媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ・極座標きょくざひょう

この章しょうで学まなぶこと

数学すうがく III の 最終さいしゅう章しょう。 これまでの曲線きょくせんは $y=f\left(x\right)$ や $f(x,y)=0$ で表あらわしてきました。 この章しょうでは 2 つの新あたらしい表現ひょうげん を学まなびます。

• 媒介変数表示ばいかいへんすうひょうじ $\left(x\right(t), y(t\left)\right)$
• **媒ばい介かい変へん数すうの **微び分ぶん・積分せきぶん
• 極座標きょくざひょう $(r,\theta )$ と xy 座ざ標ひょうとの変へん換かん
• 極方程式きょくほうていしき $r=f\left(\theta \right)$
• 典てん型けい曲線きょくせん: サイクロイドさいくろいど・カージオイドかーじおいど・アステロイドあすてろいど・アルキメデスの渦巻線あるきめですのうずまきせん

ポイント: 「位い置ちを 1 つの数かずではなく、 「時じ間かん」 や 「角かく度どと距離きょり」 の組くみで表あらわす」 という 発はっ想そうの転てん換かん。 これで表現ひょうげんできる曲線きょくせんが飛ひ躍やく的に広ひろがります。

1. 媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ

定義ていぎ

曲線きょくせん上じょうの点てんを 第だい 3 の変へん数すう $t$ を使つかって、

$x=x\left(t\right),y=y\left(t\right)$

の形かたちで表あらわすことを 媒介変数表示ばいかいへんすうひょうじ と呼よぶ。 $t$ は 時じ間かん・角度かくど などと物ぶつ理り的てきな意い味みを持もつことが多おおい。

例れい 1 円

$x=r\cos t$、 $y=r\sin t$ は 半はん径けい $r$ の円えん。 $t$ は 原点げんてんからの角かく度ど。

例れい 2 楕円だえん

$x=a\cos t$、 $y=b\sin t$ は 楕円だえん $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。

例れい 3 直線ちょくせん

$x=1+2t$、 $y=3-t$ は 方ほう向こうベクトル $(2,-1)$、 点$(1,3)$ を通とおる直ちょく線せん。

2. 媒介ばいかい変数へんすうの微分びぶん

公式こうしき

$x=x\left(t\right)$、 $y=y\left(t\right)$ がともに微び分ぶん可か能のうで $\frac{dx}{dt}\ne 0$ のとき、

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$

連鎖律れんさりつの応用おうよう (見みかけ上じょう、 $dt$ で約やく分ぶん)。

例れい 4 円えんの接線せっせん

$x=\cos t$、 $y=\sin t$ で $t=\pi /3$ での接せっ線せんの傾かたむき:

$\frac{dy}{dx}=\frac{\cos t}{-\sin t}{\mid }_{t=\pi /3}=\frac{1/2}{-\sqrt{3}/2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

第だい 2 階かい微分びぶん

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{1}{dx/dt}\cdot \frac{d}{dt}\left(\frac{dy/dt}{dx/dt}\right)$

3. サイクロイド

定義ていぎ

半はん径けい $a$ の円えんが直ちょく線せん上じょうを滑すべらずに転ころがるとき、 円上えんじょうの 1 点てんが描えがく曲線きょくせん。

$x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t)$

性質せいしつ

• 1 周期しゅうきで $x$ は $2\pi a$進すすむ
• 最高さいこう点てんで $y=2a$
• 1 周期しゅうきの 弧こ長ちょう $=8a$ (第だい 8 章しょう)
• 1 周期しゅうきの 面積めんせき $=3\pi a^2$ (= 円えんの面積めんせきの 3 倍ばい)

応用おうよう: サイクロイドさいくろいどは 「最速さいそく降下こうか曲きょく線せん」 (重力じゅうりょくだけで 2 点てん間かんを最速さいそくで結むすぶ曲線きょくせん)、 「等時性とうじせい曲きょく線せん」 (出発しゅっぱつ点てんによらず着つく時じ間かんが同おなじ) として物ぶつ理り・数学すうがくの古典こてん的てき名題なだい。

4. 極座標きょくざひょう

定義ていぎ

平へい面めん上じょうの点てんを、 原点げんてんからの距離きょり $r$ と 実軸じつじくからの角かく度ど $\theta$ で表あらわす。

変へん換かん	公こう式しき
極ごく → xy	$x=r\cos \theta$、 $y=r\sin \theta$
xy → 極ごく	$r=\sqrt{x^2+y^2}$、 $\tan \theta =y/x$

例れい 5

xy 座ざ標ひょう $(1,\sqrt{3})$ の極座標きょくざひょう: $r=2$、 $\theta =\pi /3$。

極座標きょくざひょう $(r,\theta )=(2,2\pi /3)$ の xy: $x=2\cos \left(2\pi /3\right)=-1$、 $y=2\sin \left(2\pi /3\right)=\sqrt{3}$。

5. 極ごく方程式ほうていしき

定義ていぎ

曲線きょくせんを $r=f\left(\theta \right)$ の形かたちで表あらわしたものを 極方程式きょくほうていしき。

例れい 6 円

$r=a$ は 原点げんてん中心ちゅうしん・半はん径けい $a$ の円えん。 $r=2a\cos \theta$ は 点$(a,0)$ を中心ちゅうしんとし、 半はん径けい $a$ の円えん ($x^2+y^2=2ax$ と同値どうち)。

