数検4級第2章｜単項式・多項式の四則計算と等式変形を例題で解説

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう2 で学まなぶ 式しきの計算けいさん を学まなびます。文字もじが 2 種類しゅるい以上いじょうになり、次数じすうの高たかい項こうも出でてきます。一いち次じ (計算けいさん技能ぎのう) で確実かくじつに点てんをとるためにも、ここをしっかり固かためましょう。

多項式たこうしきのたし算さん・ひき算さん (同類項どうるいこうをまとめる)
単項式たんこうしきのかけ算ざん・わり算ざん
式しきの値あたいの求もとめ方かた
等式変形とうしきへんけい (ある文字もじについて解とく)

ポイント: いちばんの注意ちゅうい点てんは 符号ふごう (+ と -) と 同類項どうるいこうのまとめ方かた です。文字もじの部分ぶぶんが同おなじ項こうだけをまとめられることを忘わすれないようにしましょう。

1. 多項式たこうしきのたし算さん・ひき算さん

文字もじの部分ぶぶんが同おなじ項こう (同類項どうるいこう) どうしをまとめます。

例題れいだい: $(3 x + 2 y) - (x - 5 y)$ を計算けいさんせよ。

$(3 x + 2 y) - (x - 5 y) = 3 x + 2 y - x + 5 y = 2 x + 7 y$

検算けんざん: $x = 1, y = 1$ を代入だいにゅう。もとの式 $= (3 + 2) - (1 - 5) = 5 - (- 4) = 9$ 、答えこたえの式 $= 2 + 7 = 9$ 。一致いっちする。

大事だいじ: カッコの前まえが $-$ のとき、カッコをはずすと 中ちゅうの符号ふごうがすべて反対はんたい になります。 $- (x - 5 y) = - x + 5 y$ 。ここが最大さいだいのミスポイントです。

2. 単項式たんこうしきのかけ算ざん・わり算ざん

数かずどうし、文字もじどうしを分わけて計算けいさんします。同おなじ文字もじの積せきは指数しすうをたします。

例題れいだい: $3 a^{2} b \times (- 2 a b)$ を計算けいさんせよ。

$3 a^{2} b \times (- 2 a b) = 3 \times (- 2) \times a^{2} \times a \times b \times b = - 6 a^{3} b^{2}$

検算けんざん: $a = 1, b = 1$ でもとの式 $= 3 \times (- 2) = - 6$ 、答えこたえ $= - 6$ 。一致いっち。

例題れいだい: $8 x^{2} y \div 4 x y$ を計算けいさんせよ。

$8 x^{2} y \div 4 x y = \frac{8 x^{2} y}{4 x y} = 2 x$

検算けんざん: $2 x \times 4 x y = 8 x^{2} y$ 。もとにもどる。正ただしい。

例題れいだい (3 つの計算けいさん): $6 a b^{2} \times 2 a \div 3 b$ を計算けいさんせよ。

$6 a b^{2} \times 2 a \div 3 b = \frac{6 a b^{2} \times 2 a}{3 b} = \frac{12 a^{2} b^{2}}{3 b} = 4 a^{2} b$

検算けんざん: $a = 1, b = 1$ でもと $= 6 \times 2 \div 3 = 4$ 、答えこたえ $= 4$ 。一致いっちする。

3. 式しきの値あたい

式しきに数かずを代入だいにゅうして値あたいを求もとめます。先さきに式しきを簡単かんたんにしてから代入だいにゅうすると計算けいさんがらくになります。

例題れいだい: $a = 3, b = - 2$ のとき、 $2 a + 3 b$ の値あたいを求もとめよ。

$2 \times 3 + 3 \times (- 2) = 6 - 6 = 0$

検算けんざん: $2 a = 6$ 、 $3 b = - 6$ 、和わは $0$ 。正ただしい。

例題れいだい: $x = - 1$ のとき、 $5 x - 2 - (3 x - 4)$ の値あたいを求もとめよ。

先さきに簡単かんたんにすると $5 x - 2 - 3 x + 4 = 2 x + 2$ 。ここに $x = - 1$ を代入だいにゅう。

$2 \times (- 1) + 2 = - 2 + 2 = 0$

検算けんざん: 簡単かんたんにせず代入だいにゅうしても $5 \times (- 1) - 2 - (3 \times (- 1) - 4) = - 5 - 2 - (- 7) = - 7 + 7 = 0$ 。一致いっちする。

