基礎きそ理論りろん — 2 進数しんすう変換へんかん・論理ろんり演算えんざん・確率かくりつ統計とうけい・符号ふごう化か

この章しょうで学まなぶこと

基礎きそ理論りろんは 3〜5 問もん程度ていど出題しゅつだい。計算けいさん問題もんだいが中心ちゅうしんで、2 進数2 しんすう変換へんかんと論理演算ろんりえんざんが頻出ひんしゅつです。

学習がくしゅうゴール

この章しょうを読よみ終おえた時点じてんで、以下いかができるようになっていることを目指めざします。

• 2 進数しんすう・10 進数10 しんすう・16 進数16 しんすうの相互そうご変換へんかんを使つかいこなせる
• 論理ろんり演算えんざん（AND・OR・NOT・XOR）と真理値表しんりちひょうを判別はんべつできる
• 集合しゅうごう・命題めいだい・述語論理じゅつごろんりの基本きほんを使つかいこなせる
• 確率かくりつ・統計とうけい（平均へいきん・分散ぶんさん・標準偏差ひょうじゅんへんさ）の基本きほん計算けいさんができる
• 情報じょうほう量りょう（ビットびっと・バイトばいと）と符号化ふごうか（ASCII・Unicode）の関係かんけいを判別はんべつできる

1. 離散りさん数学すうがく

1.1 基数変換きすうへんかん

2 進数しんすう・10 進数しんすう・16 進数しんすうの対応たいおう

10 進しん	2 進しん	16 進しん
0	0000	0
1	0001	1
9	1001	9
10	1010	A
15	1111	F
16	10000	10

10 進しん → 2 進しんへの変換へんかん

10 進数しんすうを 2 で割わり続つづけ、余あまりを下したから並ならべる。

例れい: 13 を 2 進しんに変換へんかん

• 13 ÷ 2 = 6 余あまり 1
• 6 ÷ 2 = 3 余あまり 0
• 3 ÷ 2 = 1 余あまり 1
• 1 ÷ 2 = 0 余あまり 1

→ 1101(2)

2 進しん → 16 進しんへの変換へんかん

4 桁けたごとに区切くぎって 16 進しん 1 桁けたに対応たいおうさせる。

例れい: 11010101(2) → 1101 0101 → D5(16)

覚おぼえ方かた: 「2 進しん 4 桁けた = 16 進しん 1 桁けた」（2⁴=16）。「16 進しん → 2 進しん」も逆ぎゃくに各かく桁けたを 4 桁けたに展開てんかいするだけ（A=1010, F=1111 等ひとし）。試験しけんでは基数きすう変換へんかんが毎年まいとし出でるので、最低さいてい 0〜15（10 進しん） ↔ 0000〜1111（2 進しん） ↔ 0〜F（16 進しん）の対応たいおうはソラで言いえるように。

1.2 論理ろんり演算えんざん

基本きほんの 4 演算えんざん子こ（真しんを 1、偽にせを 0）:

演算えんざん	記号きごう	意味いみ	1 と 1	1 と 0	0 と 0
AND（論理ろんり積せき）	∧	両方りょうほう真しんなら真しん	1	0	0
OR（論理ろんり和わ）	∨	いずれか真しんなら真しん	1	1	0
NOT（否定ひてい）	¬	逆ぎゃくにする	0→1, 1→0	—	—
XOR（排他はいた的てき論理ろんり和わ）	⊕	片方かたほうだけ真しんなら真しん	0	1	0

真理しんり値ち表ひょう（XOR）

A	B	A XOR B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

頻出ひんしゅつ引ひっかけ: XOR は「同おなじなら 0、違ちがえば 1」と覚おぼえる。OR との違ちがいは「両方りょうほう真しんの場合ばあい OR=1 / XOR=0」。論理ろんり演算えんざんの真理しんり値ち表ひょうを覚おぼえるより、ベン図べんずで「どこが塗ぬられるか」をイメージできると応用おうようが効きく。

