確率かくりつ分布ぶんぷ (離散りさん・期待きたい値ち分散ぶんさん)

この 章しょう で 学まなぶ こと

確率分布かくりつぶんぷ は 「確率変数かくりつへんすう が ど の 値ね を ど の く ら い の 確率かくりつ で 取と る か」 を 一いち覧らん に し た もの。 こ の 章しょう で は 離り散さん型 (サイコロ・コイン な ど 飛とび び 飛とび び の 値ね) を 学がく び ま す。

• 確率変数かくりつへんすう $X$ と そ の 確率分布かくりつぶんぷ を 知ち る
• 期待値きたいち (平均へいきん) $E\left[X\right]$ の 計けい算さん
• 分散ぶんさん $V\left[X\right]$ と 標準偏差ひょうじゅんへんさ $\sigma$ の 計けい算さん
• 二項分布にこうぶんぷ $B(n,p)$ の 性せい質しつ
• 確率かくりつ変数へんすう の 線せん型けい性 (和わ と 定数ていすう倍ばい)

ポイント: 期き待たい値 は 「平均へいきん的てき に ど の く ら い に な る か」、 分散ぶんさん は 「ど の く ら い ば ら つ く か」 を 表ひょう す。 数学すうがく B の 確率かくりつ分布ぶんぷ は 統とう計けい学がく の 入口いりぐち で す。

1. 確率かくりつ変数へんすう と 確率かくりつ分布ぶんぷ

確率かくりつ変数へんすう

確率変数かくりつへんすう $X$ と は、 「ど の 値ね が 出で る か 試し行こう す る ま で わ か ら な い 数値すうち」。 確率かくりつ と セット に な っ て い る の が 普ふ通つう の 変数へんすう と の 違 い。

例れい: サイコロ 1 回かい の 目め

$X$ (出で る 目め)	1	2	3	4	5	6
$P(X=x)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

こ の 表ひょう を 確率分布かくりつぶんぷ (確率かくりつ分布ぶんぷ表ひょう) と 呼こ ぶ。

確率かくりつ分布ぶんぷ の 条件じょうけん

条じょう件けん	意味いみ
① $0\le P(X=x)\le 1$	確率かくりつ は 0 〜 1 の 間ま
② ${\sum }_{x}P(X=x)=1$	す べ て の 確率かくりつ を 足あし す と 1

2. 期待きたい値ち (平均へいきん)

定義ていぎ

期待値きたいち $E\left[X\right]$ と は、 確率かくりつ で 重おも み 付つけ け し た 「平均へいきん」。

$E\left[X\right]=\sum xx\cdot P(X=x)$

サイコロ の 期待きたい値ち

$E\left[X\right]=1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+\cdots +6\cdot \frac{1}{6}=\frac{21}{6}=3.5$

→ 「平均へいきん的てき に は 3.5」 が サイコロ の 期待きたい値ち。 6 回かい振ふ れ ば 合計ごうけい は 約やく 21 に な る。

期待きたい値ち の 性質せいしつ

性質せいしつ	式しき
定数ていすう倍ばい	$E\left[aX\right]=aE\left[X\right]$
定数ていすう加算かさん	$E[X+b]=E\left[X\right]+b$
和わ (独立どくりつ で な く と も OK)	$E[X+Y]=E\left[X\right]+E\left[Y\right]$

例題れいだい 1

サイコロ を 2 個こ振ふ る とき、 出目でめ の 和$X$ の 期待きたい値ち を 求もとめ め よ。

解かい: $X_1,X_2$ を そ れ ぞ れ の 目め と す る と $X=X_1+X_2$。 期待きたい値ち の 和わ の 性質せいしつ か ら

$E\left[X\right]=E\left[X_1\right]+E\left[X_2\right]=3.5+3.5=7$

3. 分散ぶんさん と 標準ひょうじゅん偏差へんさ

分散ぶんさん$V\left[X\right]$

分散ぶんさん $V\left[X\right]$ と は、 「期待きたい値ち か ら の ず れ の 2 乗じょう の 平均へいきん」。

$V\left[X\right]=E\left[\right(X-E\left[X\right]{)}^2]=\sum x(x-E\left[X\right]{)}^2\cdot P(X=x)$

