部分分数分解（ぶぶんぶんすうぶんかい）とは｜意味・使い方・読み方解説

高校こうこう数学すうがく

部分ぶぶん分数ぶんすう分解ぶんかいとは、1 つの分数ぶんすうを 2 つ以上いじょうの分数ぶんすうの和わ・差さに分わける操作そうさです。和わの計算けいさんでは分母ぶんぼが積せきになった分数ぶんすうを差さの形かたちに直なおすために使つかいます。

元もとの分数ぶんすう	分解ぶんかい後ご
$\frac{1}{k (k + 1)}$	$\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$
$\frac{1}{k (k + 2)}$	$\frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})$

これをシグマの中なかで用もちいると、隣接りんせつ項こうが次々つぎつぎに打うち消けし合あう望遠鏡和ぼうえんきょうわになります。たとえば $\sum k = 1 n \frac{1}{k (k + 1)} = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$ と簡潔かんけつに求もとまります。

試験しけんでは 分母ぶんぼが「連続れんぞくする整数せいすうの積せき」の形かたちの和わは、まず部分ぶぶん分数ぶんすう分解ぶんかいを疑うたがう。分解ぶんかいの係数けいすうは、両辺りょうへんに分母ぶんぼをかけて係数けいすう比較ひかくするか、数値すうちを代入だいにゅうして確たしかめる。

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元もとの分数ぶんすう	分解ぶんかい後ご
$\frac{1}{k (k + 1)}$	$\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$
$\frac{1}{k (k + 2)}$	$\frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2})$

試験しけんでは 分母ぶんぼが「連続れんぞくする整数せいすうの積せき」の形かたちの和わは、まず部分ぶぶん分数ぶんすう分解ぶんかいを疑うたがう。分解ぶんかいの係数けいすうは、両辺りょうへんに分母ぶんぼをかけて係数けいすう比較ひかくするか、数値すうちを代入だいにゅうして確たしかめる。

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