平方根へいほうこん — 根号こんごうの計算けいさん・有理ゆうり化か・大小だいしょう

この 章しょう で 学まなぶ こと

中ちゅう3 で 新あたらしく 出でて くる 平方根へいほうこん ($\sqrt{ }$ の 計算けいさん) を 学まなび ます。 二次方程式にじほうていしき や 三平方の定理さんへいほうのていり で 必かならず 使つかう ので、 ここ を 確実かくじつ に し ましょう。

• 平方根へいほうこん と 根号こんごう ($\sqrt{ }$) の 意味いみ
• 根号こんごう の かけ算ざん・わり算ざん・たし算さん・ひき算さん
• 根号こんごう を ふくむ 式しき の 計算けいさん (簡単かんたん に する)
• 分母ぶんぼ の 有理化ゆうりか
• 平方根へいほうこん の 大小だいしょう

ポイント: $\sqrt{a}$ は 「2 乗じょう する と $a$ に なる 正ただし の 数かず」 です。 たとえば $\sqrt{9}=3$ ($3^2=9$ だ から)。 根号こんごう の 中なか を できる だけ 小ちいさく する のが 計算けいさん の 基本きほん です。

1. 平方根へいほうこん と 根号こんごう

ある 数$a$ ($a>0$) に 対たいして、 2 乗じょう する と $a$ に なる 数かず を $a$ の 平方根へいほうこん と いい ます。 正ただし・負まけ の 2 つ あり、 正ただし の ほう を $\sqrt{a}$、 負まけ の ほう を $-\sqrt{a}$ と 書かき ます。

数かず	平方根へいほうこん
$9$	$3$ と $-3$
$5$	$\sqrt{5}$ と $-\sqrt{5}$
$0$	$0$ のみ

大事だいじ: $\sqrt{9}=3$ ($-3$ で は ない)。 根号こんごう$\sqrt{ }$ は 正ただし の 平方根へいほうこん だけ を 表あらわし ます。 一方いっぽう、 「$9$ の 平方根へいほうこん は?」 と 聞きかれ たら $\pm 3$ の 両方りょうほう です。 問とい方かた の ちがい に 注意ちゅうい。

2. 根号こんごう の 計算けいさん

かけ算ざん・わり算ざん

$\sqrt{a}\times \sqrt{b}=\sqrt{ab},\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\ge 0, b>0)$

根号こんごう の 外そと に 出だす

根号こんごう の 中なか が 「(平方へいほう数すう) $\times$ (残のこり)」 の 形かたち なら、 平方へいほう数すう を 外そと に 出だせ ます。

例題れいだい: $\sqrt{12}$ を 簡単かんたん に せよ。

$\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{4}\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}$

検算けんざん: $2\sqrt{3}$ を 2 乗じょう すると $2^2\times 3=4\times 3=12$。 もと の $\sqrt{12}$ に 戻もどる。 正ただしい。

たし算さん・ひき算さん

根号こんごう の 中なか が 同おなじ もの どうし だけ、 まとめ られ ます (文字もじ式しき の 同類項どうるいこう と 同おなじ 感覚かんかく)。

例題れいだい: $\sqrt{18}+\sqrt{8}$ を 計算けいさん せよ。

$\sqrt{18}=3\sqrt{2},\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ $\sqrt{18}+\sqrt{8}=3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}$

検算けんざん: $5\sqrt{2}$ を 2 乗じょう すると $25\times 2=50$。 一方いっぽう$\sqrt{18}+\sqrt{8}$ を 概算がいさん する と $4.24+2.83=7.07$、 $5\sqrt{2}\approx 5\times 1.41=7.07$。 一致いっち する。

ポイント: $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ は これ 以上いじょう まとめ られ ません。 中なか が ちがう から です。 「ルート の たし算さん は 中身なかみ が 同おなじ とき だけ」 と 覚おぼえ ましょう。

3. 分母ぶんぼ の 有理ゆうり化か

分母ぶんぼ に 根号こんごう が ある 形かたち は、 分母ぶんぼ から 根号こんごう を なくす 有理化ゆうりか を し ます。 分母ぶんぼ と 同おなじ 根号こんごう を 分母ぶんぼ・分子ぶんし に かけ ます。

例題れいだい: $\frac{6}{\sqrt{3}}$ を 有理化ゆうりか せよ。

$\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$

検算けんざん: $2\sqrt{3}\approx 2\times 1.73=3.46$、 もと の $\frac{6}{\sqrt{3}}\approx \frac{6}{1.73}=3.47$。 ほぼ 一致いっち (四捨五入ししゃごにゅう の 差さ)。 正ただしい。

大事だいじ: 答こたえ は 根号こんごう を 簡単かんたん に し、 分母ぶんぼ を 有理化ゆうりか した 形かたち に する のが マナー です。 $\frac{6\sqrt{3}}{3}$ で 止とめ ず、 $2\sqrt{3}$ まで 約分やくぶん し ましょう。

4. 平方根へいほうこん の 大小だいしょう

根号こんごう の 中なか が 大おおきい ほど、 値ね も 大おおきく なり ます ( なら )。 根号こんごう が ない 数かず は、 2 乗じょう して 中なか に 入いれる と 比くらべ やすい です。

例題れいだい: $3$ と $\sqrt{8}$ と $\sqrt{10}$ を 小ちいさい 順じゅん に 並ならべよ。

$3=\sqrt{9}$ と 直なおす と、 中身なかみ で 比くらべ られる。

よって 小ちいさい 順じゅん に $\sqrt{8}, 3, \sqrt{10}$。

検算けんざん: $\sqrt{8}\approx 2.83$、 $3$、 $\sqrt{10}\approx 3.16$。 たしかに この 順じゅん。 正ただしい。

どう 問とわれる か

• 一いち次じ で は 「$\sqrt{50}-\sqrt{18}$ を 計算けいさん せよ」 の よう な 根号こんごう の 計算けいさん が 頻出ひんしゅつ。 まず 根号こんごう を 簡単かんたん に する のが コツ。
• 「$\frac{10}{\sqrt{5}}$ を 簡単かんたん に せよ」 の よう な 有理化ゆうりか も よく 出で ます。
• 「$\sqrt{2}$ と $1.5$ の 大小だいしょう」 の よう な 大小だいしょう の 問題もんだい は、 2 乗じょう して 比くらべる と 確実かくじつ です。

まとめ

• $\sqrt{a}$ は 「2 乗じょう して $a$ に なる 正ただし の 数かず」、 $\sqrt{9}=3$
• 根号こんごう は 中なか を 「(平方へいほう数すう)$\times$(残のこり)」 に 分わけて 外そと に 出だす ($\sqrt{12}=2\sqrt{3}$)
• たし算さん・ひき算さん は 中身なかみ が 同おなじ とき だけ まとめる
• 分母ぶんぼ の 根号こんごう は 有理化ゆうりか して なくす

次じ章しょう で は、 計算けいさん の 大事だいじ な 武器ぶき 式しき の 展開てんかい と 因数分解いんすうぶんかい を 学まなび ます。