アステロイド（あすてろいど）とは｜意味・読み方・使い方

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アステロイドとは、媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ $x = a \cos^{3} t, y = a \sin^{3} t$ で表あらわされる星ぼし形がたの曲線きょくせんです。

表あらわし方かた	式しき
媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ	$x = a \cos^{3} t, y = a \sin^{3} t$
直交ちょっこう形式けいしき	$x^{2 / 3} + y^{2 / 3} = a^{2 / 3}$
尖点せんてんの数かず	4 個こ

4 つの尖点せんてん（カスプ）をもち、各かく座標軸ざひょうじくとの交点こうてんが尖とがって見みえます。半径はんけい $a$ の大円だいえんの内側うちがわを、半径はんけい $\frac{a}{4}$ の小しょう円えんがころがるときの円周えんしゅう上じょうの点てんの軌跡きせき（内サイクロイドないさいくろいど）としても得えられます。

たとえば $a = 8$ のアステロイドでは、 $t = 0$ で $(8, 0)$ 、 $t = \frac{π}{2}$ で $(0, 8)$ という軸じく上じょうの尖点せんてんにきます。 $t = \frac{π}{4}$ では $\cos t = \sin t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ なので $x = y = 8 \times \frac{1}{2 \sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}$ となり、円えんよりずっと原点げんてん寄よりをへこんで通とおることがわかります。

試験しけんでは アステロイドの囲かこむ面積めんせき（ $\frac{3}{8} π a^{2}$ ）や全長ぜんちょうを媒介ばいかい変数へんすうの積分せきぶんで求もとめる問題もんだいが出でる。尖点せんてんで接線せっせんの向むきが反転はんてんする点てんに注意ちゅうい。

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表あらわし方かた	式しき
媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ	$x = a \cos^{3} t, y = a \sin^{3} t$
直交ちょっこう形式けいしき	$x^{2 / 3} + y^{2 / 3} = a^{2 / 3}$
尖点せんてんの数かず	4 個こ

試験しけんでは アステロイドの囲かこむ面積めんせき（ $\frac{3}{8} π a^{2}$ ）や全長ぜんちょうを媒介ばいかい変数へんすうの積分せきぶんで求もとめる問題もんだいが出でる。尖点せんてんで接線せっせんの向むきが反転はんてんする点てんに注意ちゅうい。

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