マンデルブロ集合（まんでるぶろしゅうごう）とは｜意味・読み方

高校こうこう数学すうがく

マンデルブロ集合しゅうごうとは、複素数ふくそすう $c$ ごとに数列すうれつ $z_{0} = 0, z_{n + 1} = z n 2 + c$ を作つくり、これが無限むげんに発散はっさんしない $c$ を集あつめた複素数平面ふくそすうへいめん上の集合しゅうごうです。

$c$	数列すうれつ $z_{n}$	$c$ は集合しゅうごうに
$c = 0$	$0, 0, 0, \dots$	含ふくまれる
$c = - 1$	$0, - 1, 0, - 1, \dots$	含ふくまれる（振動しんどう）
$c = 1$	$0, 1, 2, 5, \dots$	含ふくまれない（発散はっさん）

その境界きょうかいは無限むげんに細こまかいフラクタルふらくたる構造こうぞうをもち、拡大かくだいすると自分じぶんに似にた小ちいさな模様もようが次々つぎつぎと現あらわれます。 $z \to z^{2}$ の操作そうさは極形式きょくけいしきで偏へん角かくを 2 倍ばいにする回転かいてん（ド・モアブルの定理ていり）で、正多角形せいたかっけいの角度かくどが境界きょうかいの模様もように隠かくれています。コンピュータグラフィックスの題材だいざいとしても有名ゆうめいです。

ポイント 「 $z \to z^{2} + c$ を繰くり返かえして発散はっさんしない $c$ 」の集あつまり。複素数ふくそすうの 2 乗じょう計算けいさん（回転かいてんと拡大かくだい）がフラクタルの複雑ふくざつさを生うむ、と理解りかいしよう。

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$c$	数列すうれつ $z_{n}$	$c$ は集合しゅうごうに
$c = 0$	$0, 0, 0, \dots$	含ふくまれる
$c = - 1$	$0, - 1, 0, - 1, \dots$	含ふくまれる（振動しんどう）
$c = 1$	$0, 1, 2, 5, \dots$	含ふくまれない（発散はっさん）

ポイント 「 $z \to z^{2} + c$ を繰くり返かえして発散はっさんしない $c$ 」の集あつまり。複素数ふくそすうの 2 乗じょう計算けいさん（回転かいてんと拡大かくだい）がフラクタルの複雑ふくざつさを生うむ、と理解りかいしよう。

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