数列すうれつの和わ (Σ計算けいさん)

この章しょうで学まなぶこと

第だい 1 章しょうで等差とうさ・等比とうひの和わを学まなびました。 この章しょうでは シグマ記号きごう$\sum$ を使つかって、 もっと一般いっぱん的てきな和わを計けい算さん できるようになります。

• シグマ記号しぐまきごう $\sum$ の意味いみと性せい質しつ を知しる
• 基本きほんの和わ公式こうしき ($\sum k$, $\sum k^2$, $\sum k^3$) を使つかいこなす
• 階差数列かいさすうれつ で 一般項いっぱんこう を復ふく元げん する
• 部分分数分解ぶぶんぶんすうぶんかい を使つかって和わを求もとめる
• 群ぐん数列すうれつ など応おう用よう問題もんだいに慣なれる

ポイント: $\sum$ は 「足たし算ざん の略りゃっ記き法ほう」 にすぎません。 怖こわがらず、 何なにをどこからどこまで足たすかを落おち着ついて見みましょう。

1. シグマ記号きごう$\sum$

定義ていぎ

$\sum k=1n{a}_k=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$

• $k$ は 添そえ字じ。 1 から $n$ まで 1 ずつ動うごかします。
• $a_k$ は $k$ の式しき。
• $\sum$ の下したが 初項しょこう の添そえ字じ、 上うえが 末項まっこう の添そえ字じ。

例れい

$\sum$ の式しき	展てん開かい	値ね
$\sum k=14k$	$1+2+3+4$	$10$
$\sum k=13k^2$	$1+4+9$	$14$
$\sum k=152$	$2+2+2+2+2$	$10$

シグマの性質せいしつ (線型せんけい性せい)

$\sum$ は 「足たし算ざん の並ならび」 なので、 次つぎの性せい質しつ が成なり立たちます。

$\sum k=1n(a_k+b_k)=\sum k=1n{a}_k+\sum k=1n{b}_k$ $\sum k=1nc\cdot a_k=c\sum k=1n{a}_k\left(c は k に無関係な定数\right)$

大事だいじ: 「定てい数すう は $\sum$ の外そとに出だせる」 が一番いちばんよく使つかうテクニック。

2. 基本きほんの和わ公式こうしき

どんな 数列すうれつ の和わも、 結局けっきょくはこの 4 つの公式こうしきに帰き着ちゃく させて計けい算さん します。

公式こうしき	値ね
$\sum k=1nc$ ($c$ は定てい数すう)	$cn$
$\sum k=1nk$	$\frac{n(n+1)}{2}$
$\sum k=1n{k}^2$	$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\sum k=1n{k}^3$	${\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}^2$

覚おぼえ方かたのコツ

• $\sum k=\frac{n(n+1)}{2}$ → 1 から $n$ までの 等差数列の和とうさすうれつのわ (公差こうさ 1)
• $\sum k^2$ → 分母ぶんぼ 6、 (n)(n+1)(2n+1) の並ならびを暗あん記き
• $\sum k^3=(\sum k{)}^2$ という美うつくしい関かん係けい (これはぜひ覚おぼえる)

例題れいだい 1

$\sum k=1n(3k^2-2k+5)$ を計けい算さん せよ。

解かい: 線型せんけい性せいを使つかって分ぶん解かい。

$\sum k=1n(3k^2-2k+5)=3\sum k=1n{k}^2-2\sum k=1nk+\sum k=1n5$ $=3\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-2\cdot \frac{n(n+1)}{2}+5n$ $=\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}-n(n+1)+5n$

最後さいごに $n$ でくくれば整せい理り完了かんりょうです。

3. 添字そえじがずれた $\sum$

$\sum k=2n$ のように 1 から始はじまらない場ば合あい、 「1 から始はじめて、 余よ計けい な部ぶ分ぶん を引ひく」 のが基本きほん。

$\sum k=2n{a}_k=\sum k=1n{a}_k-a_1$

例題れいだい 2

$\sum k=310k^2$ を求もとめよ。

解かい:

$\sum k=310k^2=\sum k=110k^2-1^2-2^2=\frac{10\cdot 11\cdot 21}{6}-5=385-5=380$

4. 階かい差さ数列すうれつ

階かい差さとは

数列すうれつ$\left\{a_n\right\}$ の 階差数列かいさすうれつ $\left\{b_n\right\}$ とは、 となり合あう 項こう の差さを並ならべたもの。

$b_n=a_{n+1}-a_n$

例: $\left\{a_n\right\}=1,3,7,13,21,\dots$ の階かい差さは $\left\{b_n\right\}=2,4,6,8,\dots$ ($b_n=2n$)。

