平方根へいほうこん — 根号こんごうの計算けいさん・有理ゆうり化か・大小だいしょう

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう3 で新あたらしく出でてくる 平方根へいほうこん ($\sqrt{ }$ の計算けいさん) を学まなびます。 二次方程式にじほうていしき や 三平方の定理さんへいほうのていり で必かならず使つかうので、 ここを確実かくじつにしましょう。

• 平方根へいほうこん と 根号こんごう ($\sqrt{ }$) の意味いみ
• 根号こんごうのかけ算ざん・わり算ざん・たし算さん・ひき算さん
• 根号こんごうをふくむ式しきの計算けいさん (簡単かんたんにする)
• 分母ぶんぼの 有理化ゆうりか
• 平方根へいほうこんの大小だいしょう

ポイント: $\sqrt{a}$ は 「2 乗じょうすると $a$ になる正せいの数かず」 です。 たとえば $\sqrt{9}=3$ ($3^2=9$ だから)。 根号こんごうの中なかをできるだけ小ちいさくするのが計算けいさんの基本きほんです。

1. 平方根へいほうこんと根号こんごう

ある数$a$ ($a>0$) に対たいして、 2 乗じょうすると $a$ になる数かずを $a$ の 平方根へいほうこん といいます。 正ただし・負まけの 2 つあり、 正せいのほうを $\sqrt{a}$、 負まけのほうを $-\sqrt{a}$ と書かきます。

数かず	平方根へいほうこん
$9$	$3$ と $-3$
$5$	$\sqrt{5}$ と $-\sqrt{5}$
$0$	$0$ のみ

大事だいじ: $\sqrt{9}=3$ ($-3$ ではない)。 根号こんごう$\sqrt{ }$ は正せいの平方根へいほうこんだけを表あらわします。 一方いっぽう、 「$9$ の平方根へいほうこんは?」 と聞きかれたら $\pm 3$ の両方りょうほうです。 問いとい方かたのちがいに注意ちゅうい。

2. 根号こんごうの計算けいさん

かけ算ざん・わり算ざん

$\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab},\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\ge 0, b>0)$

根号こんごうの外そとに出だす

根号こんごうの中なかが 「(平方へいほう数すう) $\times$ (残のこり)」 の形かたちなら、 平方へいほう数すうを外そとに出だせます。

例題れいだい: $\sqrt{12}$ を簡単かんたんにせよ。

$\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{4}\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}$

検算けんざん: $2\sqrt{3}$ を 2 乗じょうすると $2^2\times 3=4\times 3=12$。 もとの $\sqrt{12}$ に戻もどる。 正ただしい。

たし算さん・ひき算さん

根号こんごうの中なかが同おなじものどうしだけ、 まとめられます (文字もじ式しきの同類項どうるいこうと同おなじ感覚かんかく)。

例題れいだい: $\sqrt{18}+\sqrt{8}$ を計算けいさんせよ。

$\sqrt{18}=3\sqrt{2},\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ $\sqrt{18}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}$

検算けんざん: $5\sqrt{2}$ を 2 乗じょうすると $25\times 2=50$。 一方いっぽう$\sqrt{18}+\sqrt{8}$ を概算がいさんすると $4.24+2.83=7.07$、 $5\sqrt{2}\approx 5\times 1.41=7.07$。 一致いっちする。

ポイント: $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ は これ以上いじょうまとめられません。 中なかがちがうからです。 「ルートのたし算さんは中身なかみが同おなじときだけ」 と覚おぼえましょう。

3. 分母ぶんぼの有理ゆうり化か

分母ぶんぼに根号こんごうがある形かたちは、 分母ぶんぼから根号こんごうをなくす 有理化ゆうりか をします。 分母ぶんぼと同おなじ根号こんごうを分母ぶんぼ・分子ぶんしにかけます。

例題れいだい: $\frac{6}{\sqrt{3}}$ を 有理化ゆうりか せよ。

$\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$

検算けんざん: $2\sqrt{3}\approx 2\times 1.73=3.46$、 もとの $\frac{6}{\sqrt{3}}\approx \frac{6}{1.73}=3.47$。 ほぼ一致いっち (四捨五入ししゃごにゅうの差さ)。 正ただしい。

大事だいじ: 答えこたえは根号こんごうを簡単かんたんにし、 分母ぶんぼを 有理化ゆうりか した形かたちにするのがマナーです。 $\frac{6\sqrt{3}}{3}$ で止とめず、 $2\sqrt{3}$ まで約分やくぶんしましょう。

4. 平方根へいほうこんの大小だいしょう

根号こんごうの中なかが大おおきいほど、 値ねも大おおきくなります ( なら )。 根号こんごうがない数かずは、 2 乗じょうして中なかに入いれると比くらべやすいです。

例題れいだい: $3$ と $\sqrt{8}$ と $\sqrt{10}$ を小ちいさい順じゅんに並ならべよ。

$3=\sqrt{9}$ と直なおすと、 中身なかみで比くらべられる。

よって小ちいさい順じゅんに $\sqrt{8}, 3, \sqrt{10}$。

検算けんざん: $\sqrt{8}\approx 2.83$、 $3$、 $\sqrt{10}\approx 3.16$。 たしかにこの順じゅん。 正ただしい。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「$\sqrt{50}-\sqrt{18}$ を計算けいさんせよ」 のような 根号こんごうの計算けいさん が頻出ひんしゅつ。 まず根号こんごうを簡単かんたんにするのがコツ。
• 「$\frac{10}{\sqrt{5}}$ を簡単かんたんにせよ」 のような 有理化ゆうりか もよく出でます。
• 「$\sqrt{2}$ と $1.5$ の大小だいしょう」 のような 大小だいしょう の問題もんだいは、 2 乗じょうして比くらべると確実かくじつです。

まとめ

• $\sqrt{a}$ は 「2 乗じょうして $a$ になる正せいの数かず」、 $\sqrt{9}=3$
• 根号こんごうは中なかを 「(平方へいほう数すう)$\times$(残のこり)」 に分わけて外そとに出だす ($\sqrt{12}=2\sqrt{3}$)
• たし算さん・ひき算さんは 中身なかみが同おなじ ときだけまとめる
• 分母ぶんぼの根号こんごうは 有理化ゆうりか してなくす

次じ章しょうでは、 計算けいさんの大事だいじな武器ぶき 式しきの 展開てんかい と 因数分解いんすうぶんかい を学まなびます。