8$、 $12-(-8)=20$。 正ただしい。

大事だいじ: $-3^2=-9$ です。 マイナス は 2 乗じょう の 「外そと」 に ある と 考かんがえ ます。 符号ふごう が ついた 数かず を 2 乗じょう し たい とき は、 $(-3{)}^2$ の よう に カッコ で くくり ます。

2. 文字もじ式しき の 計算けいさん

表あらわし方かた の ルール

• かけ算ざん の 記号きごう$\times$ は はぶく ($a\times b=ab$)
• 数かず は 文字もじ の 前ぜん に 書かく ($3\times a=3a$)
• 同おなじ 文字もじ の 積つむ は 累乗るいじょう で ($a\times a=a^2$)
• わり算ざん は 分数ぶんすう で ($a÷3=\frac{a}{3}$)

1次じ式しき の 計算けいさん

同類項どうるいこう (文字もじ の 部分ぶぶん が 同おなじ 項こう) を まとめ ます。

例題れいだい: $(5x-3)-(2x-7)$ を 計算けいさん せよ。

$(5x-3)-(2x-7)=5x-3-2x+7=3x+4$

検算けんざん: $x=1$ を 代入だいにゅう すると、 もと の 式しき は $(5-3)-(2-7)=2-(-5)=7$、 答こたえ の 式しき は $3\times 1+4=7$。 一致いっち する。

ポイント: カッコ の 前まえ が $-$ の とき、 カッコ を はずす と 中ちゅう の 符号ふごう が すべて 反対はんたい に なり ます。 $-(2x-7)=-2x+7$。 ここ が 最大さいだい の ミス ポイント です。

3. 単項式たんこうしき・多項式たこうしき の 計算けいさん

単項式たんこうしき の かけ算ざん・わり算ざん

数かず どうし、 文字もじ どうし を 分わけて 計算けいさん し ます。

例題れいだい: $6a^{2}b÷3a$ を 計算けいさん せよ。

$6a^{2}b÷3a=\frac{6a^{2}b}{3a}=2ab$

検算けんざん: $2ab\times 3a=6a^{2}b$。 もと に もどる。 正ただしい。

多項式たこうしき と 数かず の かけ算ざん (分配ぶんぱい法則ほうそく)

例題れいだい: $2(3x-4)-3(x-5)$ を 計算けいさん せよ。

$2(3x-4)-3(x-5)=6x-8-3x+15=3x+7$

検算けんざん: $x=2$ で もと の 式$=2(6-4)-3(2-5)=4-(-9)=13$、 答こたえ $=3\times 2+7=13$。 一致いっち。

式しき の 値ね

例題れいだい: $x=-2$ の とき、 $x^2-3x+1$ の 値ね を 求もとめよ。

$(-2{)}^2-3\times (-2)+1=4+6+1=11$

大事だいじ: 代入だいにゅう する とき は 必かならず カッコ を つけて から 代入だいにゅう し ます。 $x^2$ に $x=-2$ を 入いれる とき は $(-2{)}^2=4$。 カッコ を 忘わすれる と $-4$ に して しまい ます。

どう 問とわれる か

• 一いち次じ で は 「$-5^2+(-3{)}^2$ を 計算けいさん せよ」 の よう な 符号ふごう と 累乗るいじょう の 計算けいさん が ねらわれ ます。
• 文字もじ式しき で は 「$3(2x-1)-(x+4)$ を 計算けいさん せよ」 の よう に、 カッコ を はずす とき の 符号ふごう が ポイント です。
• 式しき の 値ね の 問題もんだい で は、 負まけ の 数かず の 代入だいにゅう で カッコ を つけ忘わすれ ない こと が 大切たいせつ です。

まとめ

• 正負せいふ の 数かず は 符号ふごう の ルール を 確実かくじつ に
• $-3^2=-9$、 $(-3{)}^2=9$ の ちがい に 注意ちゅうい
• カッコ の 前まえ が $-$ なら、 はずす とき に 中なか の 符号ふごう が すべて 反対はんたい
• 代入だいにゅう は カッコ を つけて から

次じ章しょう で は、 中ちゅう3 の 重要じゅうよう単元たんげん 平方根へいほうこん を 学まなび ます。