数列すうれつの和わ (Σ計算けいさん)

この 章しょう で 学まなぶ こと

第だい 1 章しょう で 等差とうさ・等比とうひ の 和わ を 学がく び ま し た。 こ の 章しょう で は シグマ 記号きごう$\sum$ を 使し っ て、 もっと 一般いっぱん的てき な 和わ を 計けい算さん で きる よ う に な り ま す。

• シグマ記号シグマきごう$\sum$ の 意味いみ と 性せい質しつ を 知ち る
• 基本きほん の 和わ公式こうしき ($\sum k$, $\sum k^2$, $\sum k^3$) を 使し い こ な す
• 階差数列かいさすうれつ で 一般いっぱん項こう を 復ふく元げん す る
• 部分分数分解ぶぶんぶんすうぶんかい を 使し っ て 和わ を 求もとめ め る
• 群ぐん数列すうれつ な ど 応おう用よう問題もんだい に 慣 れ る

ポイント: $\sum$ は 「足あし し算ざん の 略りゃっ記き法ほう」 に す ぎ ま せ ん。 怖こわ が ら ず、 何なに を ど こ か ら ど こ ま で 足あし す か を 落 ち 着き い て 見み ま し ょ う。

1. シグマ 記号きごう$\sum$

定義ていぎ

$\sum k=1n{a}_k=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$

• $k$ は 添そえ字じ。 1 から $n$ ま で 1 ず つ 動どう か し ま す。
• $a_k$ は $k$ の 式しき。
• $\sum$ の 下した が 初項しょこう の 添そえ字じ、 上うえ が 末項すえこう の 添そえ字じ。

例れい

$\sum$ の 式しき	展てん開かい	値ね
$\sum k=14k$	$1+2+3+4$	$10$
$\sum k=13k^2$	$1+4+9$	$14$
$\sum k=152$	$2+2+2+2+2$	$10$

シグマ の 性質せいしつ (線型せんけい性せい)

$\sum$ は 「足あし し算ざん の 並なみ び」 な の で、 次つぎ の 性せい質しつ が 成なる り 立たつ ち ま す。

$\sum k=1n(a_k+b_k)=\sum k=1n{a}_k+\sum k=1n{b}_k$ $\sum k=1nc\cdot a_k=c\sum k=1n{a}_k\left(c は k に 無関係 な 定数\right)$

大事だいじ: 「定てい数すう は $\sum$ の 外そと に 出で せ る」 が 一番いちばん よ く 使し う テクニック。

2. 基本きほん の 和わ公式こうしき

ど ん な 数列すうれつ の 和わ も、 結局けっきょく は こ の 4 つ の 公式こうしき に 帰き着ちゃく さ せ て 計けい算さん し ま す。

公式こうしき	値ね
$\sum k=1nc$ ($c$ は 定てい数すう)	$cn$
$\sum k=1nk$	$\frac{n(n+1)}{2}$
$\sum k=1n{k}^2$	$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\sum k=1n{k}^3$	${\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}^2$

覚おぼえ方かた の コツ

• $\sum k=\frac{n(n+1)}{2}$ → 1 か ら $n$ ま で の 等差とうさ数列すうれつ の 和わ (公差こうさ 1)
• $\sum k^2$ → 分母ぶんぼ 6、 (n)(n+1)(2n+1) の 並なみ び を 暗あん記き
• $\sum k^3=(\sum k{)}^2$ と いう 美よし し い 関かん係けい (こ れ は ぜ ひ 覚さとし え る)

例題れいだい 1

$\sum k=1n(3k^2-2k+5)$ を 計けい算さん せ よ。

解かい: 線型せんけい性せい を 使し っ て 分ぶん解かい。

$\sum k=1n(3k^2-2k+5)=3\sum k=1n{k}^2-2\sum k=1nk+\sum k=1n5$ $=3\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-2\cdot \frac{n(n+1)}{2}+5n$ $=\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}-n(n+1)+5n$

最後さいご に $n$ で く く れば 整せい理り完了かんりょう で す。

3. 添字そえじ が ずれ た $\sum$

$\sum k=2n$ の よ う に 1 か ら 始はじめ ま ら な い 場ば合あい、 「1 か ら 始はじめ め て、 余よ計けい な 部ぶ分ぶん を 引 く」 の が 基本きほん。

$\sum k=2n{a}_k=\sum k=1n{a}_k-a_1$

例題れいだい 2

$\sum k=310k^2$ を 求もとめ め よ。

解かい:

$\sum k=310k^2=\sum k=110k^2-1^2-2^2=\frac{10\cdot 11\cdot 21}{6}-5=385-5=380$

4. 階かい差さ数列すうれつ

階かい差さ と は

数列すうれつ$\left\{a_n\right\}$ の 階差数列かいさすうれつ $\left\{b_n\right\}$ と は、 となり 合ごう う 項こう の 差さ を 並なみ べ た もの。

$b_n=a_{n+1}-a_n$

例: $\left\{a_n\right\}=1,3,7,13,21,\dots$ の 階かい差さ は $\left\{b_n\right\}=2,4,6,8,\dots$ ($b_n=2n$)。