階かい差さから一般いっぱん項こうを復元ふくげん

$n\ge 2$ のとき

$a_n=a_1+\sum k=1n-1b_k$

考え方かんがえかた: $a_2=a_1+b_1$、 $a_3=a_2+b_2=a_1+b_1+b_2$、 … と階かい差さを順じゅんに足たし上あげる。

例題れいだい 3

数列すうれつ 1, 3, 7, 13, 21, … の一般いっぱん項こうを求もとめよ。

解かい: 階かい差さ$b_n=2n$。 $n\ge 2$ で

$a_n=1+\sum k=1n-12k=1+2\cdot \frac{(n-1)n}{2}=1+n(n-1)=n^2-n+1$

$n=1$ でも $1^2-1+1=1$ で OK。 → $a_n=n^2-n+1$

大事だいじ: 階かい差さを求もとめて階かい差さが簡単かんたんになったら勝かち。 規き則そく が見みえない数列すうれつの一般いっぱん項こうを求もとめる標ひょう準じゅん戦せん略りゃく。

5. 部分ぶぶん分数ぶんすう分解ぶんかい

公式こうしき

$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$

例題れいだい 4

$\sum k=1n\frac{1}{k(k+1)}$ を求もとめよ。

解かい:

$\sum k=1n\frac{1}{k(k+1)}=\sum k=1n(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$ $=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots +(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$

中ちゅう間かん が 望遠鏡和ぼうえんきょうわ (telescoping) で消きえて、

$=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$

大事だいじ: 分数ぶんすうの数列すうれつで 「$\frac{1}{k(k+1)}$」 や 「$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$」 など、 積せきの形かたちが出でてきたら部分ぶぶん分数ぶんすうを疑うたがう。

6. (発展はってん) (等差とうさ) × (等比とうひ) 型かた

例れい: $\sum k=1nk\cdot 2^k$ のような和わは、 $S-rS$ を計けい算さん する (等比数列の和とうひすうれつのわと同おなじ発はっ想そう)。

$S=1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots +n\cdot 2^n$ $2S=1\cdot 2^2+2\cdot 2^3+\cdots +(n-1)\cdot 2^n+n\cdot 2^{n+1}$

引ひけば $S-2S=(2+2^2+\cdots +2^n)-n\cdot 2^{n+1}$ となり、 等比とうひの和わ + α で計けい算さん完了かんりょう。

7. 例題れいだい (応用おうよう)

例題れいだい 5: $\sum$ の公式こうしきを組くみ合あわせる

$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +n(n+1)$ を求もとめよ。

解かい: 一般いっぱん項こうは $k(k+1)=k^2+k$ なので

$\sum k=1nk(k+1)=\sum k=1n{k}^2+\sum k=1nk$ $=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{6}\left\{\right(2n+1)+3\}$ $=\frac{n(n+1)(2n+4)}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

例題れいだい 6: 部分ぶぶん分数ぶんすう (もうひとつ)

$\sum k=1n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ を求もとめよ。

解かい: $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})$ を使つかう。

$\sum k=1n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\{(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\cdots +(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})\}$ $=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})=\frac{n}{2n+1}$

例題れいだい 7: 階かい差さで一般いっぱん項こう

数列すうれつ 2, 5, 10, 17, 26, … の一般いっぱん項こうを求もとめよ。

解かい: 階かい差さ$\left\{b_n\right\}=3,5,7,9,\dots$ → $b_n=2n+1$。 $n\ge 2$ で

$a_n=2+\sum k=1n-1(2k+1)=2+2\cdot \frac{(n-1)n}{2}+(n-1)=2+n^2-n+n-1=n^2+1$

$n=1$ でも $1+1=2$ ✓。 → $a_n=n^2+1$

次じの章しょう: 第だい 3 章しょうでは 漸化式ぜんかしき を学まなび、 「となりの項こうとの関かん係けい」 から一般いっぱん項こうを求もとめる力ちからを身みにつけます。

まとめ — 数列すうれつの和わ ($\sum$計算けいさん) を 3 行くだりで

• $\sum k=1nk=\frac{n(n+1)}{2}$、 $\sum k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$、 $\sum k^3={\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}^2$ の 3 公式こうしきが基本きほんである
• 階かい差さ数列すうれつ$b_n=a_{n+1}-a_n$ から一般いっぱん項こうを $a_n=a_1+\sum k=1n-1b_k$ ($n\ge 2$) で復元ふくげんできる
• 部分ぶぶん分数ぶんすう分解ぶんかい$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ で相殺そうさいさせると、 一見いっけん複雑ふくざつな和わも簡潔かんけつに求もとまる