計算けいさん が ラク な 公式こうしき

$V\left[X\right]=E\left[X^2\right]-\left(E\right[X]{)}^2$

標準ひょうじゅん偏差へんさ$\sigma$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left[X\right]}$

→ 単たん位い が 元もと の $X$ と 同どう じ に な り、 「ど の く ら い ば ら つ く か」 を 直ちょっ感かん的てき に 表ひょう す。

サイコロ の 分散ぶんさん と 標準ひょうじゅん偏差へんさ

$E\left[X^2\right]=\frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6}=\frac{91}{6}$

$V\left[X\right]=\frac{91}{6}-{3.5}^2=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{182-147}{12}=\frac{35}{12}\approx 2.917$ $\sigma \left(X\right)=\sqrt{\frac{35}{12}}\approx 1.71$

分散ぶんさん の 性質せいしつ

性質せいしつ	式しき
定数ていすう倍ばい	$V\left[aX\right]=a^{2}V\left[X\right]$
定数ていすう加算かさん	$V[X+b]=V\left[X\right]$ (平行移動へいこういどう で ば ら つ き は 不変ふへん)
独立どくりつ な 和わ	$V[X+Y]=V\left[X\right]+V\left[Y\right]$ ($X,Y$ が 独立どくりつ の とき の み)

大事だいじ: $E$ は 「線せん型けい性」 (い つ で も 和わ OK)、 $V$ は 「独どく立りつ な 場合ばあい だ け 和わ OK」 と 区別くべつ す る。

4. 二に項こう分布ぶんぷ

定義ていぎ

二項分布にこうぶんぷ $B(n,p)$ と は、 確率かくりつ$p$ で 成せい功こう す る 試し行こう を $n$回独立りつ に 行あるき い、 成せい功こう回数かいすう $X$ を 確率かくりつ変数へんすう と す る 分布ぶんぷ。

確率かくりつ関数かんすう

$P(X=k)=\left(\frac{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}(k=0,1,2,\dots ,n)$

こ こ で $\left(\frac{n}{k}\right)$ は 二項係数にこうけいすう (組合くみあい せ ${}_n{C}_k$ と 同どう じ)。

平均へいきん と 分散ぶんさん

量りょう	式しき
期待きたい値ち	$E\left[X\right]=np$
分散ぶんさん	$V\left[X\right]=np(1-p)$
標準ひょうじゅん偏差へんさ	$\sigma =\sqrt{np(1-p)}$

例題れいだい 2

確率かくりつ$p=0.2$ で 当とう た る くじ を 10 回かい引 く とき、 当とう た り 回数かいすう$X$ の 期き待たい値・分ぶん散さん・標準ひょうじゅん偏差へんさ を 求もとめ め よ。

解かい: $X\sim B(10,0.2)$ な の で

$E\left[X\right]=10\cdot 0.2=2$ $V\left[X\right]=10\cdot 0.2\cdot 0.8=1.6$ $\sigma =\sqrt{1.6}\approx 1.26$

→ 「平均へいきん 2 回かい当とう た り、 ば ら つ き は 約やく 1.3 回かい」

例題れいだい 3 (具体ぐたい的てき な 確率かくりつ)

$X\sim B(5,1/3)$ の とき、 $P(X=2)$ を 求もとめ め よ。

解かい:

$P(X=2)=\left(\frac{5}{2}\right){\left(\frac{1}{3}\right)}^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^3=10\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{8}{27}=\frac{80}{243}$

5. まとめ

概がい念ねん	式しき
期き待たい値	$E\left[X\right]=\sum xP(X=x)$
分散ぶんさん	$V\left[X\right]=E\left[X^2\right]-\left(E\right[X]{)}^2$
標準ひょうじゅん偏差へんさ	$\sigma =\sqrt{V\left[X\right]}$
二に項こう分ぶん布ぷ	$P(X=k)=\left(\frac{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$、 $E=np$、 $V=np(1-p)$

