この 章 で 学ぶ こと
数学 III の 最終章。 こ れ ま で の 曲線 は y=f(x) や f(x,y)=0 で 表 し て き ま し た。 こ の 章 で は 2 つ の 新 し い 表現 を 学 び ま す。
- 媒介変数表示 (x(t), y(t))
- **媒介変数 の **微分・積分
- 極座標 (r,θ) と xy 座標 と の 変換
- 極方程式 r=f(θ)
- 典型曲線: サイクロイド・カージオイド・アステロイド・アルキメデスの渦巻線
ポイント: 「位置 を 1 つ の 数 で は な く、 「時間」 や 「角度 と 距離」 の 組 で 表 す」 と い う 発想 の 転換。 こ れ で 表現 で き る 曲線 が 飛躍的 に 広 が り ま す。
1. 媒介変数表示
定義
曲線上 の 点 を 第 3 の 変数t を 使 っ て、
x=x(t),y=y(t)
の 形 で 表 す こ と を 媒介変数表示 と 呼 ぶ。 t は 時間・角度 な ど と 物理的 な 意味 を 持 つ こ と が 多 い。
例 1 円
x=rcost、 y=rsint は 半径r の 円。 t は 原点 か ら の 角度。
例 2 楕円
x=acost、 y=bsint は 楕円 a2x2+b2y2=1。
例 3 直線
x=1+2t、 y=3−t は 方向 ベ ク ト ル (2,−1)、 点(1,3) を 通 る 直線。
2. 媒介変数 の 微分
公式
x=x(t)、 y=y(t) が とも に 微分可能 で dtdx=0 の とき、
dxdy=dx/dtdy/dt
連鎖律 の 応用 (見 か け 上、 dt で 約分)。
例 4 円 の 接線
x=cost、 y=sint で t=π/3 で の 接線 の 傾き:
dxdy=−sintcostt=π/3=−3/21/2=−31
第 2 階微分
dx2d2y=dxd(dxdy)=dx/dt1⋅dtd(dx/dtdy/dt)
3. サイクロイド
定義
半径a の 円 が 直線上 を 滑 ら ず に 転 が る と き、 円上 の 1 点 が 描 く 曲線。
x=a(t−sint),y=a(1−cost)
性質
- 1 周期 で x は 2πa進 む
- 最高点 で y=2a
- 1 周期 の 弧長 =8a (第 8 章)
- 1 周期 の 面積 =3πa2 (= 円 の 面積 の 3 倍)
応用: サイクロイド は 「最速降下曲線」 (重力 だ け で 2 点間 を 最速 で 結 ぶ 曲線)、 「等時性曲線」 (出発点 に よ ら ず 着 く 時間 が 同 じ) と し て 物理・数学 の 古典的名題。
4. 極座標
定義
平面上 の 点 を、 原点 か ら の 距離r と 実軸 か ら の 角度θ で 表 す。
| 変換 | 公式 |
|---|
| 極 → xy | x=rcosθ、 y=rsinθ |
| xy → 極 | r=x2+y2、 tanθ=y/x |
例 5
xy 座標(1,3) の 極座標: r=2、 θ=π/3。
極座標(r,θ)=(2,2π/3) の xy: x=2cos(2π/3)=−1、 y=2sin(2π/3)=3。
5. 極方程式
定義
曲線 を r=f(θ) の 形 で 表 し た もの を 極方程式。
例 6 円
r=a は 原点中心・半径a の 円。 r=2acosθ は 点(a,0) を 中心 と し、 半径a の 円 (x2+y2=2ax と 同値)。
例 7 直線
θ=π/4 は 原点 を 通 る 傾き1 の 直線。
rcos(θ−α)=d は 原点 か ら 距離d の 直線。
例 8 カージオイド
r=a(1+cosθ) は カージオイド ( ハート 型)。 円 が 同 じ 大 き さ の 円 の 外側 を 転 が る と き 描 く 曲線。
例 9 アルキメデス の 渦巻線
r=aθ は アルキメデスの渦巻線。 一定 の 速 さ で 動 き な が ら 一定 の 角速度 で 回転 し た 軌跡。
6. 極座標 で の 面積
公式
極方程式r=f(θ) と 2 本 の 動径θ=α、 θ=β で 囲 ま れ る 部分 の 面積:
S=21∫αβr2dθ=21∫αβ{f(θ)}2dθ
イメージ: 微小角dθ に お け る 扇形 の 面積 は 21r2dθ (半径r、 中心角dθ)。 そ れ を 足 す。
例 10 カージオイド の 面積
r=a(1+cosθ) の 全体 の 面積 (0≤θ≤2π):
S=21∫02πa2(1+cosθ)2dθ=2a2∫02π(1+2cosθ+21+cos2θ)dθ=23πa2
7. その 他 の 典型曲線
アステロイド
x=acos3t、 y=asin3t。 「4 つ の 尖点 を も つ 星型」。 同値 な 陰関数表現 は x2/3+y2/3=a2/3。
| 量 | 値 |
|---|
| 弧長 | 6a |
| 面積 | 83πa2 |
レム ニス ケート
r2=a2cos2θ。 ∞ (横 8 の 字) の 形。
楕円 (極方程式版)
太陽 を 焦点 と す る 惑星 の 軌道 は、
r=1+ecosθℓ(0≤e<1)
の 形。 e は 離心率。 こ れ が ケプラーの法則 の 数式表現 で す。
8. 数学 III 全体 の 振り返り
| 章 | 中心 テーマ |
|---|---|
| 1 | 数列 の 極限 |
| 2 | 関数 の 極限 と 連続 |
| 3 | 微分 の 基本公式 |
| 4 | 三角・指数・対数 の 微分 |
| 5 | 微分 の 応用 (グラフ・最大最小) |
| 6 | 積分 の 基本計算 |
| 7 | 面積・体積 |
| 8 | 弧長・物理量 |
| 9 | 複素数平面 |
| 10 | 媒介変数・極座標 |
全体 を 貫 く 思想: 「変化 (微分) と 累積 (積分)」、 「極限 の あ つ か い」、 「平面 と 数 の 統一 (複素数)」、 「様々 な 表現 で 曲線 を 捉 え 直 す」。 こ の 4 つ が 大学数学・物理・工学 の 共通言語 で す。
次 へ: 大学 へ 進 む 人 は 微分方程式、 多変数解析、 ベクトル解析、 線形代数 な ど へ。 い ず れ も 数学 III が 基礎中 の 基礎。 こ こ ま で 来 れ た こ と を 自信 に、 次 の ス テ ー ジ へ。
まとめ — 媒介変数表示・極座標 を 3 行で
- 媒介変数表示(x(t),y(t)) では時間など第 3 の変数で曲線を記述し、 サイクロイド・アステロイド など y=f(x) で書けない曲線も扱える
- 極座標(r,θ) と直交座標は x=rcosθ、 y=rsinθ で変換され、 極方程式r=f(θ) で カージオイド等の対称的曲線が簡潔に表せる
- 媒介変数表示の微分は dxdy=dx/dtdy/dt、 積分 による面積・弧長は典型曲線の応用問題で頻出である