媒介ばいかい変数へんすう表示ひょうじ・極座標きょくざひょう一いち問もん一いち答とう

この一問一答で出る問題

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1. 曲線きょくせん を $x = x(t)$、 $y = y(t)$ の形かたちで表あらわすことを何なんと呼よびますか？
   • ・陽関数ようかんすう 表示
   • ・陰関数いんかんすう 表示
   • ・媒介変数ばいかいへんすう 表示
   • ・極座標きょくざひょう 表示
2. $x = r\cos t$、 $y = r\sin t$ ($0 \le t \le 2\pi$) が 表あらわす 図形ずけい は どれ ですか？
   • ・半径 $r$ の 円
   • ・直線ちょくせん $y = x$
   • ・放物線ほうぶつせん
   • ・双曲線そうきょくせん
3. $x = a\cos t$、 $y = b\sin t$ ($a \neq b$、 $0 \le t \le 2\pi$) は何なにを表あらわし ます か？
   • ・円
   • ・放物線
   • ・楕円だえん $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
   • ・サイクロイドさいくろいど
4. 媒介変数表示ばいかいへんすうひょうじ $x = x(t)$、 $y = y(t)$ で の $\dfrac{dy}{dx}$ は どれ ですか？ ($dx/dt \neq 0$)
   • ・$\dfrac{dy}{dt} - \dfrac{dx}{dt}$
   • ・$\dfrac{dx/dt}{dy/dt}$
   • ・$\dfrac{dy}{dt} \cdot \dfrac{dx}{dt}$
   • ・$\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$
5. $x = \cos t$、 $y = \sin t$ で $t = \pi/3$ で の 接せっ線せん の 傾かたむき $dy/dx$ は いくら ですか？
   • ・$\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
   • ・$\sqrt{3}$
   • ・$-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
   • ・$-\sqrt{3}$
6. サイクロイドさいくろいど の 媒介変数表示ばいかいへんすうひょうじ は どれ ですか？
   • ・$x = a \cos^3 t$、 $y = a \sin^3 t$
   • ・$x = a \cos t$、 $y = a \sin t$
   • ・$x = a t$、 $y = a t^2$
   • ・$x = a(t - \sin t)$、 $y = a(1 - \cos t)$
7. サイクロイドさいくろいど 1 周期しゅうき の $x$方ほう向こう の 進行しんこう距離きょり は いくら ですか？
   • ・$\pi a$
   • ・$4\pi a$
   • ・$2\pi a$
   • ・$8 a$
8. サイクロイドさいくろいど の 最高さいこう点てん で の $y$座標ざひょう は いくら ですか？
   • ・$a$
   • ・$\pi a$
   • ・$2a$
   • ・$4a$
9. 極座標きょくざひょう $(r, \theta)$ と xy 座ざ標ひょう の 変へん換かん (極きょく → xy) は どれ ですか？
   • ・$x = r\sin\theta$、 $y = r\cos\theta$
   • ・$x = r\cos\theta$、 $y = r\sin\theta$
   • ・$x = r + \theta$、 $y = r - \theta$
   • ・$x = r\tan\theta$、 $y = r$
10. xy 座ざ標ひょう $(1, \sqrt{3})$ を 極座標きょくざひょう $(r, \theta)$ で 表あらわす と どれ ですか？ ($r > 0$、 $0 \le \theta < 2\pi$)
    • ・$(2, \pi/6)$
    • ・$(4, \pi/3)$
    • ・$(\sqrt{2}, \pi/4)$
    • ・$(2, \pi/3)$
11. 極方程式きょくほうていしき $r = a$ ($a > 0$) は何なにを表あらわし ます か？
    • ・原点てん 中心しん・半径 $a$ の 円
    • ・原点てん を 通 る 直線せん
    • ・放物線ほうぶつせん
    • ・サイクロイドさいくろいど
12. 極方程式きょくほうていしき $r = 2a\cos\theta$ は何なにを表あらわし ます か？
    • ・原点てん 中心しん・半径 $a$ の 円
    • ・直線ちょくせん
    • ・点 $(a, 0)$ 中心しん・半径 $a$ の 円
    • ・カージオイドかーじおいど
13. カージオイドかーじおいど (ハートはーと型) の 極方程式きょくほうていしき は どれ ですか？
    • ・$r = a$
    • ・$r = a\cos\theta$
    • ・$r = a(1 + \cos\theta)$
    • ・$r = a\theta$
14. 極方程式きょくほうていしき $r = a\theta$ ($a > 0$) は何なにと呼よばれ ます か？
    • ・カージオイド
    • ・アステロイド
    • ・サイクロイド
    • ・アルキメデスの渦巻線あるきめですのうずまきせん
15. 極座標きょくざひょう で表あらわされた 曲線きょくせん $r = f(\theta)$ と動どう径$\theta = \alpha$、 $\theta = \beta$ で囲かこまれる面積めんせき $S$ はどれですか？
    • ・$S = \dfrac{1}{2} \int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$
    • ・$S = \int_\alpha^\beta r\,d\theta$
    • ・$S = \int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$
    • ・$S = \pi \int_\alpha^\beta r\,d\theta$
16. カージオイドかーじおいど $r = a(1 + \cos\theta)$ の全体ぜんたいの面積めんせき ($0 \le \theta \le 2\pi$) は いくら ですか？
    • ・$\pi a^2$
    • ・$2\pi a^2$
    • ・$3\pi a^2$
    • ・$\dfrac{3\pi a^2}{2}$
17. アステロイドあすてろいど (4よん つ の 尖点せんてん をもつ星ほし型がた) の 媒介変数表示ばいかいへんすうひょうじ は どれ ですか？
    • ・$x = a\cos t$、 $y = a\sin t$
    • ・$x = a(t - \sin t)$、 $y = a(1 - \cos t)$
    • ・$x = a\cos^3 t$、 $y = a\sin^3 t$
    • ・$x = a\sec t$、 $y = a\tan t$
18. 極方程式きょくほうていしき $\theta = \pi/4$ ($r$ は 任意にんい) は何なにを表あらわし ます か？
    • ・半 径 $\pi/4$ の 円
    • ・点 $(\pi/4, 0)$
    • ・原点てん を 通 り 傾かたむき $1$ の 直線せん ($y = x$)
    • ・放物線ほうぶつせん
19. 極座標きょくざひょう $(r, \theta) = (2, 2\pi/3)$ を xy 座ざ標ひょう に 変へん換かん する と どれ ですか？
    • ・$(\sqrt{3}, -1)$
    • ・$(1, \sqrt{3})$
    • ・$(-1, \sqrt{3})$
    • ・$(-\sqrt{3}, 1)$
20. サイクロイドさいくろいど が 「最速さいそく降下こうか曲線きょくせん」 と呼よばれるのはどんな性質せいしつからですか？
    • ・重力じゅうりょく だ け で 2 点 間 を 最 速 で 結 ぶ 曲線きょくせん だ か ら
    • ・周 長 が 直径けい の 8 倍 で あ る か ら
    • ・面積せき が 円 の 3 倍 で あ る か ら
    • ・媒介変数ばいかいへんすう で 表 せ る 唯一いつ の 曲線きょくせん だ か ら