式しきの計算けいさん — 単項式たんこうしき・多項式たこうしきの四則しそくと等式とうしき変形へんけい

この章しょうで学まなぶこと

中ちゅう2 で学まなぶ 式しきの計算けいさん を学まなびます。 文字もじが 2 種類しゅるい以上いじょうになり、 次数じすうの高たかい項こうも出でてきます。 一いち次じ (計算けいさん技能ぎのう) で確実かくじつに点てんをとるためにも、 ここをしっかり固かためましょう。

• 多項式たこうしきのたし算さん・ひき算さん (同類項どうるいこうをまとめる)
• 単項式たんこうしきのかけ算ざん・わり算ざん
• 式しきの値あたいの求もとめ方かた
• 等式変形とうしきへんけい (ある文字もじについて解とく)

ポイント: いちばんの注意ちゅうい点てんは 符号ふごう (+ と -) と 同類項どうるいこうのまとめ方かた です。 文字もじの部分ぶぶんが同おなじ項こうだけをまとめられることを忘わすれないようにしましょう。

1. 多項式たこうしきのたし算さん・ひき算さん

文字もじの部分ぶぶんが同おなじ項こう (同類項どうるいこう) どうしをまとめます。

例題れいだい: $(3x+2y)-(x-5y)$ を計算けいさんせよ。

$(3x+2y)-(x-5y)=3x+2y-x+5y=2x+7y$

検算けんざん: $x=1, y=1$ を代入だいにゅう。 もとの式$=(3+2)-(1-5)=5-(-4)=9$、 答えこたえの式$=2+7=9$。 一致いっちする。

大事だいじ: カッコの前まえが $-$ のとき、 カッコをはずすと 中ちゅうの符号ふごうがすべて反対はんたい になります。 $-(x-5y)=-x+5y$。 ここが最大さいだいのミスポイントです。

2. 単項式たんこうしきのかけ算ざん・わり算ざん

数かずどうし、 文字もじどうしを分わけて計算けいさんします。 同おなじ文字もじの積せきは指数しすうをたします。

例題れいだい: $3a^{2}b\times (-2ab)$ を計算けいさんせよ。

$3a^{2}b\times (-2ab)=3\times (-2)\times a^2\times a\times b\times b=-6a^3{b}^2$

検算けんざん: $a=1, b=1$ でもとの式$=3\times (-2)=-6$、 答えこたえ $=-6$。 一致いっち。

例題れいだい: $8x^{2}y÷4xy$ を計算けいさんせよ。

$8x^{2}y÷4xy=\frac{8x^{2}y}{4xy}=2x$

検算けんざん: $2x\times 4xy=8x^{2}y$。 もとにもどる。 正ただしい。

例題れいだい (3 つの計算けいさん): $6a{b}^2\times 2a÷3b$ を計算けいさんせよ。

$6a{b}^2\times 2a÷3b=\frac{6a{b}^2\times 2a}{3b}=\frac{12a^2{b}^2}{3b}=4a^{2}b$

検算けんざん: $a=1, b=1$ でもと $=6\times 2÷3=4$、 答えこたえ $=4$。 一致いっちする。

3. 式しきの値あたい

式しきに数かずを代入だいにゅうして値あたいを求もとめます。 先さきに式しきを簡単かんたんにしてから代入だいにゅうすると計算けいさんがらくになります。

例題れいだい: $a=3, b=-2$ のとき、 $2a+3b$ の値あたいを求もとめよ。

$2\times 3+3\times (-2)=6-6=0$

検算けんざん: $2a=6$、 $3b=-6$、 和わは $0$。 正ただしい。

例題れいだい: $x=-1$ のとき、 $5x-2-(3x-4)$ の値あたいを求もとめよ。

先さきに簡単かんたんにすると $5x-2-3x+4=2x+2$。 ここに $x=-1$ を代入だいにゅう。

$2\times (-1)+2=-2+2=0$

検算けんざん: 簡単かんたんにせず代入だいにゅうしても $5\times (-1)-2-(3\times (-1)-4)=-5-2-(-7)=-7+7=0$。 一致いっちする。

大事だいじ: 負ふの数かずを代入だいにゅうするときは必かならず カッコをつけて から代入だいにゅうします。 $3x$ に $x=-2$ を入いれるときは $3\times (-2)=-6$。 符号ふごうのミスをふせげます。

4. 等式とうしき変形へんけい (ある文字もじについて解とく)

等式変形とうしきへんけいとは、 等式とうしきを 「(ある文字もじ) $=$ ……」 の形かたちに変かえることです。 方程式ほうていしきを解とくのと同おなじ考かんがえ方かたを使つかいます。

例題れいだい: $\ell =2(a+b)$ を $b$ について解とけ。

両辺りょうへんを $2$ で割わって $\frac{\ell }{2}=a+b$。 $a$ を移項いこうして、

$b=\frac{\ell }{2}-a$

検算けんざん: 求もとめた式しきの右辺うへんを $2(a+b)$ にもどすと $2(a+\frac{\ell }{2}-a)=2\times \frac{\ell }{2}=\ell$。 もとの等式とうしきにもどる。 正ただしい。