階かい差さ から 一般いっぱん項こう を 復元ふくげん

$n\ge 2$ の とき

$a_n=a_1+\sum k=1n-1b_k$

考え方かんがえかた: $a_2=a_1+b_1$、 $a_3=a_2+b_2=a_1+b_1+b_2$、 … と 階かい差さ を 順じゅん に 足あし し 上うえ げる。

例題れいだい 3

数列すうれつ 1, 3, 7, 13, 21, … の 一般いっぱん項こう を 求もとめ め よ。

解かい: 階かい差さ$b_n=2n$。 $n\ge 2$ で

$a_n=1+\sum k=1n-12k=1+2\cdot \frac{(n-1)n}{2}=1+n(n-1)=n^2-n+1$

$n=1$ で も $1^2-1+1=1$ で OK。 → $a_n=n^2-n+1$

大事だいじ: 階かい差さ を 求もとめ め て 階かい差さ が 簡単かんたん に な っ た ら 勝かち ち。 規き則そく が 見み え な い 数列すうれつ の 一般いっぱん項こう を 求もとめ め る 標ひょう準じゅん戦せん略りゃく。

5. 部分ぶぶん分数ぶんすう分解ぶんかい

公式こうしき

$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$

例題れいだい 4

$\sum k=1n\frac{1}{k(k+1)}$ を 求もとめ め よ。

解かい:

$\sum k=1n\frac{1}{k(k+1)}=\sum k=1n(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})$ $=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots +(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$

中ちゅう間かん が 望遠鏡和ぼうえんきょうわ (telescoping) で 消しょう え て、

$=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$

大事だいじ: 分数ぶんすう の 数列すうれつ で 「$\frac{1}{k(k+1)}$」 や 「$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$」 な ど、 積せき の 形かたち が 出で て き た ら 部分ぶぶん分数ぶんすう を 疑うたぐ う。

6. (発展はってん) (等差とうさ) × (等比とうひ) 型かた

例れい: $\sum k=1nk\cdot 2^k$ の よ う な 和わ は、 $S-rS$ を 計けい算さん す る (等比数列とうひすうれつ の 和わ と 同どう じ 発はっ想そう)。

$S=1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots +n\cdot 2^n$ $2S=1\cdot 2^2+2\cdot 2^3+\cdots +(n-1)\cdot 2^n+n\cdot 2^{n+1}$

引 け ば $S-2S=(2+2^2+\cdots +2^n)-n\cdot 2^{n+1}$ と な り、 等比とうひ の 和わ + α で 計けい算さん完了かんりょう。

7. 例題れいだい (応用おうよう)

例題れいだい 5: $\sum$ の 公式こうしき を 組くみ み 合ごう わ せ る

$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +n(n+1)$ を 求もとめ め よ。

解かい: 一般いっぱん項こう は $k(k+1)=k^2+k$ な の で

$\sum k=1nk(k+1)=\sum k=1n{k}^2+\sum k=1nk$ $=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{6}\left\{\right(2n+1)+3\}$ $=\frac{n(n+1)(2n+4)}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

例題れいだい 6: 部分ぶぶん分数ぶんすう (もう ひ と つ)

$\sum k=1n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$ を 求もとめ め よ。

解かい: $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})$ を 使し う。

$\sum k=1n\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\{(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\cdots +(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})\}$ $=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})=\frac{n}{2n+1}$

例題れいだい 7: 階かい差さ で 一般いっぱん項こう

数列すうれつ 2, 5, 10, 17, 26, … の 一般いっぱん項こう を 求もとめ め よ。

解かい: 階かい差さ$\left\{b_n\right\}=3,5,7,9,\dots$ → $b_n=2n+1$。 $n\ge 2$ で

$a_n=2+\sum k=1n-1(2k+1)=2+2\cdot \frac{(n-1)n}{2}+(n-1)=2+n^2-n+n-1=n^2+1$

$n=1$ で も $1+1=2$ ✓。 → $a_n=n^2+1$

次じ の 章しょう: 第だい 3 章しょう で は 漸化式ぜんかしき を 学がく び、 「と なり の 項こう と の 関かん係けい」 か ら 一般いっぱん項こう を 求もとめ め る 力ちから を 身み に つ け ま す。

まとめ — 数列すうれつの和わ ($\sum$計算けいさん) を 3 行くだりで

• $\sum k=1nk=\frac{n(n+1)}{2}$、 $\sum k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$、 $\sum k^3={\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}}^2$ の 3 公式こうしきが基本きほんである
• 階かい差さ数列すうれつ$b_n=a_{n+1}-a_n$ から一般いっぱん項こうを $a_n=a_1+\sum k=1n-1b_k$ ($n\ge 2$) で復元ふくげんできる
• 部分ぶぶん分数ぶんすう分解ぶんかい$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ で相殺そうさいさせると、 一見いっけん複雑ふくざつな和わも簡潔かんけつに求もとまる