数列すうれつ の 極限きょくげん一いち問もん一いち答とう

この一問一答で出る問題

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1. 数すう列れつ $a_n = (-1)^n$ の 極きょく限げん について正ただしいものはどれか。
   • ・$+\infty$ に 発散はっさん する
   • ・$0$ に 収束しゅうそく する
   • ・$1$ に 収束しゅうそく する
   • ・振動しんどう し 極限げん は 存在ざい し ない
2. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{3n^2 - 2n + 5}{n^2 + 4n - 1}$ の 値あたい は。
   • ・$3$
   • ・$0$
   • ・$+\infty$
   • ・$\dfrac{1}{3}$
3. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 3n} - n)$ の 値あたい は。
   • ・$0$
   • ・$+\infty$
   • ・$3$
   • ・$\dfrac{3}{2}$
4. はさみうち の 原理げんり を用もちいて $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{\cos n}{n^2}$ を求もとめると。
   • ・$1$
   • ・振動しんどう し て 極限げん な し
   • ・$0$
   • ・$+\infty$
5. 無む限げん 等比数列とうひすうれつ $\{r^n\}$ が 収束しゅうそく す る 公おおやけ比ひ $r$ の 範はん囲い として正ただしいものは。
   • ・$-1 < r < 1$
   • ・$-1 < r \le 1$
   • ・$-1 \le r \le 1$
   • ・$|r| > 1$
6. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{2^n - 3^n}{2^n + 3^n}$ の 値あたい は。
   • ・$1$
   • ・$0$
   • ・$-1$
   • ・極限げん な し
7. $r > 1$ の と き、 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{r^{n+1}}{1 + r^n}$ の 値あたい は。
   • ・$1$
   • ・$+\infty$
   • ・$r$
   • ・$0$
8. 漸化式ぜんかしき $a_{n+1} = \dfrac{1}{2} a_n + 3$、 $a_1 = 1$ で定義ていぎされる数すう列れつ の 極きょく限げん は。
   • ・$6$
   • ・$0$
   • ・$3$
   • ・$+\infty$
9. 無む限げん 級数きゅうすう $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ が 収束しゅうそく するための必ひつ要よう条じょう件けん は。
   • ・$a_n > 0$ が す べ て の $n$ で 成 り 立 つ
   • ・$a_n$ が 等比数列とうひすうれつ で あ る
   • ・$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$
   • ・$|a_n| < 1$
10. 無む限げん 等比級数とうひきゅうすう $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left( \dfrac{2}{3} \right)^n$ の 和わ は。
    • ・$\dfrac{2}{3}$
    • ・$\dfrac{3}{2}$
    • ・$3$
    • ・発散はっさん
11. 循環小数じゅんかんしょうすう $0.\dot{2}\dot{7} = 0.272727\dots$ を 既約分数きやくぶんすう で表あらわすと。
    • ・$\dfrac{27}{100}$
    • ・$\dfrac{3}{11}$
    • ・$\dfrac{27}{99}$
    • ・$\dfrac{1}{4}$
12. $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{1}{2^n} + \dfrac{1}{3^n} \right)$ の 値あたい は。
    • ・$\dfrac{3}{2}$
    • ・$\dfrac{1}{2}$
    • ・$1$
    • ・発散はっさん
13. 無む限げん 等比級数とうひきゅうすう $1 - x + x^2 - x^3 + \cdots$ が 収束しゅうそく す る $x$ の 範はん囲い とその和わは。
    • ・$|x| < 1$ で 和 $\dfrac{1}{1 - x}$
    • ・$|x| \le 1$ で 和 $\dfrac{1}{1 + x}$
    • ・$x > 0$ で 和 $\dfrac{1}{x}$
    • ・$|x| < 1$ で 和 $\dfrac{1}{1 + x}$
14. $a_n = \dfrac{n + 1}{n}$ と し て $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$ は。
    • ・$0$
    • ・$1$
    • ・$+\infty$
    • ・極限げん な し
15. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1 + 2 + 3 + \cdots + n}{n^2}$ の 値あたい は。
    • ・$0$
    • ・$\dfrac{1}{2}$
    • ・$1$
    • ・$+\infty$
16. $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n(n+1)}$ の 値あたい は。 ヒ ン ト: 部分ぶぶん分ぶん数すう分ぶん解かい。
    • ・$1$
    • ・$0$
    • ・$\dfrac{1}{2}$
    • ・発散はっさん
17. 次つぎ の 無む限げん 級数きゅうすう の う ち、 発散はっさん するものは。
    • ・$\sum \dfrac{1}{n}$ (調和級数ちょうわきゅうすう)
    • ・$\sum \left( \dfrac{1}{2} \right)^n$
    • ・$\sum \dfrac{1}{n^2}$
    • ・$\sum \dfrac{1}{n(n+1)}$
18. $|x| < 1$ の と き $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) x^n$ の和わを求もとめると。 ヒ ン ト: $\dfrac{1}{1-x}$ の 微び分ぶん。
    • ・$\dfrac{1}{1 - x}$
    • ・$\dfrac{x}{1 - x}$
    • ・$\dfrac{1}{(1 - x)^2}$
    • ・$\dfrac{1}{1 + x}$
19. $a_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$ の と き、 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$ は。
    • ・$1$
    • ・$-1$
    • ・振動しんどう し て 極限げん な し
    • ・$0$
20. $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2^n + 3^n}{6^n}$ の 値あたい は。
    • ・$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$
    • ・$\dfrac{3}{2}$
    • ・$1 + \dfrac{1}{2}$
    • ・発散はっさん