三さん平方へいほうの定理ていり

この章しょうで学まなぶこと

中学ちゅうがく 3 年ねん の 図形づけい単元たんげん の 最強さいきょう公式こうしき、 それ が 三平方の定理さんへいほうのていり です。 別名べつめいピタゴラス の 定理ぴたごらすのていり。

直角ちょっかく三角形さんかっけい で、 直角ちょっかく を はさむ 2 辺あたり の 長ちょう さ を $a,b$、 斜辺しゃへん (直角ちょっかく と 向むこう かい 合あう 辺あたり) を $c$ と する と、

$a^2+b^2=c^2$

この 1 つ の 公式こうしき で、 長さ・距離きょり・対角線たいかくせん・最短さいたん経路けいろ・体積たいせき・面積めんせき ほぼ 何なに でも 計算けいさん できる ように なる、 入試にゅうし数学すうがく の 主役しゅやく中ちゅう の 主役しゅやく です。

ゴール:

• 三さん平方へいほう の 定理ていり の 意味いみ と 2 つ の 証明しょうめい法ほう を 理解りかい
• 直角ちょっかく三角形さんかっけい で 1 辺あたり を 求もとめ められる
• 三さん平方へいほう の 定理ていり の 逆 を 使つかい、 直角ちょっかく三角形さんかっけい か 判定はんてい でき る
• $1:1:\sqrt{2}$ (直角ちょっかく二に等辺とうへん) と $1:2:\sqrt{3}$ (30°, 60°, 90°) の 比ひ を 即答そくとう でき る
• 三角形さんかっけい の 高こう さ、 正三角形せいさんかっけい の 高こう さ、 円えん の 弦つる の 長ながさ 等ひとし を 計算けいさん でき る
• 直方体ちょくほうたい の 対角線たいかくせん、 角錐かくすい の 高こう さ 等ひとし の 空間くうかん図形づけい へ 拡張かくちょう でき る

1. 三さん平方へいほう の 定理ていり と は

直角ちょっかく三角形さんかっけい で:

辺あたり の 名前なまえ	役割やくわり
斜辺しゃへん (しゃへん)	直角ちょっかく と 向むこう かい 合あう 1 番長ばんちょう い 辺あたり
直角ちょっかく を はさ む 2 辺あたり	残のこり の 2 辺あたり

このとき、

$\left(2 辺 の 平方 の 和\right)=\left(2^{}\right)$

例題れいだい 1: 直角ちょっかく を はさ む 2 辺あたり が 3, 4 の 直角ちょっかく三角形さんかっけい。 斜辺しゃへん は?

$c^2=3^2+4^2=25⟹c=5$

例題れいだい 2: 斜辺しゃへん 13、 直角ちょっかく を はさ む 1 辺あたり が 5。 もう 1 辺あたり は?

$5^2+b^2={13}^2⟹b^2=144⟹b=12$

覚おぼえ 方かた: 「直角ちょっかく を はさ む 2 辺あたり の 平方へいほう の 和わ = 斜辺しゃへん の 平方へいほう」。 斜辺しゃへん を 答こたえ に する 場合ばあい は 足たし て $\sqrt{}$、 はさ む 辺あたり を 答こたえ に する 場合ばあい は 引 い て $\sqrt{}$。

2. ピタゴラス 数

$a^2+b^2=c^2$ を 満みつる たす 整数せいすう の 組くみ を ピタゴラス 数ぴたごらすすう と いい ます。 入試にゅうし で よく 出でる 「即答そくとう すべき」 組くみ:

整数せいすう組ぐみ	比ひ
$(3,4,5)$	標準ひょうじゅん
$(5,12,13)$	標準ひょうじゅん
$(8,15,17)$	やや 上級じょうきゅう
$(7,24,25)$	入試にゅうし たまに
$(6,8,10)=2\times (3,4,5)$	倍数ばいすう
$(9,12,15)=3\times (3,4,5)$	倍数ばいすう

ポイント:$(3,4,5)$ を 見み たら 即そく 「直角ちょっかく三角形さんかっけい だ!」 と 反応はんのう する。 入試にゅうし計算けいさん短縮たんしゅく の 必殺ひっさつ技わざ。

3. 特別とくべつ な 直角ちょっかく三角形さんかっけい

整数せいすう で は ない が、 入試にゅうし で 必かならず 暗記あんき す べき 2 つ の 特別とくべつ な 直角ちょっかく三角形さんかっけい。

(1) 直角ちょっかく二等辺三角形にとうへんさんかっけい (45°, 45°, 90°)

3 辺あたり の 比ひ は

$1:1:\sqrt{2}$

例題れいだい 3: 直角ちょっかく二等辺三角形にとうへんさんかっけい で 直角ちょっかく を はさ む 辺あたり が 5 の とき、 斜辺しゃへん は?

