確率かくりつ分布ぶんぷ (離散りさん・期待きたい値ち分散ぶんさん)

この章しょうで学まなぶこと

確率分布かくりつぶんぷ は 「確率変数かくりつへんすうがどの値あたいをどのくらいの確率かくりつで取とるか」 を一いち覧らんにしたもの。 この章しょうでは 離り散さん型 (サイコロ・コインなど飛とび飛とびの値あたい) を学まなびます。

• 確率変数かくりつへんすう $X$ とその 確率分布かくりつぶんぷ を知しる
• 期待値きたいち (平均へいきん) $E\left[X\right]$ の計けい算さん
• 分散ぶんさん $V\left[X\right]$ と 標準偏差ひょうじゅんへんさ $\sigma$ の計けい算さん
• 二項分布にこうぶんぷ $B(n,p)$ の性せい質しつ
• 確率かくりつ変数へんすうの 線せん型けい性 (和わと定数ていすう倍ばい)

ポイント: 期き待たい値あたいは 「平均へいきん的てきにどのくらいになるか」、 分散ぶんさんは 「どのくらいばらつくか」 を表あらわす。 数学すうがく B の確率かくりつ分布ぶんぷは統計とうけい学がくの入口いりぐちです。

1. 確率かくりつ変数へんすうと確率かくりつ分布ぶんぷ

確率かくりつ変数へんすう

確率変数かくりつへんすう $X$ とは、 「どの値あたいが出でるか 試し行こうするまでわからない 数値すうち」。 確率かくりつとセットになっているのが普ふ通つうの変数へんすうとの違ちがい。

例れい: サイコロ 1 回かいの目め

$X$ (出でる目め)	1	2	3	4	5	6
$P(X=x)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

この表ひょうを 確率分布かくりつぶんぷ (確率かくりつ分布ぶんぷ表ひょう) と呼よぶ。

確率かくりつ分布ぶんぷの条件じょうけん

条じょう件けん	意味いみ
① $0\le P(X=x)\le 1$	確率かくりつは 0 〜 1 の間ま
② ${\sum }_{x}P(X=x)=1$	すべての確率かくりつを足たすと 1

2. 期待きたい値ち (平均へいきん)

定義ていぎ

期待値きたいち $E\left[X\right]$ とは、 確率かくりつで重おもみ付づけした 「平均へいきん」。

$E\left[X\right]=\sum xx\cdot P(X=x)$

サイコロの期待きたい値ち

$E\left[X\right]=1\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{6}+\cdots +6\cdot \frac{1}{6}=\frac{21}{6}=3.5$

→ 「平均へいきん的てきには 3.5」 がサイコロの期待きたい値ち。 6 回かい振ふれば合計ごうけいは 約やく 21 になる。

期待きたい値ちの性質せいしつ

性質せいしつ	式しき
定数ていすう倍ばい	$E\left[aX\right]=aE\left[X\right]$
定数ていすう加算かさん	$E[X+b]=E\left[X\right]+b$
和わ (独立どくりつでなくとも OK)	$E[X+Y]=E\left[X\right]+E\left[Y\right]$

例題れいだい 1

サイコロを 2 個こ振ふるとき、 出目でめの和$X$ の期待きたい値ちを求もとめよ。

解かい: $X_1,X_2$ をそれぞれの目めとすると $X=X_1+X_2$。 期待きたい値ちの和わの性質せいしつから

$E\left[X\right]=E\left[X_1\right]+E\left[X_2\right]=3.5+3.5=7$

3. 分散ぶんさんと標準ひょうじゅん偏差へんい

分散ぶんさん$V\left[X\right]$

分散ぶんさん $V\left[X\right]$ とは、 「期待きたい値ちからのずれの 2 乗じょうの平均へいきん」。

$V\left[X\right]=E\left[\right(X-E\left[X\right]{)}^2]=\sum x(x-E\left[X\right]{)}^2\cdot P(X=x)$

計算けいさんがラクな公式こうしき

$V\left[X\right]=E\left[X^2\right]-\left(E\right[X]{)}^2$

標準ひょうじゅん偏差へんい$\sigma$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt{V\left[X\right]}$

→ 単たん位いが元もとの $X$ と同おなじになり、 「どのくらいばらつくか」 を直ちょっ感かん的てきに表あらわす。

サイコロの分散ぶんさんと標準ひょうじゅん偏差へんい

$E\left[X^2\right]=\frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6}=\frac{91}{6}$

$V\left[X\right]=\frac{91}{6}-{3.5}^2=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{182-147}{12}=\frac{35}{12}\approx 2.917$ $\sigma \left(X\right)=\sqrt{\frac{35}{12}}\approx 1.71$

分散ぶんさんの性質せいしつ

性質せいしつ	式しき
定数ていすう倍ばい	$V\left[aX\right]=a^{2}V\left[X\right]$
定数ていすう加算かさん	$V[X+b]=V\left[X\right]$ (平行移動へいこういどうでばらつきは不変ふへん)
独立どくりつな和わ	$V[X+Y]=V\left[X\right]+V\left[Y\right]$ ($X,Y$ が 独立どくりつ のときのみ)

大事だいじ: $E$ は 「線せん型けい性」 (いつでも和わ OK)、 $V$ は 「独どく立りつな場合ばあいだけ 和わ OK」 と区別くべつする。

4. 二に項こう分布ぶんぷ

定義ていぎ

二項分布にこうぶんぷ $B(n,p)$ とは、 確率かくりつ$p$ で成せい功こうする試し行こうを $n$回独立りつに行おこない、 成せい功こう回数かいすう $X$ を確率かくりつ変数へんすうとする分布ぶんぷ。