1.3 集合しゅうごうとベン図べんず

• 和わ集合しゅうごう（A ∪ B） — A か B いずれか
• 積せき集合しゅうごう（A ∩ B） — A と B 両方りょうほう
• 差さ集合しゅうごう（A − B） — A にあり B にない
• 補ほ集合しゅうごう — 全体ぜんたい − 対象たいしょう

2. 応用おうよう数学すうがく

2.1 確率かくりつ

• 独立どくりつ事象じしょう — 互たがいに影響えいきょうしない → 確率かくりつはかけ算ざん
• 排反はいはん事象じしょう — 同時どうじに起おきない → 確率かくりつはたし算さん
• 条件じょうけん付つき確率かくりつ — 事象じしょう A が起おきた条件下じょうけんかでの B の確率かくりつ

例れい: サイコロを 2 回かい振ふって合計ごうけいが 7 になる確率かくりつ

• (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) の 6 通とおり
• 全体ぜんたい 36 通とおり → 6/36 = 1/6

2.2 統計とうけいの基本きほん

• 平均へいきん — 合計ごうけい ÷ 個数こすう
• 中央ちゅうおう値ち（メジアン） — 並ならび替かえて真まん中なかの値あたい
• 最頻値さいひんち（モード） — 最もっとも頻繁ひんぱんに出でる値あたい
• 分散ぶんさん・標準ひょうじゅん偏差へんい — ばらつきの指標しひょう
• 相関係数そうかんけいすう — 2 変数へんすうの関係かんけいの強つよさ（−1 〜 +1）

2.3 数値すうち計算けいさん

• 誤差ごさ — 計算けいさん結果けっかと真しんの値あたいの差さ
• 丸まるめ誤差ごさ — 有限ゆうげん桁けたで表現ひょうげんするときの誤差ごさ
• 桁けた落おち — 近ちかい数かずの引ひき算ざんで有効ゆうこう桁けた数すうが失うしなわれる
• 情報じょうほう落おち — 大おおきさの異ことなる数かずの加算かさんで小ちいさい方ほうが失うしなわれる

3. 情報じょうほうに関かんする理論りろん

3.1 情報じょうほう量りょう

• 1 ビット — 2 通とおり（0 か 1）を表現ひょうげん
• n ビット — 2^n 通とおりを表現ひょうげん

ビット数すう	表現ひょうげん可能かのう数すう
1 ビット	2 通とおり
4 ビット	16 通とおり
8 ビット（1 バイト）	256 通とおり
16 ビット	65,536 通とおり

3.2 文字もじコード

コード	概要がいよう
ASCII	英数字えいすうじの基本きほん文字もじコード（7 ビット）
Shift_JIS	日本語にほんご向むけ（半角はんかく=1・漢字かんじ=2 の可変長かへんちょう）
EUC-JP	UNIX 系けい日本語にほんごコード
Unicode（UTF-8）	世界中せかいじゅうの文字もじを統一とういつ的てきに扱あつかう。Web の標準ひょうじゅん

3.3 単位たんい接頭せっとう辞じ

接頭せっとう辞じ	倍率ばいりつ（10 進しん）	倍率ばいりつ（2 進しん）
キロ（K）	10^3	2^10 = 1,024
メガ（M）	10^6	2^20
ギガ（G）	10^9	2^30
テラ（T）	10^12	2^40
ペタ（P）	10^15	2^50
ミリ（m）	10^−3	—
マイクロ（μ）	10^−6	—
ナノ（n）	10^−9	—
ピコ（p）	10^−12	—

3.4 データの符号ふごう化か

• パリティぱりてぃチェック — 誤あやまり検出けんしゅつ
• ハミング符号ふごう — 誤あやまり訂正ていせい
• CRC（巡回じゅんかい冗長じょうちょう検査けんさ） — 通信つうしんの誤あやまり検出けんしゅつ
• ハフマン符号はふまんふごう — 出現しゅつげん頻度ひんどで可変長かへんちょう符号ふごう化か（データ圧縮あっしゅく）