大事だいじ: 負まけの数かずを代入だいにゅうするときは必かならず カッコをつけて から代入だいにゅうします。 $3 x$ に $x = - 2$ を入いれるときは $3 \times (- 2) = - 6$ 。符号ふごうのミスをふせげます。

4. 等式とうしき変形へんけい (ある文字もじについて解とく)

等式変形とうしきへんけいとは、等式とうしきを「(ある文字もじ) $=$ ……」の形かたちに変かえることです。方程式ほうていしきを解とくのと同おなじ考かんがえ方かたを使つかいます。

例題れいだい: $ℓ = 2 (a + b)$ を $b$ について解とけ。

両辺りょうへんを $2$ で割わって $\frac{ℓ}{2} = a + b$ 。 $a$ を移項いこうして、

$b = \frac{ℓ}{2} - a$

検算けんざん: 求もとめた式しきの右辺うへんを $2 (a + b)$ にもどすと $2 (a + \frac{ℓ}{2} - a) = 2 \times \frac{ℓ}{2} = ℓ$ 。もとの等式とうしきにもどる。正ただしい。

例題れいだい: $S = \frac{1}{2} a h$ を $h$ について解とけ。

両辺りょうへんを $2$ 倍して $2 S = a h$ 。両辺りょうへんを $a$ で割わって、

$h = \frac{2 S}{a}$

検算けんざん: $\frac{1}{2} a \times \frac{2 S}{a} = \frac{1}{2} \times 2 S = S$ 。もとの式しきにもどる。正ただしい。

ポイント: 等式変形とうしきへんけいは「解ときたい文字もじ以外いがいを反対はんたい側がわへ移うつす」のが基本きほん。移項いこうでは符号ふごうが反対はんたいに、両辺りょうへんを同おなじ数かずで割わったりかけたりするときは すべての項こう に同おなじことをします。

どう問とわれるか

一いち次じでは「 $3 (2 x - y) - 2 (x - 3 y)$ を計算けいさんせよ」のような 多項式たこうしきの計算けいさん や、「 $6 a^{2} b \div 2 a$ を計算けいさんせよ」のような 単項式たんこうしきの乗除じょうじょ が頻出ひんしゅつ。
二に次じでは「面積めんせきの公式こうしきを高たかさについて解とけ」のような 等式変形とうしきへんけい が、文章ぶんしょう題だいの途中とちゅうで必要ひつようになります。

まとめ

多項式たこうしきの加減かげんは同類項どうるいこうをまとめる ( $-$ のカッコは符号ふごうが反対はんたい)
単項式の乗除たんこうしきのじょうじょは数かず・文字もじを分わけて、同おなじ文字もじは指数しすうをたす
式しきの値あたいは先さきに簡単かんたんにしてから、負まけの数かずはカッコをつけて代入だいにゅう
等式変形とうしきへんけいは解ときたい文字もじ以外いがいを反対はんたい側がわへ

次じ章しょうでは、中ちゅう2 の重要じゅうよう単元たんげん 連立方程式れんりつほうていしき を学まなびます。

式しきの計算けいさん — 単項式たんこうしき・多項式たこうしきの四則しそくと等式とうしき変形へんけい

この章しょうで学まなぶこと

1. 多項式たこうしきのたし算さん・ひき算さん

2. 単項式たんこうしきのかけ算ざん・わり算ざん

3. 式しきの値あたい

4. 等式とうしき変形へんけい (ある文字もじについて解とく)

どう問とわれるか

まとめ

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