確率かくりつ関数かんすう

$P(X=k)=\left(\frac{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}(k=0,1,2,\dots ,n)$

ここで $\left(\frac{n}{k}\right)$ は 二項係数にこうけいすう (組合せくみあわせ ${}_n{C}_k$ と同おなじ)。

平均へいきんと分散ぶんさん

量りょう	式しき
期待きたい値ち	$E\left[X\right]=np$
分散ぶんさん	$V\left[X\right]=np(1-p)$
標準ひょうじゅん偏差へんい	$\sigma =\sqrt{np(1-p)}$

例題れいだい 2

確率かくりつ$p=0.2$ で当あたるくじを 10 回かい引ひくとき、 当あたり回数かいすう$X$ の期き待たい値あたい・分ぶん散さん・標準ひょうじゅん偏差へんいを求もとめよ。

解かい: $X\sim B(10,0.2)$ なので

$E\left[X\right]=10\cdot 0.2=2$ $V\left[X\right]=10\cdot 0.2\cdot 0.8=1.6$ $\sigma =\sqrt{1.6}\approx 1.26$

→ 「平均へいきん 2 回かい当あたり、 ばらつきは約やく 1.3 回かい」

例題れいだい 3 (具体ぐたい的てきな確率かくりつ)

$X\sim B(5,1/3)$ のとき、 $P(X=2)$ を求もとめよ。

解かい:

$P(X=2)=\left(\frac{5}{2}\right){\left(\frac{1}{3}\right)}^2{\left(\frac{2}{3}\right)}^3=10\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{8}{27}=\frac{80}{243}$

5. まとめ

概がい念ねん	式しき
期き待たい値あたい	$E\left[X\right]=\sum xP(X=x)$
分散ぶんさん	$V\left[X\right]=E\left[X^2\right]-\left(E\right[X]{)}^2$
標準ひょうじゅん偏差へんい	$\sigma =\sqrt{V\left[X\right]}$
二に項こう分ぶん布ぷ	$P(X=k)=\left(\frac{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$、 $E=np$、 $V=np(1-p)$

6. 発展はってん: $aX+b$ の期待きたい値ちと分散ぶんさん

確率かくりつ変数へんすう$X$ を 1 次じ変換へんかん した $Y=aX+b$ ($a,b$ は定数ていすう) に対たいし

量りょう	式しき
期待きたい値ち	$E\left[Y\right]=aE\left[X\right]+b$
分散ぶんさん	$V\left[Y\right]=a^{2}V\left[X\right]$
標準ひょうじゅん偏差へんい	$\sigma \left(Y\right)=\mid a\mid \sigma \left(X\right)$

例題れいだい 4

サイコロの出目でめ$X$ に対たいして、 $Y=2X-1$ の期き待たい値あたいと分ぶん散さんを求もとめよ。

解かい: 第だい 3 節ふしで求もとめた $E\left[X\right]=3.5$、 $V\left[X\right]=35/12$ を使つかう。

$E\left[Y\right]=2\cdot 3.5-1=6,V\left[Y\right]=2^2\cdot \frac{35}{12}=\frac{35}{3}\approx 11.67$

大事だいじ: 平へい行こう移い動どう ($+b$) は分散ぶんさんを変かえない が、 拡かく大だい ($\times a$) は分散ぶんさんを $a^2$倍 にする。 標準ひょうじゅん偏差へんいでは $\mid a\mid$倍です。 次じ章しょうの 標準化ひょうじゅんか で中心ちゅうしん的てきに使つかう性せい質しつ。

7. 期待きたい値ちの応用おうよう例れい

例題れいだい 5 (くじの期待きたい値ち)

1 等とうが 10 万まん円えん (当選とうせん確率かくりつ$1/100$)、 2 等とうが 1 万まん円えん (当選とうせん確率かくりつ$5/100$)、 残のこりは外れはずというくじがある。 1 枚まいあたりの賞しょう金きんの期待きたい値ちを求もとめよ。

解かい:

$E\left[X\right]=100000\cdot \frac{1}{100}+10000\cdot \frac{5}{100}+0\cdot \frac{94}{100}=1000+500=1500 円$

→ 1 枚まいの値あたい段だんが 1500 円えん未み満まんなら平均へいきん的に得え、 1500 円えんより高たかければ損そんと判はん断だんできる。 「期き待たい値あたいを価か格かくと比くらべる」 のが経済けいざい的てきな意思いし決定けっていの基き本ほん。

例題れいだい 6 (二項にこう分ぶん布ぷの確率かくりつ)

ある試験しけんの 1 問もんあたりの正答せいとう確率かくりつが $p=0.7$ であるとき、 10 問もん中ちゅう 8 問もん以上いじょう正答せいとうする確率かくりつを求もとめよ。

解かい: $X\sim B(10,0.7)$。 $P(X\ge 8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)$。

$P(X=8)=\left(\frac{10}{8}\right){0.7}^8\cdot {0.3}^2\approx 45\cdot 0.0576\cdot 0.09\approx 0.2335$ $P(X=9)=\left(\frac{10}{9}\right){0.7}^9\cdot 0.3\approx 10\cdot 0.0404\cdot 0.3\approx 0.1211$ $P(X=10)={0.7}^{10}\approx 0.0282$

→ $P(X\ge 8)\approx 0.383$ (約やく 38 %)。

次じの章しょう: 第だい 6 章しょうでは 連続型確率分布れんぞくがたかくりつぶんぷ に進すすみ、 正規分布せいきぶんぷ (ガウス分布がうすぶんぷ) を学まなびます。 二に項こう分ぶん布ぷの 「ならした形かたち」 が正せい規き分ぶん布ぷと言いえることも直ちょっ感かん的てきに確かく認にんします。