図形ずけいと方程式ほうていしきの融合ゆうごう

この章しょうで学まなぶこと

中なか 2 で学まなんだ 一次関数いちじかんすう・連立方程式れんりつほうていしき・平行四辺形へいこうしへんけい などの図づ形けい の知ち識しき を 組み合わせくみあわせた発はっ展てん問題もんだい に取とり組くみます。 入試にゅうしで出でる 「関かん数すう と図づ形けい の融合ゆうごう問題もんだい」 の入口いりぐちです。

• 座ざ標ひょう平面へいめん上じょうの 三角形の面積さんかっけいのめんせき を求もとめられる
• 直ちょく線せん と直ちょく線せん がつくる図づ形けい の面めん積せき を求もとめられる
• 動どう点てんと面めん積せき の関かん係けい を一いち次じ関かん数すう で表あらわせる
• 平行四辺形へいこうしへんけいを二に等分とうぶんする直ちょく線せん が求もとめられる
• 2 つの直ちょく線せん が平行へいこう・垂すい直ちょく の条件じょうけんがわかる

ポイント: 関かん数すう と図づ形けい は 「グラフで図づ形けい を表あらわし、 図づ形けい を計けい算さん で求もとめる」 ことで融合ゆうごうします。 中なか 3・高校こうこうでの応用おうようを見据すえた章しょう。

1. 座標ざひょう平面へいめん上じょうの三角形さんかくけいの面めん積せき

公式こうしき (基き本ほん)

底てい辺へん が 軸じく に平行へいこうなら、 「底てい辺へん × 高たかさ ÷ 2」 で OK。

例題れいだい 1

頂ちょう点てん $A(1,1)$、 $B(5,1)$、 $C(3,5)$ の三角形さんかくけいの面めん積せき。

解とき方かた:

• 底てい辺へん $AB=5-1=4$ ($x$軸に平へい行こう)
• 高たかさ = $C$ の $y$座ざ標ひょう − $AB$ の $y$座ざ標ひょう = $5-1=4$

$$面めん積せき=4×42=8\text{面めん積せき} = \frac{4 \times 4}{2} = 8

例題れいだい 2 (軸じくに平行へいこうでない)

頂ちょう点てん $A(0,0)$、 $B(4,0)$、 $C(0,3)$ の 直角三角形ちょっかくさんかっけい。

解とき方かた: $AB$ は $x$軸じく上じょう、 $AC$ は $y$軸じく上じょう。

$$面めん積せき=4×32=6\text{面めん積せき} = \frac{4 \times 3}{2} = 6

2. 直線ちょくせんで切きられる三角形さんかくけいの面めん積せき

例題れいだい 3

直ちょく線せん $y=-x+6$ と $x$軸・$y$軸が囲かこむ三角形さんかくけいの面めん積せき。

解とき方かた:

• $x$切片せっぺん: $0=-x+6$、 $x=6$
• $y$切片せっぺん: $y=6$

直角ちょっかく三角形さんかくけいで底てい辺へん $6$、 高たかさ $6$。

$$面めん積せき=6×62=18\text{面めん積せき} = \frac{6 \times 6}{2} = 18

例題れいだい 4 (2 直ちょく線せん と軸じく)

直ちょく線せん $y=2x$ と直ちょく線せん $y=-x+6$ と $x$軸で囲かこまれた三角形さんかくけいの面めん積せき を求もとめよ。

解とき方かた:

• $y=2x$ と $x$軸の交こう点てん: $(0,0)$
• $y=-x+6$ と $x$軸の交こう点てん: $(6,0)$
• 2 直ちょく線せん の交こう点てん: $2x=-x+6$、 $x=2$、 $y=4$ → $(2,4)$

頂ちょう点てん $(0,0)$、 $(6,0)$、 $(2,4)$ の三角形さんかくけい。 底てい辺へん $6$、 高たかさ $4$。

$$面めん積せき=6×42=12\text{面めん積せき} = \frac{6 \times 4}{2} = 12

3. 動どう点てんと面めん積せき (発はっ展てん編へん)

例題れいだい 5

1 辺あたり 8 cm の 正方形せいほうけい ABCD。 点てん P は頂ちょう点てん A を出しゅっ発ぱつ し、 毎秒まいびょう 1 cm の速ささ で A → B → C と動うごく。 $x$秒びょう後ごの三角形さんかくけい APD の面めん積せき を $y$ cm² とし、 $y$ を $x$ の式しきで表あらわせ。

フェーズ ① ($0\le x\le 8$): P は AB 上うえにある。

• 底てい辺へん = AD = $8$ (固こ定てい)
• 高たかさ = AP = $x$
• $y=\frac{8\times x}{2}=4x$

フェーズ ② ($8\le x\le 16$): P は BC 上うえにある。

• 底てい辺へん = AD = $8$
• 高たかさ = AB = $8$ (固こ定てい、 P が BC 上うえである限かぎり)
• $y=\frac{8\times 8}{2}=32$ (一いっ定てい)

