図形づけいと方程式ほうていしきの融合ゆうごう

この 章しょう で 学まなぶ こと

中なか 2 で 学がく ん だ 一次関数いちじかんすう・連立方程式れんりつほうていしき・平行四辺形へいこうしへんけい な ど の 図づ形けい の 知ち識しき を 組ぐみ み 合ごう わ せ た 発はっ展てん問題もんだい に 取と り 組くみ み ま す。 入試にゅうし で 出で る 「関かん数すう と 図づ形けい の 融合ゆうごう問題もんだい」 の 入口いりぐち で す。

• 座ざ標ひょう平面へいめん上じょう の 三角形さんかっけい の 面めん積せき を 求もとめ め られる
• 直ちょく線せん と 直ちょく線せん が つ く る 図づ形けい の 面めん積せき を 求もとめ め られる
• 動どう点てん と 面めん積せき の 関かん係けい を 一いち次じ関かん数すう で 表ひょう せ る
• 平行四辺形へいこうしへんけい を 二に等分とうぶん す る 直ちょく線せん が 求もとめ め られる
• 2 つ の 直ちょく線せん が 平行へいこう・垂すい直ちょく の 条件じょうけん が わかる

ポイント: 関かん数すう と 図づ形けい は 「グラフ で 図づ形けい を 表ひょう し、 図づ形けい を 計けい算さん で 求もとめ め る」 こ と で 融合ゆうごう し ま す。 中なか 3・高校こうこう で の 応用おうよう を 見据すえ た 章しょう。

1. 座標ざひょう平面へいめん上じょう の 三角形さんかっけい の 面めん積せき

公式こうしき (基き本ほん)

底てい辺へん が 軸じく に 平行へいこう な ら、 「底てい辺へん × 高たかさ ÷ 2」 で OK。

例題れいだい 1

頂ちょう点てん$A(1,1)$、 $B(5,1)$、 $C(3,5)$ の 三角形さんかっけい の 面めん積せき。

解とき方かた:

• 底てい辺へん$AB=5-1=4$ ($x$軸 に 平へい行こう)
• 高たかさ = $C$ の $y$座ざ標ひょう − $AB$ の $y$座ざ標ひょう = $5-1=4$

$面めん積せき=\frac{4\times 4}{2}=8$

例題れいだい 2 (軸じく に 平行へいこう で な い)

頂ちょう点てん$A(0,0)$、 $B(4,0)$、 $C(0,3)$ の 直角ちょっかく三角形さんかっけい。

解とき方かた: $AB$ は $x$軸じく上じょう、 $AC$ は $y$軸じく上じょう。

$面めん積せき=\frac{4\times 3}{2}=6$

2. 直線ちょくせん で 切きられる 三角形さんかっけい の 面めん積せき

例題れいだい 3

直ちょく線せん$y=-x+6$ と $x$軸・$y$軸 が 囲 む 三角形さんかっけい の 面めん積せき。

解とき方かた:

• $x$切片せっぺん: $0=-x+6$、 $x=6$
• $y$切片せっぺん: $y=6$

直角ちょっかく三角形さんかっけい で 底てい辺へん$6$、 高たかさ $6$。

$面めん積せき=\frac{6\times 6}{2}=18$

例題れいだい 4 (2 直ちょく線せん と 軸じく)

直ちょく線せん$y=2x$ と 直ちょく線せん$y=-x+6$ と $x$軸 で 囲 ま れ た 三角形さんかっけい の 面めん積せき を 求もとめよ。

解とき方かた:

• $y=2x$ と $x$軸 の 交こう点てん: $(0,0)$
• $y=-x+6$ と $x$軸 の 交こう点てん: $(6,0)$
• 2 直ちょく線せん の 交こう点てん: $2x=-x+6$、 $x=2$、 $y=4$ → $(2,4)$

頂ちょう点てん$(0,0)$、 $(6,0)$、 $(2,4)$ の 三角形さんかっけい。 底てい辺へん$6$、 高たかさ $4$。

$面めん積せき=\frac{6\times 4}{2}=12$

3. 動どう点てん と 面めん積せき (発はっ展てん編へん)

例題れいだい 5

1 辺あたり 8 cm の 正方形せいほうけい ABCD。 点てん P は 頂ちょう点てん A を 出しゅっ発ぱつ し、 毎秒まいびょう 1 cm の 速ささ で A → B → C と 動どう く。 $x$秒びょう後ご の 三角形さんかっけい APD の 面めん積せき を $y$ cm² と し、 $y$ を $x$ の 式しき で 表ひょう せ。

フェーズ ① ($0\le x\le 8$): P は AB 上うえ に あ る。

• 底てい辺へん = AD = $8$ (固こ定てい)
• 高こう さ = AP = $x$
• $y=\frac{8\times x}{2}=4x$

フェーズ ② ($8\le x\le 16$): P は BC 上うえ に あ る。

• 底てい辺へん = AD = $8$
• 高こう さ = AB = $8$ (固こ定てい、 P が BC 上うえ で あ る 限きり り)
• $y=\frac{8\times 8}{2}=32$ (一いっ定てい)

