この 章 で 学ぶ こと
第 1 章 で 等差・等比 の 和 を 学 び ま し た。 こ の 章 で は シグマ 記号∑ を 使 っ て、 もっと 一般的 な 和 を 計算 で きる よ う に な り ま す。
- シグマ記号∑ の 意味 と 性質 を 知 る
- 基本 の 和公式 (∑k, ∑k2, ∑k3) を 使 い こ な す
- 階差数列 で 一般項 を 復元 す る
- 部分分数分解 を 使 っ て 和 を 求 め る
- 群数列 な ど 応用問題 に 慣 れ る
ポイント: ∑ は 「足 し算 の 略記法」 に す ぎ ま せ ん。 怖 が ら ず、 何 を ど こ か ら ど こ ま で 足 す か を 落 ち 着 い て 見 ま し ょ う。
1. シグマ 記号∑
定義
k=1∑nak=a1+a2+a3+⋯+an
- k は 添字。 1 から n ま で 1 ず つ 動 か し ま す。
- ak は k の 式。
- ∑ の 下 が 初項 の 添字、 上 が 末項 の 添字。
例
| ∑ の 式 | 展開 | 値 |
|---|
| ∑k=14k | 1+2+3+4 | 10 |
| ∑k=13k2 | 1+4+9 | 14 |
| ∑k=152 | 2+2+2+2+2 | 10 |
シグマ の 性質 (線型性)
∑ は 「足 し算 の 並 び」 な の で、 次 の 性質 が 成 り 立 ち ま す。
k=1∑n(ak+bk)=k=1∑nak+k=1∑nbk
k=1∑nc⋅ak=ck=1∑nak(c は k に 無関係 な 定数)
大事: 「定数 は ∑ の 外 に 出 せ る」 が 一番 よ く 使 う テクニック。
2. 基本 の 和公式
ど ん な 数列 の 和 も、 結局 は こ の 4 つ の 公式 に 帰着 さ せ て 計算 し ま す。
| 公式 | 値 |
|---|
| ∑k=1nc (c は 定数) | cn |
| ∑k=1nk | 2n(n+1) |
| ∑k=1nk2 | 6n(n+1)(2n+1) |
| ∑k=1nk3 | {2n(n+1)}2 |
覚え方 の コツ
- ∑k=2n(n+1) → 1 か ら n ま で の 等差数列 の 和 (公差 1)
- ∑k2 → 分母 6、 (n)(n+1)(2n+1) の 並 び を 暗記
- ∑k3=(∑k)2 と いう 美 し い 関係 (こ れ は ぜ ひ 覚 え る)
例題 1
∑k=1n(3k2−2k+5) を 計算 せ よ。
解: 線型性 を 使 っ て 分解。
k=1∑n(3k2−2k+5)=3k=1∑nk2−2k=1∑nk+k=1∑n5
=3⋅6n(n+1)(2n+1)−2⋅2n(n+1)+5n
=2n(n+1)(2n+1)−n(n+1)+5n
最後 に n で く く れば 整理完了 で す。
3. 添字 が ずれ た ∑
∑k=2n の よ う に 1 か ら 始 ま ら な い 場合、 「1 か ら 始 め て、 余計 な 部分 を 引 く」 の が 基本。
k=2∑nak=k=1∑nak−a1
例題 2
∑k=310k2 を 求 め よ。
解:
k=3∑10k2=k=1∑10k2−12−22=610⋅11⋅21−5=385−5=380
4. 階差数列
階差 と は
数列{an} の 階差数列 {bn} と は、 となり 合 う 項 の 差 を 並 べ た もの。
bn=an+1−an
例: {an}=1,3,7,13,21,… の 階差 は {bn}=2,4,6,8,… (bn=2n)。
階差 から 一般項 を 復元
n≥2 の とき
an=a1+k=1∑n−1bk
考え方: a2=a1+b1、 a3=a2+b2=a1+b1+b2、 … と 階差 を 順 に 足 し 上 げる。
例題 3
数列 1, 3, 7, 13, 21, … の 一般項 を 求 め よ。
解: 階差bn=2n。 n≥2 で
an=1+k=1∑n−12k=1+2⋅2(n−1)n=1+n(n−1)=n2−n+1
n=1 で も 12−1+1=1 で OK。 → an=n2−n+1
大事: 階差 を 求 め て 階差 が 簡単 に な っ た ら 勝 ち。 規則 が 見 え な い 数列 の 一般項 を 求 め る 標準戦略。
5. 部分分数分解
公式
k(k+1)1=k1−k+11
例題 4
∑k=1nk(k+1)1 を 求 め よ。
解:
k=1∑nk(k+1)1=k=1∑n(k1−k+11)
=(1−21)+(21−31)+⋯+(n1−n+11)
中間 が 望遠鏡和 (telescoping) で 消 え て、
=1−n+11=n+1n
大事: 分数 の 数列 で 「k(k+1)1」 や 「(2k−1)(2k+1)1」 な ど、 積 の 形 が 出 て き た ら 部分分数 を 疑 う。
6. (発展) (等差) × (等比) 型
例: ∑k=1nk⋅2k の よ う な 和 は、 S−rS を 計算 す る (等比数列 の 和 と 同 じ 発想)。
S=1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n⋅2n
2S=1⋅22+2⋅23+⋯+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1
引 け ば S−2S=(2+22+⋯+2n)−n⋅2n+1 と な り、 等比 の 和 + α で 計算完了。
7. 例題 (応用)
例題 5: ∑ の 公式 を 組 み 合 わ せ る
1⋅2+2⋅3+3⋅4+⋯+n(n+1) を 求 め よ。
解: 一般項 は k(k+1)=k2+k な の で
k=1∑nk(k+1)=k=1∑nk2+k=1∑nk
=6n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)=6n(n+1){(2n+1)+3}
=6n(n+1)(2n+4)=3n(n+1)(n+2)
例題 6: 部分分数 (もう ひ と つ)
∑k=1n(2k−1)(2k+1)1 を 求 め よ。
解: (2k−1)(2k+1)1=21(2k−11−2k+11) を 使 う。
k=1∑n(2k−1)(2k+1)1=21{(1−31)+(31−51)+⋯+(2n−11−2n+11)}
=21(1−2n+11)=2n+1n
例題 7: 階差 で 一般項
数列 2, 5, 10, 17, 26, … の 一般項 を 求 め よ。
解: 階差{bn}=3,5,7,9,… → bn=2n+1。 n≥2 で
an=2+k=1∑n−1(2k+1)=2+2⋅2(n−1)n+(n−1)=2+n2−n+n−1=n2+1
n=1 で も 1+1=2 ✓。 → an=n2+1
次 の 章: 第 3 章 で は 漸化式 を 学 び、 「と なり の 項 と の 関係」 か ら 一般項 を 求 め る 力 を 身 に つ け ま す。
まとめ — 数列の和 (∑計算) を 3 行で
- ∑k=1nk=2n(n+1)、 ∑k2=6n(n+1)(2n+1)、 ∑k3={2n(n+1)}2 の 3 公式が基本である
- 階差数列bn=an+1−an から一般項を an=a1+∑k=1n−1bk (n≥2) で復元できる
- 部分分数分解k(k+1)1=k1−k+11 で相殺させると、 一見複雑な和も簡潔に求まる