4. オートマトンと形式けいしき言語げんご

• オートマトン — 状態じょうたいと遷移せんいで計算けいさんモデル化か
• チューリング機械きかい — 計算けいさん理論りろんの基本きほんモデル
• 形式けいしき言語げんご — 文法ぶんぽう規則きそくで定義ていぎされた言語げんご
• BNF（Backus-Naur Form） — 言語げんごの文法ぶんぽうを記述きじゅつする記法きほう
• 正規せいき表現ひょうげん — 文字もじ列れつパターンを表あらわす記法きほう

5. 計測けいそく・制御せいぎょに関かんする理論りろん

5.1 フィードバック制御せいぎょ

• オープンループ制御せいぎょ — 結果けっかを見みずに操作そうさ
• フィードバック制御せいぎょ（クローズドループ） — 結果けっかを測はかって修正しゅうせい
• フィードフォワード制御せいぎょ — 外乱がいらんを先回さきまわりして補正ほせい

5.2 センサとアクチュエータ

• センサ — 物理ぶつり量りょうを電気でんき信号しんごうに変換へんかん（温度おんどセンサ、加速度かそくどセンサ、光ひかりセンサ）
• アクチュエータ — 電気でんき信号しんごうを動作どうさに変換へんかん（モータ、ソレノイド）
• A/D 変換へんかん — アナログ信号しんごうをデジタルに変換へんかん
• D/A 変換へんかん — デジタル信号しんごうをアナログに変換へんかん

5.3 AI 関連かんれんの基礎きそ理論りろん

機械きかい学習がくしゅうはデータから規則きそくを学習がくしゅうする手法しゅほうで、正解せいかいデータの有無うむと学習がくしゅう方法ほうほうで 3 つに大別たいべつされます。

• 機械きかい学習がくしゅう — データから規則きそくを学習がくしゅう
  • 教師きょうしあり学習がくしゅう — 正解せいかいラベル付つきデータで学習がくしゅう（分類ぶんるい・回帰かいき）
  • 教師きょうしなし学習がくしゅう — ラベルなしでパターン発見はっけん（クラスタリングくらすたりんぐ）
  • 強化きょうか学習がくしゅう — 報酬ほうしゅうで行動こうどうを最適さいてき化か
• ニューラルネットワーク — 脳神経のうしんけいの模倣もほう
• ディープラーニング — ニューラルネットの多層たそう化か

覚おぼえ方かた: 「データに正解せいかいがある？」 がまず判定はんてい軸じく。あれば教師きょうしあり、なければ教師きょうしなし or 強化きょうか学習がくしゅう。強化きょうか学習がくしゅうは「行動こうどう → 報酬ほうしゅう」のループがあるかで判別はんべつする。

📋 章しょう末まつまとめ

最さい重要じゅうようポイント 10 連発れんぱつ

1. 基数きすう変換へんかん — 2 で割わり続つづけ余あまりを下したから並ならべる
2. 論理ろんり演算えんざん 4 種たね — AND・OR・NOT・XOR の真理しんり値ち表ひょう
3. ビットと表現ひょうげん可能かのう数すう — 8 ビット = 256 通とおり
4. 接頭せっとう辞じの倍率ばいりつ — キロ・メガ・ギガ・テラ
5. 誤差ごさの種類しゅるい — 丸まるめ・桁けた落おち・情報じょうほう落おち
6. Unicode（UTF-8） — Web の標準ひょうじゅん文字もじコード
7. ハフマン符号ふごう — 頻度ひんどで可変長かへんちょう化か（圧縮あっしゅく）
8. フィードバック制御せいぎょ — 結果けっかを測はかって修正しゅうせい
9. 機械きかい学習がくしゅうの 3 分類ぶんるい — 教師きょうしあり・なし・強化きょうか
10. 平均へいきん・中央ちゅうおう値ち・最頻値さいひんち — 代表だいひょう値ちの 3 つ

出題しゅつだい傾向けいこうのコツ

• 2 進数しんすうの計算けいさん問題もんだいはほぼ毎年まいとし出題しゅつだい
• 論理ろんり演算えんざんは真理しんり値ち表ひょうで整理せいり
• 確率かくりつ・統計とうけいは基本きほん公式こうしきだけ押おさえる