媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ・極座標きょくざひょう

この 章しょう で 学まなぶ こと

数学すうがく III の 最終さいしゅう章しょう。 こ れ ま で の 曲線きょくせん は $y=f\left(x\right)$ や $f(x,y)=0$ で 表ひょう し て き ま し た。 こ の 章しょう で は 2 つ の 新しん し い 表現ひょうげん を 学がく び ま す。

• 媒介変数ばいかいへんすう表ひょう示じ $\left(x\right(t), y(t\left)\right)$
• **媒ばい介かい変へん数すう の **微び分ぶん・積分せきぶん
• 極座標きょくざひょう $(r,\theta )$ と xy 座ざ標ひょう と の 変へん換かん
• 極方程式きょくほうていしき $r=f\left(\theta \right)$
• 典てん型けい曲線きょくせん: サイクロイド・カージオイド・アステロイド・アルキメデスの渦巻線あるきめですのうずまきせん

ポイント: 「位い置ち を 1 つ の 数かず で は な く、 「時じ間かん」 や 「角かく度ど と 距離きょり」 の 組くみ で 表ひょう す」 と い う 発はっ想そう の 転てん換かん。 こ れ で 表現ひょうげん で き る 曲線きょくせん が 飛ひ躍やく的 に 広ひろ が り ま す。

1. 媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ

定義ていぎ

曲線きょくせん上じょう の 点てん を 第だい 3 の 変へん数すう$t$ を 使し っ て、

$x=x\left(t\right),y=y\left(t\right)$

の 形かたち で 表ひょう す こ と を 媒介変数ばいかいへんすう表ひょう示じ と 呼こ ぶ。 $t$ は 時じ間かん・角度かくど な ど と 物ぶつ理り的てき な 意い味み を 持じ つ こ と が 多おお い。

例れい 1 円

$x=r\cos t$、 $y=r\sin t$ は 半はん径けい$r$ の 円えん。 $t$ は 原点げんてん か ら の 角かく度ど。

例れい 2 楕円だえん

$x=a\cos t$、 $y=b\sin t$ は 楕円だえん $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。

例れい 3 直線ちょくせん

$x=1+2t$、 $y=3-t$ は 方ほう向こう ベ ク ト ル $(2,-1)$、 点$(1,3)$ を 通つう る 直ちょく線せん。

2. 媒介ばいかい変数へんすう の 微分びぶん

公式こうしき

$x=x\left(t\right)$、 $y=y\left(t\right)$ が とも に 微び分ぶん可か能のう で $\frac{dx}{dt}\ne 0$ の とき、

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$

連鎖律れんさりつ の 応用おうよう (見み か け 上うえ、 $dt$ で 約やく分ぶん)。

例れい 4 円えん の 接線せっせん

$x=\cos t$、 $y=\sin t$ で $t=\pi /3$ で の 接せっ線せん の 傾かたむき:

$\frac{dy}{dx}=\frac{\cos t}{-\sin t}{\mid }_{t=\pi /3}=\frac{1/2}{-\sqrt{3}/2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

第だい 2 階かい微分びぶん

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{1}{dx/dt}\cdot \frac{d}{dt}\left(\frac{dy/dt}{dx/dt}\right)$

3. サイクロイド

定義ていぎ

半はん径けい$a$ の 円えん が 直ちょく線せん上じょう を 滑なめら ら ず に 転てん が る と き、 円上えんじょう の 1 点てん が 描 く 曲線きょくせん。

$x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t)$

性質せいしつ

• 1 周期しゅうき で $x$ は $2\pi a$進 む
• 最高さいこう点てん で $y=2a$
• 1 周期しゅうき の 弧こ長ちょう $=8a$ (第だい 8 章しょう)
• 1 周期しゅうき の 面めん積せき $=3\pi a^2$ (= 円えん の 面めん積せき の 3 倍ばい)

応用おうよう: サイクロイド は 「最速さいそく降下こうか曲きょく線せん」 (重力じゅうりょく だ け で 2 点てん間かん を 最速さいそく で 結むすぶ ぶ 曲線きょくせん)、 「等とう時じ性せい曲きょく線せん」 (出発しゅっぱつ点てん に よ ら ず 着き く 時じ間かん が 同どう じ) と し て 物ぶつ理り・数学すうがく の 古典こてん的てき名題なだい。

4. 極座標きょくざひょう

定義ていぎ

平へい面めん上じょう の 点てん を、 原点げんてん か ら の 距離きょり$r$ と 実じつ軸じく か ら の 角かく度ど$\theta$ で 表ひょう す。

変へん換かん	公こう式しき
極ごく → xy	$x=r\cos \theta$、 $y=r\sin \theta$
xy → 極ごく	$r=\sqrt{x^2+y^2}$、 $\tan \theta =y/x$

例れい 5

xy 座ざ標ひょう$(1,\sqrt{3})$ の 極座標きょくざひょう: $r=2$、 $\theta =\pi /3$。

極座標きょくざひょう$(r,\theta )=(2,2\pi /3)$ の xy: $x=2\cos \left(2\pi /3\right)=-1$、 $y=2\sin \left(2\pi /3\right)=\sqrt{3}$。

5. 極ごく方程式ほうていしき

定義ていぎ

曲線きょくせん を $r=f\left(\theta \right)$ の 形かたち で 表ひょう し た もの を 極方程式きょくほうていしき。

例れい 6 円

$r=a$ は 原点げんてん中ちゅう心しん・半はん径けい$a$ の 円えん。 $r=2a\cos \theta$ は 点$(a,0)$ を 中ちゅう心しん と し、 半はん径けい$a$ の 円えん ($x^2+y^2=2ax$ と 同値どうち)。