6. 発展はってん: $aX+b$ の 期待きたい値ち と 分散ぶんさん

確率かくりつ変数へんすう$X$ を 1 次じ変換へんかん し た $Y=aX+b$ ($a,b$ は 定数ていすう) に 対たい し

量りょう	式しき
期待きたい値ち	$E\left[Y\right]=aE\left[X\right]+b$
分散ぶんさん	$V\left[Y\right]=a^{2}V\left[X\right]$
標準ひょうじゅん偏差へんさ	$\sigma(Y) =

例題れいだい 4

サイコロ の 出目でめ$X$ に 対たい し て、 $Y=2X-1$ の 期き待たい値 と 分ぶん散さん を 求もとめ め よ。

解かい: 第だい 3 節ふし で 求もとめ め た $E\left[X\right]=3.5$、 $V\left[X\right]=35/12$ を 使し う。

$E\left[Y\right]=2\cdot 3.5-1=6,V\left[Y\right]=2^2\cdot \frac{35}{12}=\frac{35}{3}\approx 11.67$

大事だいじ: 平へい行こう移い動どう ($+b$) は 分散ぶんさん を 変へん え な い が、 拡かく大だい ($\times a$) は 分散ぶんさん を $a^2$倍 に す る。 標準ひょうじゅん偏差へんさ で は $\mid a\mid$倍 で す。 次じ章しょう の 標準化ひょうじゅんか で 中心ちゅうしん的てき に 使し う 性せい質しつ。

7. 期待きたい値ち の 応用おうよう例れい

例題れいだい 5 (くじ の 期待きたい値ち)

1 等ひとし が 10 万まん円えん (当選とうせん確率かくりつ$1/100$)、 2 等ひとし が 1 万まん円えん (当選とうせん確率かくりつ$5/100$)、 残ざん り は 外れはず と い う くじ が あ る。 1 枚まい あ た り の 賞しょう金きん の 期待きたい値ち を 求もとめ め よ。

解かい:

$E\left[X\right]=100000\cdot \frac{1}{100}+10000\cdot \frac{5}{100}+0\cdot \frac{94}{100}=1000+500=1500 円$

→ 1 枚まい の 値ね段だん が 1500 円えん未み満まん な ら 平へい均きん的 に 得え、 1500 円えん よ り 高こう け れ ば 損そん と 判はん断だん で き る。 「期き待たい値 を 価か格かく と 比ひ べ る」 の が 経済けいざい的てき な 意思いし決定けってい の 基き本ほん。

例題れいだい 6 (二項にこう分ぶん布ぷ の 確率かくりつ)

ある 試験しけん の 1 問もん あ た り の 正答せいとう確率かくりつ が $p=0.7$ で あ る と き、 10 問もん中ちゅう 8 問もん以上いじょう正答せいとう す る 確率かくりつ を 求もとめ め よ。

解かい: $X\sim B(10,0.7)$。 $P(X\ge 8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)$。

$P(X=8)=\left(\frac{10}{8}\right){0.7}^8\cdot {0.3}^2\approx 45\cdot 0.0576\cdot 0.09\approx 0.2335$ $P(X=9)=\left(\frac{10}{9}\right){0.7}^9\cdot 0.3\approx 10\cdot 0.0404\cdot 0.3\approx 0.1211$ $P(X=10)={0.7}^{10}\approx 0.0282$

→ $P(X\ge 8)\approx 0.383$ (約やく 38 %)。

次じ の 章しょう: 第だい 6 章しょう で は 連続型確率分布れんぞくがたかくりつぶんぷ に 進すすむ み、 正規分布せいきぶんぷ (ガウス分布ガウスぶんぷ) を 学がく び ま す。 二に項こう分ぶん布ぷ の 「な ら し た 形かたち」 が 正せい規き分ぶん布ぷ と 言げん え る こ と も 直ちょっ感かん的てき に 確かく認にん し ま す。