例題れいだい: $S=\frac{1}{2}ah$ を $h$ について解とけ。

両辺りょうへんを $2$倍して $2S=ah$。 両辺りょうへんを $a$ で割わって、

$h=\frac{2S}{a}$

検算けんざん: $\frac{1}{2}a\times \frac{2S}{a}=\frac{1}{2}\times 2S=S$。 もとの式しきにもどる。 正ただしい。

ポイント: 等式変形とうしきへんけいは 「解ときたい文字もじ以外いがいを反対はんたい側がわへ移うつす」 のが基本きほん。 移項いこうでは符号ふごうが反対はんたいに、 両辺りょうへんを同おなじ数かずで割わったりかけたりするときは すべての項こう に同おなじことをします。

どう問とわれるか

• 一いち次じでは 「$3(2x-y)-2(x-3y)$ を計算けいさんせよ」 のような 多項式たこうしきの計算けいさん や、 「$6a^{2}b÷2a$ を計算けいさんせよ」 のような 単項式たんこうしきの乗除じょうじょ が頻出ひんしゅつ。
• 二に次じでは 「面積めんせきの公式こうしきを高たかさについて解とけ」 のような 等式変形とうしきへんけい が、 文章ぶんしょう題だいの途中とちゅうで必要ひつようになります。

よくまちがえるところ

式しきの計算けいさんで落おとす点てんは、 ほとんどが 符号ふごう と 同類項どうるいこうの見分みわけ です。

まちがい	例れい	直なおし方かた
マイナスのカッコをはずすとき後うしろの項こうの符号ふごうを変かえない	(3x + 2y) - (x - 5y) = 3x + 2y - x - 5y とする	カッコの中なかの全部ぜんぶの項こうの符号ふごうを反対はんたいにする
同類項どうるいこうでないものをまとめる	3x + 2y = 5xy とする	文字もじの部分ぶぶんが完全かんぜんに同おなじ項こうだけをまとめる
文字もじのかけ算ざんで指数しすうをたさずにかける	a² × a = a² や a⁶ とする	同おなじ文字もじの積せきは指数しすうをたす (a² × a = a³)
等式変形とうしきへんけいで一部いちぶの項こうだけ割われる	2S = ah から h = 2S - a とする	割わり算ざんは移項いこうではない。 両辺りょうへん全体ぜんたいを a で割われる

いちばん多おおいのは マイナスのカッコはずし です。 -(x - 5y) の中なかには x と -5y の 2 つの項こうがあり、 どちらも符号ふごうが反対はんたいになって -x + 5y になります。 後うしろの項こうをそのまま写うつしてしまうミスが本当ほんとうに多おおいので、 カッコの前まえがマイナスのときは、 いったん各項かくこうに -1 をかけると書かいてから進すすめると安全あんぜんです。

たしかめ方かた

答えこたえが出でたら、 つぎの手順てじゅんで 30 秒びょうだけ検算けんざんします。

順番じゅんばん	やること	例れい
1	x = 1、 y = 1 など簡単かんたんな数かずを決きめる	x = 1, y = 1
2	もとの式しきに代入だいにゅうして値あたいを出だす	(3 + 2) - (1 - 5) = 9
3	答えこたえの式しきに同おなじ数かずを代入だいにゅうして値あたいを出だす	2 + 7 = 9
4	2 つが一致いっちするか見みる	一致いっちするので正ただしい

わり算ざんの答えこたえは、 かけ算ざんにもどす ほうが速はやいです。 8x²y ÷ 4xy = 2x なら、 2x × 4xy = 8x²y ともとにもどるので正ただしいと分わかります。 等式変形とうしきへんけいも同おなじで、 求もとめた式しきをもとの等式とうしきに代入だいにゅうして、 左辺さへんと右辺うへんが同おなじになるかを見みます。

大事だいじ: 検算けんざんに x = 0 を選えらぶと、 x のついた項こうが全部ぜんぶ消きえてしまい、 まちがいを見みのがします。 x = 1 や x = 2 のように、 0 以外いがいの小ちいさい数かずを使つかいましょう。

自分じぶんでチェック

• カッコの前まえがマイナスのとき、 中なかの全部ぜんぶの項こうの符号ふごうを反対はんたいにできる
• 同類項どうるいこうかどうかを文字もじの部分ぶぶんで判断はんだんできる
• 同おなじ文字もじの積せきは指数しすうをたすと言いえる
• 負ふの数かずはカッコをつけて代入だいにゅうできる
• 等式変形とうしきへんけいで、 両辺りょうへん全体ぜんたいに同おなじ操作そうさをすることを守まもれる

まとめ

• 多項式たこうしきの加減かげんは同類項どうるいこうをまとめる ($-$ のカッコは符号ふごうが反対はんたい)
• 単項式の乗除たんこうしきのじょうじょは数かず・文字もじを分わけて、 同おなじ文字もじは指数しすうをたす
• 式しきの値あたいは先さきに簡単かんたんにしてから、 負ふの数かずはカッコをつけて代入だいにゅう
• 等式変形とうしきへんけいは解ときたい文字もじ以外いがいを反対はんたい側がわへ

次じ章しょうでは、 中ちゅう2 の重要じゅうよう単元たんげん 連立方程式れんりつほうていしき を学まなびます。