この 章 で 学ぶ こと
確率分布 は 「確率変数 が ど の 値 を ど の く ら い の 確率 で 取 る か」 を 一覧 に し た もの。 こ の 章 で は 離散型 (サイコロ・コイン な ど 飛 び 飛 び の 値) を 学 び ま す。
- 確率変数 X と そ の 確率分布 を 知 る
- 期待値 (平均) E[X] の 計算
- 分散 V[X] と 標準偏差 σ の 計算
- 二項分布 B(n,p) の 性質
- 確率変数 の 線型性 (和 と 定数倍)
ポイント: 期待値 は 「平均的 に ど の く ら い に な る か」、 分散 は 「ど の く ら い ば ら つ く か」 を 表 す。 数学 B の 確率分布 は 統計学 の 入口 で す。
1. 確率変数 と 確率分布
確率変数
確率変数 X と は、 「ど の 値 が 出 る か 試行 す る ま で わ か ら な い 数値」。 確率 と セット に な っ て い る の が 普通 の 変数 と の 違 い。
例: サイコロ 1 回 の 目
| X (出 る 目) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|
| P(X=x) | 61 | 61 | 61 | 61 | 61 | 61 |
こ の 表 を 確率分布 (確率分布表) と 呼 ぶ。
確率分布 の 条件
| 条件 | 意味 |
|---|
| ① 0≤P(X=x)≤1 | 確率 は 0 〜 1 の 間 |
| ② ∑xP(X=x)=1 | す べ て の 確率 を 足 す と 1 |
2. 期待値 (平均)
定義
期待値 E[X] と は、 確率 で 重 み 付 け し た 「平均」。
E[X]=x∑x⋅P(X=x)
サイコロ の 期待値
E[X]=1⋅61+2⋅61+⋯+6⋅61=621=3.5
→ 「平均的 に は 3.5」 が サイコロ の 期待値。 6 回振 れ ば 合計 は 約 21 に な る。
期待値 の 性質
| 性質 | 式 |
|---|
| 定数倍 | E[aX]=aE[X] |
| 定数加算 | E[X+b]=E[X]+b |
| 和 (独立 で な く と も OK) | E[X+Y]=E[X]+E[Y] |
例題 1
サイコロ を 2 個振 る とき、 出目 の 和X の 期待値 を 求 め よ。
解: X1,X2 を そ れ ぞ れ の 目 と す る と X=X1+X2。 期待値 の 和 の 性質 か ら
E[X]=E[X1]+E[X2]=3.5+3.5=7
3. 分散 と 標準偏差
分散V[X]
分散 V[X] と は、 「期待値 か ら の ず れ の 2 乗 の 平均」。
V[X]=E[(X−E[X])2]=x∑(x−E[X])2⋅P(X=x)
計算 が ラク な 公式
V[X]=E[X2]−(E[X])2
標準偏差σ
σ(X)=V[X]
→ 単位 が 元 の X と 同 じ に な り、 「ど の く ら い ば ら つ く か」 を 直感的 に 表 す。
サイコロ の 分散 と 標準偏差
E[X2]=612+22+32+42+52+62=691
V[X]=691−3.52=691−449=12182−147=1235≈2.917
σ(X)=1235≈1.71
分散 の 性質
| 性質 | 式 |
|---|
| 定数倍 | V[aX]=a2V[X] |
| 定数加算 | V[X+b]=V[X] (平行移動 で ば ら つ き は 不変) |
| 独立 な 和 | V[X+Y]=V[X]+V[Y] (X,Y が 独立 の とき の み) |
大事: E は 「線型性」 (い つ で も 和 OK)、 V は 「独立 な 場合 だ け 和 OK」 と 区別 す る。
4. 二項分布
定義
二項分布 B(n,p) と は、 確率p で 成功 す る 試行 を n回独立 に 行 い、 成功回数 X を 確率変数 と す る 分布。
確率関数
P(X=k)=(kn)pk(1−p)n−k(k=0,1,2,…,n)
こ こ で (kn) は 二項係数 (組合 せ nCk と 同 じ)。
平均 と 分散
| 量 | 式 |
|---|
| 期待値 | E[X]=np |
| 分散 | V[X]=np(1−p) |
| 標準偏差 | σ=np(1−p) |
例題 2
確率p=0.2 で 当 た る くじ を 10 回引 く とき、 当 た り 回数X の 期待値・分散・標準偏差 を 求 め よ。
解: X∼B(10,0.2) な の で
E[X]=10⋅0.2=2
V[X]=10⋅0.2⋅0.8=1.6
σ=1.6≈1.26
→ 「平均 2 回当 た り、 ば ら つ き は 約 1.3 回」
例題 3 (具体的 な 確率)
X∼B(5,1/3) の とき、 P(X=2) を 求 め よ。
解:
P(X=2)=(25)(31)2(32)3=10⋅91⋅278=24380
5. まとめ
| 概念 | 式 |
|---|
| 期待値 | E[X]=∑xP(X=x) |
| 分散 | V[X]=E[X2]−(E[X])2 |
| 標準偏差 | σ=V[X] |
| 二項分布 | P(X=k)=(kn)pk(1−p)n−k、 E=np、 V=np(1−p) |
6. 発展: aX+b の 期待値 と 分散
確率変数X を 1 次変換 し た Y=aX+b (a,b は 定数) に 対 し
| 量 | 式 |
|---|
| 期待値 | E[Y]=aE[X]+b |
| 分散 | V[Y]=a2V[X] |
| 標準偏差 | $\sigma(Y) = |
例題 4
サイコロ の 出目X に 対 し て、 Y=2X−1 の 期待値 と 分散 を 求 め よ。
解: 第 3 節 で 求 め た E[X]=3.5、 V[X]=35/12 を 使 う。
E[Y]=2⋅3.5−1=6,V[Y]=22⋅1235=335≈11.67
大事: 平行移動 (+b) は 分散 を 変 え な い が、 拡大 (×a) は 分散 を a2倍 に す る。 標準偏差 で は ∣a∣倍 で す。 次章 の 標準化 で 中心的 に 使 う 性質。
7. 期待値 の 応用例
例題 5 (くじ の 期待値)
1 等 が 10 万円 (当選確率1/100)、 2 等 が 1 万円 (当選確率5/100)、 残 り は 外れ と い う くじ が あ る。 1 枚 あ た り の 賞金 の 期待値 を 求 め よ。
解:
E[X]=100000⋅1001+10000⋅1005+0⋅10094=1000+500=1500 円
→ 1 枚 の 値段 が 1500 円未満 な ら 平均的 に 得、 1500 円 よ り 高 け れ ば 損 と 判断 で き る。 「期待値 を 価格 と 比 べ る」 の が 経済的 な 意思決定 の 基本。
例題 6 (二項分布 の 確率)
ある 試験 の 1 問 あ た り の 正答確率 が p=0.7 で あ る と き、 10 問中 8 問以上正答 す る 確率 を 求 め よ。
解: X∼B(10,0.7)。 P(X≥8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)。
P(X=8)=(810)0.78⋅0.32≈45⋅0.0576⋅0.09≈0.2335
P(X=9)=(910)0.79⋅0.3≈10⋅0.0404⋅0.3≈0.1211
P(X=10)=0.710≈0.0282
→ P(X≥8)≈0.383 (約 38 %)。
次 の 章: 第 6 章 で は 連続型確率分布 に 進 み、 正規分布 (ガウス分布) を 学 び ま す。 二項分布 の 「な ら し た 形」 が 正規分布 と 言 え る こ と も 直感的 に 確認 し ま す。