まとめ:

ポイント: フェーズで場ば合あい分わけ が関かん数すう × 図づ形けい融合ゆうごう問もん題だい の鉄則てっそく。 グラフは 折おれ線せん。

4. 平行四辺形へいこうしへんけいを二に等分とうぶんする直線ちょくせん

大事だいじな性せい質しつ

平行四辺形へいこうしへんけいの対たい角かく線せん の交点こうてんを通とおる直ちょく線せん は、 平行四辺形へいこうしへんけいの面めん積せき を 2 等分とうぶんする。

例題れいだい 6

平行四辺形へいこうしへんけい ABCD で $A(0,0)$、 $B(6,0)$、 $C(8,4)$、 $D(2,4)$。 点$P(0,-1)$ を通とおり、 平行四辺形へいこうしへんけいの面めん積せき を二に等分とうぶんする直ちょく線せん の式しきを求もとめよ。

解とき方かた:

• 対たい角かく線せん の交点こうてん = $(A+C)÷2=(4,2)$
• $P(0,-1)$ と $(4,2)$ を通とおる直ちょく線せん を求もとめる

傾きかたむき $a=\frac{2-(-1)}{4-0}=\frac{3}{4}$

$y=\frac{3}{4}x-1$

大事だいじ: 「対たい角かく線せん の交点こうてんを通とおる」 が二に等分とうぶんのキー。 中心ちゅうしんを通とおる直ちょく線せん はどの方向ほうこうでも平行四辺形へいこうしへんけいを二に等分とうぶんします。

5. 平行へいこうと垂直すいちょくの条件じょうけん (一いち次じ関数かんすう)

平行へいこう

2 つの直ちょく線せん が平行へいこう ⇔ 傾きかたむきが等しひとい

直ちょく線せん ①	直ちょく線せん ②	平行へいこうか
$y=2x+1$	$y=2x-3$	○
$y=2x+1$	$y=3x+1$	✕

垂直すいちょく (発はっ展てん)

2 つの直ちょく線せん が垂すい直ちょく ⇔ 2 つの傾きかたむきの積せきが $-1$

(中学ちゅうがくでは軽かるくふれる程てい度ど、 高校こうこうで詳くわしく学まなぶ)

直ちょく線せん ①	直ちょく線せん ②	垂すい直ちょく か
$y=2x$	$y=-\frac{1}{2}x$	○ ($2\times -\frac{1}{2}=-1$)
$y=3x+1$	$y=-\frac{1}{3}x$	○

6. 例題れいだい (融合ゆうごう)

例題れいだい 7

直ちょく線せん $\ell :y=-x+6$ が $x$軸、 $y$軸と交まじわる点てんを A、 B とする。 $\ell$上に点てん P をとるとき、 三角形さんかくけい OAP の面めん積せき が三角形さんかくけい OAB の面めん積せき の半はん分ぶん になる P の座ざ標ひょう を求もとめよ。

解とき方かた:

• $A(6,0)$、 $B(0,6)$
• 三角形さんかくけい OAB の面めん積せき = $\frac{6\times 6}{2}=18$
• 三角形さんかくけい OAP の面めん積せき = $9$ になるように P を取とる

P は $\ell$上 → P の座ざ標ひょう を $(t,-t+6)$ とおく。

底てい辺へん $OA=6$、 高たかさ = $\mid -t+6\mid$ ($P$ の $y$座標ざひょうの絶ぜっ対たい値ち)

$\frac{6\times \mid -t+6\mid }{2}=9$ $\mid -t+6\mid =3$

⇒ $-t+6=3$ で $t=3$、 または $-t+6=-3$ で $t=9$。

答えこたえ: P $(3,3)$ または P $(9,-3)$。

7. ふりかえり

• [ ]座ざ標ひょう平面へいめん上じょうの 三角形さんかくけいの面めん積せき を公式こうしきで求もとめられる
• [ ]直ちょく線せん と軸じくで囲かこまれた 三角形さんかくけい の面めん積せき を求もとめられる
• 2 直ちょく線せん と軸じく で囲かこまれた三角形さんかくけいの面めん積せき を求もとめられる
• 動どう点てんと面めん積せき をフェーズごとに 場ば合あい分わけ できる
• 平行四辺形へいこうしへんけいを二に等分とうぶん する直ちょく線せん が 「中心ちゅうしんを通とおる」 とわかる
• 2 直ちょく線せん の 平行へいこう ⇔ 傾きかたむきが等しひとい が言いえる
• [ ]関かん数すう と図づ形けい の融合ゆうごう問題もんだいに自じ信しん がついた