$5\sqrt{2}$

(2) 30°, 60°, 90° の 直角ちょっかく三角形さんかっけい

3 辺あたり の 比ひ は

$1:\sqrt{3}:2$

(短みじかい 方かた = 30° の 対辺たいへん、 中間ちゅうかん = 60° の 対辺たいへん、 一番いちばん長ながい = 斜辺しゃへん = 90° の 対辺たいへん)

例題れいだい 4: 30° の 角かく の 対辺たいへん が 4 の とき、 60° の 対辺たいへん と 斜辺しゃへん は?

$60°対 辺=4\sqrt{3},斜 辺=8$

暗記あんき ルール: 「イチ・イチ・ルート 2」 と 「イチ・ルート 3・ニ」。 これ を 即答そくとう でき ない と 入試にゅうし で 詰つめ まる。

4. 三さん平方へいほう の 定理ていり の 逆ぎゃく

3 辺あたり の 長ながさ $a,b,c$ ($c$ が 最大さいだい) で

$a^2+b^2=c^2$

が 成なり 立たつ て ば、 その 三角形さんかっけい は 直角ちょっかく三角形さんかっけい ($c$ が 斜辺しゃへん、 $c$ の 対たい角かく が 直角ちょっかく)。

例題れいだい 5: 3 辺あたり が 7, 24, 25 の 三角形さんかっけい は 直角ちょっかく三角形さんかっけい か。

$7^2+{24}^2=49+576=625={25}^2$ → 成なり 立たつ。 直角ちょっかく三角形さんかっけい。

例題れいだい 6: 3 辺あたり が 5, 6, 8 は 直角ちょっかく三角形さんかっけい か。

$5^2+6^2=25+36=61\ne 64=8^2$。 直角ちょっかく三角形さんかっけい で は ない。

5. 平面へいめん図形づけい で の 応用おうよう

(1) 正三角形せいさんかっけい の 高こう さ

1 辺$a$ の 正三角形せいさんかっけい を 半分はんぶん に 切きる と 30°, 60°, 90° の 直角ちょっかく三角形さんかっけい。

$h=\frac{\sqrt{3}}{2}a,面積=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$

例題れいだい 7: 1 辺あたり 6 の 正三角形せいさんかっけい の 高こう さ と 面積めんせき を 求もとめ め よ。

$h=3\sqrt{3},面積=\frac{1}{2}\times 6\times 3\sqrt{3}=9\sqrt{3}$

(2) 2 点てん間かん の 距離きょり

座標ざひょう平面へいめん で 2 点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ の 距離きょり は

$\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

例題れいだい 8: A$(1,2)$ と B$(4,6)$ の 距離きょり は?

$\sqrt{3^2+4^2}=5$

(3) 円えん の 弦つる の 長ながさ

中心ちゅうしん O から 弦つる AB に 下おろし た 垂線すいせん の 足あし を H と する と、 H は AB の 中点ちゅうてん。 三さん平方へいほう の 定理ていり で 弦つる の 長ちょう さ を 求もとめ められる。

例題れいだい 9: 半径はんけい 5 の 円えん で、 中心ちゅうしん から 弦つる まで の 距離きょり が 3 の とき、 弦つる の 長ちょう さ は?

半はん弦つる = $\sqrt{5^2-3^2}=4$ → 弦つる の 長ちょう さ = 8。

6. 空間くうかん図形づけい で の 応用おうよう (入試にゅうし大物おおもの)

(1) 直方体ちょくほうたい の 対角線たいかくせん

縦$a$、 横$b$、 高こう さ $c$ の 直方体ちょくほうたい の 対角線たいかくせん は、

$\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

導出どうしゅつ: 底面ていめん の 対角線たいかくせん = $\sqrt{a^2+b^2}$。 これ を 1 辺あたり と し、 高こう さ $c$ と 直角ちょっかく三角形さんかっけい を 作さく れ ば、 対角線たいかくせん = $\sqrt{(a^2+b^2)+c^2}$。

例題れいだい 10: 縦たて 3、 横よこ 4、 高こう さ 12 の 直方体ちょくほうたい の 対角線たいかくせん を 求もとめ め よ。

$\sqrt{3^2+4^2+{12}^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$

(2) 立方体りっぽうたい の 対角線たいかくせん

1 辺$a$ の 立方体りっぽうたい の 対角線たいかくせん = $\sqrt{3}a$。

例題れいだい 11: 1 辺あたり 6 の 立方体りっぽうたい の 対角線たいかくせん = $6\sqrt{3}$。

(3) 角錐かくすい の 高こう さ と 体積たいせき

正せい四よん角錐かくすい (底面ていめん = 正方形せいほうけい、 4 つ の 側面そくめん = 合同ごうどう な 二等辺三角形にとうへんさんかっけい) で、 底面ていめん の 1 辺$a$、 側がわ棱 (頂点ちょうてん と 底面ていめん の 頂点ちょうてん を 結むすぶ ぶ 辺あたり) の 長ちょう さ $\ell$ の とき:

