この 章 で 学ぶ こと
中 2 で 学 ん だ 一次関数・連立方程式・平行四辺形 な ど の 図形 の 知識 を 組 み 合 わ せ た 発展問題 に 取 り 組 み ま す。 入試 で 出 る 「関数 と 図形 の 融合問題」 の 入口 で す。
- 座標平面上 の 三角形 の 面積 を 求 め られる
- 直線 と 直線 が つ く る 図形 の 面積 を 求 め られる
- 動点 と 面積 の 関係 を 一次関数 で 表 せ る
- 平行四辺形 を 二等分 す る 直線 が 求 め られる
- 2 つ の 直線 が 平行・垂直 の 条件 が わかる
ポイント: 関数 と 図形 は 「グラフ で 図形 を 表 し、 図形 を 計算 で 求 め る」 こ と で 融合 し ま す。 中 3・高校 で の 応用 を 見据え た 章。
1. 座標平面上 の 三角形 の 面積
公式 (基本)
底辺 が 軸 に 平行 な ら、 「底辺 × 高さ ÷ 2」 で OK。
例題 1
頂点A(1,1)、 B(5,1)、 C(3,5) の 三角形 の 面積。
解き方:
- 底辺AB=5−1=4 (x軸 に 平行)
- 高さ = C の y座標 − AB の y座標 = 5−1=4
<ruby>面<rt>めん</rt></ruby><ruby>積<rt>せき</rt></ruby>=24×4=8
例題 2 (軸 に 平行 で な い)
頂点A(0,0)、 B(4,0)、 C(0,3) の 直角三角形。
解き方: AB は x軸上、 AC は y軸上。
<ruby>面<rt>めん</rt></ruby><ruby>積<rt>せき</rt></ruby>=24×3=6
2. 直線 で 切られる 三角形 の 面積
例題 3
直線y=−x+6 と x軸・y軸 が 囲 む 三角形 の 面積。
解き方:
- x切片: 0=−x+6、 x=6
- y切片: y=6
直角三角形 で 底辺6、 高さ 6。
<ruby>面<rt>めん</rt></ruby><ruby>積<rt>せき</rt></ruby>=26×6=18
例題 4 (2 直線 と 軸)
直線y=2x と 直線y=−x+6 と x軸 で 囲 ま れ た 三角形 の 面積 を 求めよ。
解き方:
- y=2x と x軸 の 交点: (0,0)
- y=−x+6 と x軸 の 交点: (6,0)
- 2 直線 の 交点: 2x=−x+6、 x=2、 y=4 → (2,4)
頂点(0,0)、 (6,0)、 (2,4) の 三角形。 底辺6、 高さ 4。
<ruby>面<rt>めん</rt></ruby><ruby>積<rt>せき</rt></ruby>=26×4=12
3. 動点 と 面積 (発展編)
例題 5
1 辺 8 cm の 正方形 ABCD。 点 P は 頂点 A を 出発 し、 毎秒 1 cm の 速さ で A → B → C と 動 く。 x秒後 の 三角形 APD の 面積 を y cm² と し、 y を x の 式 で 表 せ。
フェーズ ① (0≤x≤8): P は AB 上 に あ る。
- 底辺 = AD = 8 (固定)
- 高 さ = AP = x
- y=28×x=4x
フェーズ ② (8≤x≤16): P は BC 上 に あ る。
- 底辺 = AD = 8
- 高 さ = AB = 8 (固定、 P が BC 上 で あ る 限 り)
- y=28×8=32 (一定)
まとめ:
y={4x32(0≤x≤8)(8≤x≤16)
ポイント: フェ ー ズ で 場合分 け が 関数 × 図形融合問題 の 鉄則。 グラフ は 折 れ 線。
4. 平行四辺形 を 二等分 す る 直線
大事 な 性質
平行四辺形 の 対角線 の 交点 を 通 る 直線 は、 平行四辺形 の 面積 を 2 等分 す る。
例題 6
平行四辺形 ABCD で A(0,0)、 B(6,0)、 C(8,4)、 D(2,4)。 点P(0,−1) を 通り、 平行四辺形 の 面積 を 二等分 す る 直線 の 式 を 求めよ。
解き方:
- 対角線 の 交点 = (A+C)÷2=(4,2)
- P(0,−1) と (4,2) を 通 る 直線 を 求 め る
傾き a=4−02−(−1)=43
y=43x−1
大事: 「対角線 の 交点 を 通 る」 が 二等分 の キー。 中心 を 通 る 直線 は ど の 方向 で も 平行四辺形 を 二等分 し ま す。
5. 平行 と 垂直 の 条件 (一次関数)
平行
2 つ の 直線 が 平行 ⇔ 傾き が 等しい
| 直線 ① | 直線 ② | 平行 か |
|---|
| y=2x+1 | y=2x−3 | ○ |
| y=2x+1 | y=3x+1 | ✕ |
垂直 (発展)
2 つ の 直線 が 垂直 ⇔ 2 つ の 傾き の 積 が −1
(中学 で は 軽 く ふれ る 程度、 高校 で 詳 し く 学 ぶ)
| 直線 ① | 直線 ② | 垂直 か |
|---|
| y=2x | y=−21x | ○ (2×−21=−1) |
| y=3x+1 | y=−31x | ○ |
6. 例題 (融合)
例題 7
直線ℓ:y=−x+6 が x軸、 y軸 と 交わる 点 を A、 B と す る。 ℓ上 に 点 P を と る と き、 三角形 OAP の 面積 が 三角形 OAB の 面積 の 半分 に な る P の 座標 を 求めよ。
解き方:
- A(6,0)、 B(0,6)
- 三角形 OAB の 面積 = 26×6=18
- 三角形 OAP の 面積 = 9 に な る よ う に P を 取 る
P は ℓ上 → P の 座標 を (t,−t+6) と お く。
底辺OA=6、 高 さ = ∣−t+6∣ (P の y座標 の 絶対値)
26×∣−t+6∣=9
∣−t+6∣=3
⇒ −t+6=3 で t=3、 ま た は −t+6=−3 で t=9。
答え: P (3,3) ま た は P (9,−3)。
7. ふりかえり