平方根へいほうこん — 根号こんごうの計算けいさん・有理ゆうり化か・大小だいしょう

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう3 で新あたらしく出でてくる 平方根へいほうこん ($\sqrt{ }$ の計算けいさん) を学まなびます。 二次方程式にじほうていしきや三平方の定理さんへいほうのていりで必かならず使つかうので、 ここを確実かくじつにしましょう。

• 平方根へいほうこんと根号こんごう ($\sqrt{ }$) の意味いみ
• 根号こんごうのかけ算ざん・わり算ざん・たし算さん・ひき算さん
• 根号こんごうをふくむ式しきの計算けいさん (簡単かんたんにする)
• 分母ぶんぼの有理化ゆうりか
• 平方根へいほうこんの大小だいしょう

ポイント: $\sqrt{a}$ は 「2 乗じょうすると $a$ になる正せいの数かず」 です。 たとえば $\sqrt{9}=3$ ($3^2=9$ だから)。 根号こんごうの中なかをできるだけ小ちいさくするのが計算けいさんの基本きほんです。

1. 平方根へいほうこんと根号こんごう

ある数$a$ ($a>0$) に対たいして、 2 乗じょうすると $a$ になる数かずを $a$ の 平方根へいほうこん といいます。 正せい・負ふの 2 つあり、 正せいのほうを $\sqrt{a}$、 負ふのほうを $-\sqrt{a}$ と書かきます。

数かず	平方根へいほうこん
$9$	$3$ と $-3$
$5$	$\sqrt{5}$ と $-\sqrt{5}$
$0$	$0$ のみ

大事だいじ: $\sqrt{9}=3$ ($-3$ ではない)。 根号こんごう$\sqrt{ }$ は正せいの平方根へいほうこんだけを表あらわします。 一方いっぽう、 「$9$ の平方根へいほうこんは?」 と聞きかれたら $\pm 3$ の両方りょうほうです。 問いとい方かたのちがいに注意ちゅうい。

2. 根号こんごうの計算けいさん

かけ算ざん・わり算ざん

$\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab},\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\ge 0, b>0)$

根号こんごうの外そとに出だす

根号こんごうの中なかが 「(平方へいほう数すう) $\times$ (残のこり)」 の形かたちなら、 平方へいほう数すうを外そとに出だせます。

例題れいだい: $\sqrt{12}$ を簡単かんたんにせよ。

$\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{4}\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}$

検算けんざん: $2\sqrt{3}$ を 2 乗じょうすると $2^2\times 3=4\times 3=12$。 もとの $\sqrt{12}$ に戻もどる。 正ただしい。

たし算さん・ひき算さん

根号こんごうの中なかが同おなじものどうしだけ、 まとめられます (文字もじ式しきの同類項どうるいこうと同おなじ感覚かんかく)。

例題れいだい: $\sqrt{18}+\sqrt{8}$ を計算けいさんせよ。

$\sqrt{18}=3\sqrt{2},\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ $\sqrt{18}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}$

検算けんざん: $5\sqrt{2}$ を 2 乗じょうすると $25\times 2=50$。 一方いっぽう$\sqrt{18}+\sqrt{8}$ を概算がいさんすると $4.24+2.83=7.07$、 $5\sqrt{2}\approx 5\times 1.41=7.07$。 一致いっちする。

ポイント: $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ は これ以上いじょうまとめられません。 中なかがちがうからです。 「ルートのたし算さんは中身なかみが同おなじときだけ」 と覚おぼえましょう。

3. 分母ぶんぼの有理ゆうり化か

分母ぶんぼに根号こんごうがある形かたちは、 分母ぶんぼから根号こんごうをなくす 有理化ゆうりか をします。 分母ぶんぼと同おなじ根号こんごうを分母ぶんぼ・分子ぶんしにかけます。

例題れいだい: $\frac{6}{\sqrt{3}}$ を有理化ゆうりかせよ。

$\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$

検算けんざん: $2\sqrt{3}\approx 2\times 1.73=3.46$、 もとの $\frac{6}{\sqrt{3}}\approx \frac{6}{1.73}=3.47$。 ほぼ一致いっち (四捨五入ししゃごにゅうの差さ)。 正ただしい。

大事だいじ: 答えこたえは根号こんごうを簡単かんたんにし、 分母ぶんぼを有理化ゆうりかした形かたちにするのがマナーです。 $\frac{6\sqrt{3}}{3}$ で止とめず、 $2\sqrt{3}$ まで約分やくぶんしましょう。

4. 平方根へいほうこんの大小だいしょう

根号こんごうの中なかが大おおきいほど、 値あたいも大おおきくなります ( なら )。 根号こんごうがない数かずは、 2 乗じょうして中なかに入いれると比くらべやすいです。