例れい 7 直線ちょくせん

$\theta =\pi /4$ は 原点げんてんを通とおる傾きかたむ $1$ の直ちょく線せん。

$r\cos (\theta -\alpha )=d$ は 原点げんてんから距離きょり $d$ の直ちょく線せん。

例れい 8 カージオイド

$r=a(1+\cos \theta )$ は カージオイドかーじおいど ( ハート型がた)。 円えんが同おなじ大おおきさの円えんの外そと側がわを転ころがるとき描えがく曲線きょくせん。

例れい 9 アルキメデスの渦巻うずまき線せん

$r=a\theta$ は アルキメデスの渦巻線あるきめですのうずまきせん。 一いっ定ていの速はやさで動うごきながら一いっ定ていの角速度かくそくどで回転かいてんした軌き跡せき。

6. 極座標きょくざひょうでの面積めんせき

公式こうしき

極方程式きょくほうていしき $r=f\left(\theta \right)$ と 2 本ほんの動どう径$\theta =\alpha$、 $\theta =\beta$ で囲かこまれる部ぶ分ぶんの面積めんせき:

$S=\frac{1}{2}\int \alpha \beta r^2\hspace{0.17em}d\theta =\frac{1}{2}\int \alpha \beta \left\{f\right(\theta ){\}}^2\hspace{0.17em}d\theta$

イメージ: 微小びしょう角かく$d\theta$ における 扇形おうぎがたの面積めんせき は $\frac{1}{2}{r}^{2}d\theta$ (半はん径けい $r$、 中心ちゅうしん角$d\theta$)。 それを足たす。

例れい 10 カージオイドの面積めんせき

$r=a(1+\cos \theta )$ の全体ぜんたいの面積めんせき ($0\le \theta \le 2\pi$):

$S=\frac{1}{2}\int 02\pi a^2(1+\cos \theta {)}^2\hspace{0.17em}d\theta =\frac{a^2}{2}\int 02\pi (1+2\cos \theta +\frac{1+\cos 2\theta }{2})d\theta =\frac{3\pi a^2}{2}$

7. その他たの典型てんけい曲線きょくせん

アステロイド

$x=a{\cos }^{3}t$、 $y=a{\sin }^{3}t$。 「4 つの尖点せんてん をもつ星ほし型がた」。 同値どうちな陰関かん数すう表ひょう現げんは $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$。

量りょう	値あたい
弧こ長ちょう	$6a$
面積めんせき	$\frac{3\pi a^2}{8}$

レムニスケート

$r^2=a^2\cos 2\theta$。 ∞ (横よこ 8 の字じ) の形かたち。

楕円だえん (極ごく方程式ほうていしき版ばん)

太陽たいようを焦しょう点てんとする惑星わくせいの軌き道どうは、

の形かたち。 $e$ は 離心りしん率。 これが ケプラーの法則けぷらーのほうそく の数式すうしき表現ひょうげんです。

8. 数学すうがく III 全体ぜんたいの振ふり返かえり

章しょう	中心ちゅうしんテーマ
1	数列すうれつの極きょく限げん
2	関かん数すうの極きょく限げんと連続れんぞく
3	微び分ぶんの基き本ほん公こう式しき
4	三角さんかく・指し数すう・対たい数すうの微び分ぶん
5	微び分ぶんの応用おうよう (グラフ・最さい大だい最さい小しょう)
6	積分せきぶんの基き本ほん計けい算さん
7	面積めんせき・体たい積せき
8	弧こ長ちょう・物ぶつ理り量りょう
9	複素数ふくそすう平へい面めん
10	媒ばい介かい変へん数すう・極座標きょくざひょう

全体ぜんたいを貫つらぬく思し想そう: 「変化へんか (微分びぶん) と 累るい積せき (積分せきぶん)」、 「極限きょくげんのあつかい」、 「平面へいめんと数かずの統とう一いつ (複素数ふくそすう)」、 「様々さまざまな表ひょう現げん で曲線きょくせんを捉とらえ直なおす」。 この 4 つが 大学だいがく数学すうがく・物理ぶつり・工学こうがくの共きょう通つう言げん語ご です。

次じへ: 大学だいがくへ進すすむ人ひとは 微分方程式びぶんほうていしき、 多変数解析たへんすうかいせき、 ベクトル解析べくとるかいせき、 線形代数せんけいだいすう などへ。 いずれも数学すうがく III が 基き礎そ中の基き礎そ。 ここまで来これたことを自じ信しんに、 次つぎのステージへ。

まとめ — 媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ・極座標きょくざひょうを 3 行くだりで

• 媒介変数表示ばいかいへんすうひょうじ $\left(x\right(t),y(t\left)\right)$ では時間じかんなど第だい 3 の変数へんすうで曲線きょくせんを記述きじゅつし、 サイクロイドさいくろいど・アステロイドあすてろいどなど $y=f\left(x\right)$ で書かけない曲線きょくせんも扱あつかえる
• 極座標きょくざひょう $(r,\theta )$ と直交ちょっこう座標ざひょうは $x=r\cos \theta$、 $y=r\sin \theta$ で変換へんかんされ、 極ごく方程式ほうていしき$r=f\left(\theta \right)$ でカージオイドかーじおいど等の対称的たいしょうてき曲線きょくせんが簡潔かんけつに表あらわせる
• 媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじの微分びぶんは $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$、 積分せきぶんによる面積めんせき・弧こ長ちょうは典型てんけい曲線きょくせんの応用おうよう問題もんだいで頻出ひんしゅつである