底面ていめん の 対角線たいかくせん = $\sqrt{2}a$、 半はん対角線たいかくせん = $\frac{\sqrt{2}}{2}a$。 高こう さ $h$ は 三さん平方へいほう で、

$h=\sqrt{{\ell }^2-\frac{a^2}{2}}$

例題れいだい 12: 底そこ 1 辺あたり 6、 側がわ棱 9 の 正せい四よん角錐かくすい の 高こう さ と 体積たいせき を 求もとめ め よ。

半はん対角線たいかくせん = $3\sqrt{2}$、 $h=\sqrt{81-18}=\sqrt{63}=3\sqrt{7}$。

体積たいせき = $\frac{1}{3}\times 6^2\times 3\sqrt{7}=36\sqrt{7}$。

(4) 最短さいたん経路けいろ (展開てんかい図ず で 解とく)

例題れいだい 13: 1 辺あたり 4 の 立方体りっぽうたい の 1 つ の 頂点ちょうてん A から、 反対はんたい側がわ の 頂点ちょうてん G まで 側面そくめん を 通つう る最短さいたん経路けいろ。

立方体りっぽうたい の 側面そくめん を 展開てんかい する と、 A から G ま で 横よこ 8、 縦たて 4 の 長方形ちょうほうけい の 対角線たいかくせん に なる。

$\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$

テクニック:立体りったい の 表面ひょうめん上じょう の 最短さいたん経路けいろ は 展開てんかい図ず で 直線ちょくせん に なる。 公式こうしき で は なく 展開てんかい する 力 が 問もん われ る。

7. 章しょう末まつ演習えんしゅう (入試にゅうし形式けいしき)

(1) 直角ちょっかく三角形さんかっけい で 直角ちょっかく を は さ む 2 辺あたり が 6, 8 の とき、 斜辺しゃへん。 (2) 直角ちょっかく二等辺三角形にとうへんさんかっけい で 斜辺しゃへん が 10 の とき、 はさ む 辺あたり。 (3) 30°, 60°, 90° の 直角ちょっかく三角形さんかっけい で 斜辺しゃへん = 12 の とき、 短みじかい 辺あたり と 中間ちゅうかん の 辺あたり。 (4) 1 辺あたり 8 の 正三角形せいさんかっけい の 面積めんせき。 (5) 縦たて 5、 横よこ 12、 高こう さ 84 の 直方体ちょくほうたい の 対角線たいかくせん (本ほん問もん は 大だい きな 数かず の 練習れんしゅう)。 (6) 1 辺あたり 4 の 立方体りっぽうたい で、 頂点ちょうてん A から 対たい する 頂点ちょうてん G まで の 直線ちょくせん距離きょり (体内たいない対角線たいかくせん)。

略解りゃっかい: (1) $\sqrt{36+64}=10$ (2) $\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$ (3) 比$1:\sqrt{3}:2$、 斜辺しゃへん 12 → 短みじかい 6、 中間ちゅうかん$6\sqrt{3}$ (4) $\frac{\sqrt{3}}{4}\times 64=16\sqrt{3}$ (5) $\sqrt{25+144+7056}=\sqrt{7225}=85$ (6) $4\sqrt{3}$

章 の まとめ:三さん平方へいほう の 定理ていり は 中学ちゅうがく数学すうがく の 最後さいご の 大だい ボス。 公式こうしき を 覚おぼえ る だけ で は 不十分ふじゅうぶん で、 「どこ に 直角ちょっかく三角形さんかっけい を 探さがす か」 「どこ で 展開てんかい する か」 が 入試にゅうし で の 勝負しょうぶ ポイント。

まとめ — 三さん平方へいほうの定理ていり を 3 行くだりで

• 三さん平方へいほうの定理ていりは直角ちょっかく三角形さんかっけいの三さん辺へん$a,b,c$ (斜辺しゃへん$c$) について $a^2+b^2=c^2$ が成立せいりつする関係かんけいで、 ピタゴラスの定理ていりとも呼よばれる
• 特別とくべつな直角ちょっかく三角形さんかっけいの辺あたり比ひ ($1:1:\sqrt{2}$ の直角二等辺ちょっかくにとうへん、 $1:2:\sqrt{3}$ の $30°$-$60°$-$90°$) は暗記あんきし、 即座そくざに適用てきようできるようにする
• 空間くうかん図形づけいでは直方体ちょくほうたいの対角線たいかくせん$\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ や正四面体せいしめんたいの高たかさなど、 平面へいめんに展開てんかいして直角ちょっかく三角形さんかっけいを見みつける視点してんが勝負しょうぶを分わける