まとめ:

ポイント: フェ ー ズ で 場ば合あい分 け が 関かん数すう × 図づ形けい融合ゆうごう問もん題だい の 鉄則てっそく。 グラフ は 折おり れ 線せん。

4. 平行四辺形へいこうしへんけい を 二に等分とうぶん す る 直線ちょくせん

大事だいじ な 性せい質しつ

平行四辺形へいこうしへんけい の 対たい角かく線せん の 交点こうてん を 通つう る 直ちょく線せん は、 平行四辺形へいこうしへんけい の 面めん積せき を 2 等分とうぶん す る。

例題れいだい 6

平行四辺形へいこうしへんけい ABCD で $A(0,0)$、 $B(6,0)$、 $C(8,4)$、 $D(2,4)$。 点$P(0,-1)$ を 通とおり、 平行四辺形へいこうしへんけい の 面めん積せき を 二に等分とうぶん す る 直ちょく線せん の 式しき を 求もとめよ。

解とき方かた:

• 対たい角かく線せん の 交点こうてん = $(A+C)÷2=(4,2)$
• $P(0,-1)$ と $(4,2)$ を 通つう る 直ちょく線せん を 求もとめ め る

傾かたむき $a=\frac{2-(-1)}{4-0}=\frac{3}{4}$

$y=\frac{3}{4}x-1$

大事だいじ: 「対たい角かく線せん の 交点こうてん を 通つう る」 が 二に等分とうぶん の キー。 中心ちゅうしん を 通つう る 直ちょく線せん は ど の 方向ほうこう で も 平行四辺形へいこうしへんけい を 二に等分とうぶん し ま す。

5. 平行へいこう と 垂直すいちょく の 条件じょうけん (一いち次じ関数かんすう)

平行へいこう

2 つ の 直ちょく線せん が 平行へいこう ⇔ 傾かたむき が 等しひとい

直ちょく線せん ①	直ちょく線せん ②	平行へいこう か
$y=2x+1$	$y=2x-3$	○
$y=2x+1$	$y=3x+1$	✕

垂直すいちょく (発はっ展てん)

2 つ の 直ちょく線せん が 垂すい直ちょく ⇔ 2 つ の 傾かたむき の 積つむ が $-1$

(中学ちゅうがく で は 軽けい く ふれ る 程てい度ど、 高校こうこう で 詳 し く 学がく ぶ)

直ちょく線せん ①	直ちょく線せん ②	垂すい直ちょく か
$y=2x$	$y=-\frac{1}{2}x$	○ ($2\times -\frac{1}{2}=-1$)
$y=3x+1$	$y=-\frac{1}{3}x$	○

6. 例題れいだい (融合ゆうごう)

例題れいだい 7

直ちょく線せん$\ell :y=-x+6$ が $x$軸、 $y$軸 と 交まじわる 点てん を A、 B と す る。 $\ell$上 に 点てん P を と る と き、 三角形さんかっけい OAP の 面めん積せき が 三角形さんかっけい OAB の 面めん積せき の 半はん分ぶん に な る P の 座ざ標ひょう を 求もとめよ。

解とき方かた:

• $A(6,0)$、 $B(0,6)$
• 三角形さんかっけい OAB の 面めん積せき = $\frac{6\times 6}{2}=18$
• 三角形さんかっけい OAP の 面めん積せき = $9$ に な る よ う に P を 取と る

P は $\ell$上 → P の 座ざ標ひょう を $(t,-t+6)$ と お く。

底てい辺へん$OA=6$、 高こう さ = $\mid -t+6\mid$ ($P$ の $y$座標ざひょう の 絶ぜっ対たい値ち)

$\frac{6\times \mid -t+6\mid }{2}=9$ $\mid -t+6\mid =3$

⇒ $-t+6=3$ で $t=3$、 ま た は $-t+6=-3$ で $t=9$。

答こたえ: P $(3,3)$ ま た は P $(9,-3)$。

7. ふりかえり

• [ ]座ざ標ひょう平面へいめん上じょう の 三角形さんかっけい の 面めん積せき を 公式こうしき で 求もとめ め られる
• [ ]直ちょく線せん と 軸じく で 囲 ま れ た 三角形さんかっけい の 面めん積せき を 求もとめ め られる
• 2 直ちょく線せん と 軸じく で 囲 ま れ た 三角形さんかっけい の 面めん積せき を 求もとめ め られる
• 動どう点てん と 面めん積せき を フェ ー ズ ご と に 場ば合あい分 け で きる
• 平行四辺形へいこうしへんけい を 二に等分とうぶん す る 直ちょく線せん が 「中心ちゅうしん を 通つう る」 と わかる
• 2 直ちょく線せん の 平行へいこう ⇔ 傾かたむき が 等しひとい が 言げん え る
• [ ]関かん数すう と 図づ形けい の 融合ゆうごう問題もんだい に 自じ信しん が つ い た