例題れいだい: $3$ と $\sqrt{8}$ と $\sqrt{10}$ を小ちいさい順じゅんに並ならべよ。

$3=\sqrt{9}$ と直なおすと、 中身なかみで比くらべられる。

よって小ちいさい順じゅんに $\sqrt{8}, 3, \sqrt{10}$。

検算けんざん: $\sqrt{8}\approx 2.83$、 $3$、 $\sqrt{10}\approx 3.16$。 たしかにこの順じゅん。 正ただしい。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「$\sqrt{50}-\sqrt{18}$ を計算けいさんせよ」 のような 根号こんごうの計算けいさん が頻出ひんしゅつ。 まず根号こんごうを簡単かんたんにするのがコツ。
• 「$\frac{10}{\sqrt{5}}$ を簡単かんたんにせよ」 のような 有理化ゆうりか もよく出でます。
• 「$\sqrt{2}$ と $1.5$ の大小だいしょう」 のような 大小だいしょう の問題もんだいは、 2 乗じょうして比くらべると確実かくじつです。

よくまちがえるところ

平方根へいほうこんは、 根号こんごうの中なかを簡単かんたんにする ことを飛とばすと、 その先さきが全部ぜんぶそろわなくなります。

まちがい	例れい	直なおし方かた
根号こんごうの中なかを簡単かんたんにしないでたし算さんする	√18 + √8 はまとめられないと答こたえる	3√2 + 2√2 に直なおしてから 5√2
中なかがちがう根号こんごうをたしてしまう	√2 + √3 = √5 とする	中なかがちがうものはまとめられない
根号こんごうの中なかでたし算さんを分わける	√(9 + 16) = 3 + 4 = 7 とする	√25 = 5。 分わけられるのはかけ算ざん・わり算ざんだけ
有理化ゆうりかのあとに約分やくぶんし忘わすれる	6/√3 を 6√3/3 で止とめる	約分やくぶんして 2√3 まで直なおす

いちばん多おおいのは 根号こんごうの中なかを簡単かんたんにし忘わすれること です。 √18 と √8 は見みた目めがちがいますが、 中なかを (平方へいほう数すう) × (残のこり) に分わけると 3√2 と 2√2 で、 どちらも √2 の仲間なかまだと分わかります。 たし算さん・ひき算さんの問題もんだいが出でたら、 まず全部ぜんぶの根号こんごうを簡単かんたんにしてから同おなじ仲間なかまをさがす、 という順番じゅんばんを固定こていしましょう。

根号こんごうを簡単かんたんにする手順てじゅん

順番じゅんばん	やること	例れい (√72)
1	中なかの数かずを素因数そいんすう分解ぶんかいする	72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
2	同おなじ数かずのペアをつくる	(2 × 2) と (3 × 3) とあまりの 2
3	ペア 1 組ぐみにつき 1 つを根号こんごうの外そとへ出だす	2 と 3 を外そとへ
4	外そとに出でた数かずどうしをかける	2 × 3 = 6
5	残のこりを根号こんごうの中なかに置おく	6√2
6	2 乗じょうしてもとの数かずに戻もどるか確たしかめる	6² × 2 = 36 × 2 = 72 で一致いっち

手順てじゅん 6 の確認かくにんはとても有効ゆうこうです。 2√3 が正ただしいかどうかは 2² × 3 = 12 で √12 に戻もどるかを見みるだけで判定はんていできます。 大小だいしょうをくらべるときも同おなじ考えかんがえで、 3 を √9 に直なおせば √8 < √9 < √10 と中身なかみだけで比くらべられます。

大事だいじ: √9 = 3 であって ±3 ではありません。 根号こんごうは正せいの平方根へいほうこんだけを表あらわします。 「9 の平方根へいほうこんは」 と問とわれたときだけ 3 と -3 の両方りょうほうを答えこたえます。

自分じぶんでチェック

• 根号こんごうの中なかを (平方へいほう数すう) × (残のこり) に分わけて外そとに出だせる
• たし算さん・ひき算さんは中身なかみが同おなじときだけまとめられると言いえる
• 分母ぶんぼの有理化ゆうりかをして最後さいごまで約分やくぶんできる
• 整数せいすうを √ の形かたちに直なおして大小だいしょうをくらべられる
• √9 = 3 と 「9 の平方根へいほうこんは ±3」 のちがいを説明せつめいできる

まとめ

• $\sqrt{a}$ は 「2 乗じょうして $a$ になる正せいの数かず」、 $\sqrt{9}=3$
• 根号こんごうは中なかを 「(平方へいほう数すう)$\times$(残のこり)」 に分わけて外そとに出だす ($\sqrt{12}=2\sqrt{3}$)
• たし算さん・ひき算さんは 中身なかみが同おなじ ときだけまとめる
• 分母ぶんぼの根号こんごうは有理化ゆうりかしてなくす

次じ章しょうでは、 計算けいさんの大事だいじな武器ぶき 式しきの展開てんかいと因数分解いんすうぶんかい を学まなびます。