例れい 7 直線ちょくせん

$\theta =\pi /4$ は 原点げんてん を 通つう る 傾きかたむ$1$ の 直ちょく線せん。

$r\cos (\theta -\alpha )=d$ は 原点げんてん か ら 距離きょり$d$ の 直ちょく線せん。

例れい 8 カージオイド

$r=a(1+\cos \theta )$ は カージオイド ( ハート 型かた)。 円えん が 同どう じ 大だい き さ の 円えん の 外そと側がわ を 転てん が る と き 描 く 曲線きょくせん。

例れい 9 アルキメデス の 渦巻うずまき線せん

$r=a\theta$ は アルキメデスの渦巻線あるきめですのうずまきせん。 一いっ定てい の 速はや さ で 動どう き な が ら 一いっ定てい の 角速度かくそくど で 回転かいてん し た 軌き跡せき。

6. 極座標きょくざひょう で の 面積めんせき

公式こうしき

極方程式きょくほうていしき$r=f\left(\theta \right)$ と 2 本ほん の 動どう径$\theta =\alpha$、 $\theta =\beta$ で 囲 ま れ る 部ぶ分ぶん の 面めん積せき:

$S=\frac{1}{2}\int \alpha \beta r^2\hspace{0.17em}d\theta =\frac{1}{2}\int \alpha \beta \left\{f\right(\theta ){\}}^2\hspace{0.17em}d\theta$

イメージ: 微小びしょう角かく$d\theta$ に お け る 扇形せんけい の 面めん積せき は $\frac{1}{2}{r}^{2}d\theta$ (半はん径けい$r$、 中ちゅう心しん角$d\theta$)。 そ れ を 足あし す。

例れい 10 カージオイド の 面積めんせき

$r=a(1+\cos \theta )$ の 全体ぜんたい の 面めん積せき ($0\le \theta \le 2\pi$):

$S=\frac{1}{2}\int 02\pi a^2(1+\cos \theta {)}^2\hspace{0.17em}d\theta =\frac{a^2}{2}\int 02\pi (1+2\cos \theta +\frac{1+\cos 2\theta }{2})d\theta =\frac{3\pi a^2}{2}$

7. その 他た の 典型てんけい曲線きょくせん

アステロイド

$x=a{\cos }^{3}t$、 $y=a{\sin }^{3}t$。 「4 つ の 尖点せんてん を も つ 星ほし型がた」。 同値どうち な 陰関かん数すう表ひょう現げん は $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$。

量りょう	値ね
弧こ長ちょう	$6a$
面めん積せき	$\frac{3\pi a^2}{8}$

レム ニス ケート

$r^2=a^2\cos 2\theta$。 ∞ (横よこ 8 の 字じ) の 形かたち。

楕円だえん (極ごく方程式ほうていしき版ばん)

太陽たいよう を 焦しょう点てん と す る 惑星わくせい の 軌き道どう は、

の 形かたち。 $e$ は 離心り率。 こ れ が ケプラーの法則けぷらーのほうそく の 数式すうしき表現ひょうげん で す。

8. 数学すうがく III 全体ぜんたい の 振ふり返かえり

| 章しょう | 中ちゅう心しん テーマ | |---|---| | 1 | 数列すうれつ の 極きょく限げん | | 2 | 関かん数すう の 極きょく限げん と 連続れんぞく | | 3 | 微び分ぶん の 基き本ほん公こう式しき | | 4 | 三角さんかく・指し数すう・対たい数すう の 微び分ぶん | | 5 | 微び分ぶん の 応用おうよう (グラフ・最さい大だい最さい小しょう) | | 6 | 積分せきぶん の 基き本ほん計けい算さん | | 7 | 面積めんせき・体たい積せき | | 8 | 弧こ長ちょう・物ぶつ理り量りょう | | 9 | 複素数ふくそすう平へい面めん | | 10 | 媒ばい介かい変へん数すう・極座標きょくざひょう |

全体ぜんたい を 貫ぬき く 思し想そう: 「変化へんか (微分びぶん) と 累るい積せき (積分せきぶん)」、 「極限きょくげん の あ つ か い」、 「平面へいめん と 数かず の 統とう一いつ (複素数ふくそすう)」、 「様々さまざま な 表ひょう現げん で 曲線きょくせん を 捉 え 直ただし す」。 こ の 4 つ が 大学だいがく数学すうがく・物理ぶつり・工学こうがく の 共きょう通つう言げん語ご で す。

次じ へ: 大学だいがく へ 進すすむ む 人ひと は 微分方程式びぶんほうていしき、 多変数解析たへんすうかいせき、 ベクトル解析べくとるかいせき、 線形代数せんけいだいすう な ど へ。 い ず れ も 数学すうがく III が 基き礎そ中 の 基き礎そ。 こ こ ま で 来き れ た こ と を 自じ信しん に、 次つぎ の ス テ ー ジ へ。

まとめ — 媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ・極座標きょくざひょう を 3 行くだりで

• 媒介変数ばいかいへんすう表示ひょうじ$\left(x\right(t),y(t\left)\right)$ では時間じかんなど第だい 3 の変数へんすうで曲線きょくせんを記述きじゅつし、 サイクロイド・アステロイド など $y=f\left(x\right)$ で書かけない曲線きょくせんも扱あつかえる
• 極座標きょくざひょう$(r,\theta )$ と直交ちょっこう座標ざひょうは $x=r\cos \theta$、 $y=r\sin \theta$ で変換へんかんされ、 極ごく方程式ほうていしき$r=f\left(\theta \right)$ で カージオイド等の対称的たいしょうてき曲線きょくせんが簡潔かんけつに表あらわせる
• 媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじの微分びぶんは $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$、 積分せきぶん による面積めんせき・弧こ長ちょうは典型てんけい曲線きょくせんの応用おうよう問題もんだいで頻出ひんしゅつである